1、 科数学答案第页共页 绵阳市高中绵阳市高中 2019 级第一次诊断性考试级第一次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 CDBCCAABDDAD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13714215 3 2 161，2 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解：（1）( )3(1cos2)sin23f xxx 3cos2sin2xx 2sin(2) 3 x 4 分 相邻对称轴间距离为 2 ， 函数的最小正周期T，即 2 (0) 2 ，解得1， ( )2sin(2) 3 f xx 6 分 由
2、222 232 kxk ，得 5 1212 kxk (kZ)， 函数 ( )f x在 0， 2 上的单调递增区间为0， 12 8 分 （2）将函数( )2sin(2) 3 f xx 的图象向左平移(0) 2 个单位后得 ( )2sin2()+=2sin(22 +) 33 g xxx ， ( )g x为偶函数， (0)2g ，即sin(2)1 3 ， 10 分 2 32 k ，即() 212 k kZ 又0 2 ， 12 12 分 理科数学答案第 2 页（共 6 页） 18解：（1） 1 32 nn SS ， 23 12 SS，即23 121 aaa 1 2a ，6 2 a2 分 当2n时，23
3、 1 nn SS 由得 nn aa3 1 ，即 1 3(2) n n a n a 又 3 1 2 a a ， 数列 n a是以首项为 2，公比为 3 的等比数列 5 分 1 32 n n a 6 分 （2）由 1 23n n n an ，7 分 得 011 2 1 3233)（ n n Tn 12 32 1 3233 )（ n n Tn 由，得 012 22 33333 ) nn n Tn -1 （-， 13 2223(12 )31 13 n nn n Tnn 11 ()3 22 n n Tn 12 分 19解：选择条件： 由tan=(2)tanbCabB，得 sin(2)sin coscos
4、 bCabB CB ， 由正弦定理可得，sin sincos =(2sinsin)sincosBCBABBC . sincos2sincossincosCBACBC ， 2sincossincossincossinsinACCBBCCBA ， (0)，C ，sin0C ， 1 cos 2 A ，又 (0) 2 ，A ， 3 A 选择条件：由正弦定理可得，2sincos2sinsinCBAB， 又sin sin()ACB ， 2sin cos2sin()sin2(sincoscossin)sinCBCBBCBCBB ， 化简整理得2cossinsinCBB， 由sin0B ， 1 cos 2 C
5、 ， 又 0 2 C， 3 C 理科数学答案第 3 页（共 6 页） 选择条件：由已知得， 2222 coscosbacacAaC， 由余弦定理，得 222 2cosbacabC， 2222 coscosbcaacCcA， 2 2coscoscosabCacAaC， 0a ，2 coscoscosbCcAaC， 由正弦定理，有2sin cossincossincossin()sinBCCAACACB ， sin0B ， 1 cos 2 C . 又 (0) 2 ，C ， 3 C 4 分 （1）证明：由正弦定理得 =2 3 sinsin ac AC ， =2 3sinaA， =2 3sin=2 3
6、sin(3)sin 3 3cosaABBB ，得证 6 分 （2）由 AP=2PB 及 AB=3，可得 PB=1， 在PBC 中，由余弦定理可得， 22 12 cosCPaaB 2 (123sin3cos)3sin3cos()cosBBBBB 3s n42i 2B9 分 ABC 为锐角三角形， () 62 ，B ，即2 () 3 B ， 当2 = = 24 BB ，即 时， 2 CP取最大值为4+2 3 线段 CP 的长度的最大值为1+ 312 分 20解：（1）由题意得 22 ( )23= fxxaxa -(x-3a)(x+a)1 分 当1a 时， ( )(1)(3)fxxx ，x-4，2
7、由 ( )0fx ，解得31x ； 由 ( )0fx ，解得43x 或12x3 分 函数 f(x)在区间(-3，1)上单调递增，在区间-4，-3)，(1，2单调递减 又 2532 ( 4)( 3) 33 ff ， 327 (1)0(2) 33 ，ff ， 函数 ( )f x在区间-4，2上的最大值为 0，最小值为 32 3 6 分 理科数学答案第 4 页（共 6 页） （2）存在实数 m，使不等式 ( )0f x 的解集恰好为(m，+)， 等价于函数 f(x)只有一个零点 22 ( )23=(3 )()fxxaxaxa xa ， i)当 a0 时，由 ( )0fx ，解得3axa ， 函数 f
8、(x)在区间(3a，-a)上单调递增； 由 ( )0fx ，解得3xa或x a ， 函数 f(x)在区间(，3a)，(-a，)上单调递减 又 5 (0)0 3 f ， 只需要 f (-a)0，解得-1a0 实数 a 的取值范围为 -1a0 时，由 ( )0fx ，解得3axa ， 即 f(x)在区间(-a， 3a)上单调递增； 由 ( )0fx ，解得x a 或3xa， 即函数 f(x)在区间(，-a)，(3a，)上单调递减； 又 5 (0)0 3 f ，只需要 f(3a)1 时， 2 3 ( )1 2 x f xxex等价于 2 2 ln10 xxx ，即 1 2ln0 xx x 令 1 (
9、 )2lnF xxx x ， 则 2 22 21(1) ( )10 x F x xxx 函数 ( )F x在区间(1)， 上单调递增， ( )(1)0F xF ， 当 x1 时， 2 3 ( )1 2 x f xxex 6 分 理科数学答案第 5 页（共 6 页） （2）由题得 2 1 ( )e2 ln(4)1 2 x g xxxxxa x 若 g(x)=f(x)+(4-a)x-1 无极值，则( )0g x恒成立或( )0g x恒成立 i)当( )0g x恒成立时，( )(1)2(1ln )40e x g xxxxa， 即 min 2 (1)2ln x axxxe 令( )(1)e2ln x
10、h xxxx 2(2)1 ( )(2)e1(2)e(2)(e) xxx x h xxxx xxx (x0) 令 1 ( )exx x ，则 2 1 ( )e0 x x x ， 即( ) x在 (0，)上单调递增 8 分 又 1 ( )e2420(1)e10 2 ， ， 存在 0 x ( 1 2 ，1)，使得 0 0 0 1 ()e=0 x x x 当 0 (0)，xx时，( )0 x，即( )0h x， 函数 h(x)在区间 0 (0)，x单调递减 当 0 ()，xx 时，( )0 x，即( )0h x， 函数 h(x)在区间 0 ()，x 单调递增 函数 h(x)的最小值为 h(x0)= 0
11、 000 (1)e2ln x xxx10 分 又 0 0 1 ex x ，即 00 lnxx ， 代入，得 h(x0)= 0 000 (1)e2ln x xxx= 000 00 11 121xxx xx 又 0 x ( 1 2 ，1)，则 h(x0)= = 0 0 1 1x x (3， 7 2 ) 正整数 a 的最大值是 5 ii)当( )0g x恒成立时，( )(1)e2(1ln )40 x g xxxxa， 即 max 2 (1)2ln x axxxe， 又由（i）知， 函数 h(x)在区间 0 ()，x 上单调递增， 函数 h(x)不存在最大值 综上：正整数 a 的最大值是 512 分
12、理科数学答案第 6 页（共 6 页） 22解：（1）曲线 1 C的极坐标方程为2(0)= 2 分 设 P( ，)为曲线 2 C上的任意一点， =2cos() 2 曲线 2 C极坐标方程为2sin (0)= 5 分 （2）直线 (0) R， 与曲线 1 C， 2 C分别交于点 A，B(异于极点)， 设 B(， B )，则 A(， A ) 由题意得2sin B ，2 A ， 22sin AB AB 7 分 点 M 到直线 AB 的距离sin2sindOM， 11 =(22sin)2sin 22 AOM SAB d 2 (sin1sin)1 2(1sin)sin2 42 1 (sin) 2 当且仅当时，等号成立 ABM 的面积的最大值为 1 2 10 分 23解：（1）由题意得 ( )2()(2 )3f xxmxmxmxmm 3 分 函数 ( )f x的最大值为 6， 3 6m ，即2m m0，m=2.5 分 （2）由（1）知， 2xyz ，x0，y0，z0， 2()() 22 xx xyzyz 22 22 xyxz (当且仅当 2 x yz时，等号成立) 8 分 222xyxz， 2xyxz(当且仅当 1 1= 2 xyz，时，等号成立)10 分
