1、游戏中的数学教学设计 教学内容：简单的二人对策论问题（又称“抢 18”游戏） 教学目标： 1、让学生初步了解二人对策论问题，感受数学知识在游戏中的广泛应用。 2、让学生初步掌握必胜策略的分析方法，提升思维的水平。 3、适当渗透转化的数学思想，增强学生解决问题的策略意识。 教学过程： 一、游戏引入一、游戏引入 1 1、说反话游戏、说反话游戏 1）师生共同玩游戏。 师：同学们喜欢做游戏吗？ 生：（齐声说）喜欢。 师：好，今天我们就来做个游戏。这个游戏的名称叫“说反话。”，比如，我 说：“我看天”，你就回答：“我看地”；我说：“我朝左”，你就回答：“我朝右”。 明白吗？ 生：（觉得很简单，大声地回答
2、）明白。 师：哪位同学愿意和老师来试试？ （很多同学举手，老师故意找一位男同学，该同学起身拿起话筒） 师：可以开始吗？ 生：可以。（很自信地） 师：我看天。 生：我看地。（觉得太简单了） 师：我朝左。 生：我朝右。（感觉一点难度都没有，面露得意之色。） 师：我张嘴。 生：我闭嘴。（很多学生在窃笑） 师：（故意提高声音，大声地说）我是男的。 （全班同学立刻大笑，该男生憋了半天，很无奈地说了三个字） 生：我是女的。（全场再次笑声四起。） 师： （同样笑着说）请坐，不能再说了，都变成女的了。 （同时，与该男生亲切握手。 ） 师：（转向全体同学），谁愿意再来和老师比试比试？ （气氛开始活跃，举手的学生
3、更多了。这次老师有意找了位女同学。） 师：可以开始吗？ 生：没问题。 师：我朝右。 生：我朝左。（满不在乎地。） 师：我看地。 生：我看天。（窃喜，觉得很简单。） 师：（声音加重）我越活越年轻。 （众生大笑，该女生很无奈、不好意思说，老师紧追，快说快说。） 生：（没办法，只好说）我越活越老。 师：还有一句呢。我越长越漂亮。 （众生狂笑，该女生更不好意思说了，老师再次紧追） 生：（举手做投降状，无奈地说出）我越长越丑陋。 （教师立刻走上前去，握住她的手说，那是不可能的，我们刚才仅仅是做了个游戏。 继而转向全体同学，提出问题。） 师：刚才同学们都笑了，可不能只笑。笑过以后要有思考。你们有没有发现，
4、刚才的 游戏在玩的过程中有一个人始终占着便宜，是谁呀？ 生：（异口同声）老师 师：对，由于刚才都是老师先说，按照这样的游戏规则，就很容易把你们逼到不好回 答的境地，想不想反一下？ 生：（一起大声地喊）想。 师：好！咱们刚才说过的不重复，谁来试试？ （此时，一些聪明又调皮的同学有了鬼主意，开始举手。我在好几个地方与学生玩过 该游戏，每到一处，学生总能带给我许多惊喜和精彩，我真的很佩服这帮小鬼。现摘录今 年 3 月 29 日在江苏省徐州市学生的绝妙表达） 一鬼灵精男生张嘴到：我来自天堂。 （全场笑喷，我只好笑答） 师：你什么意思，想让我下地狱啊！ （怕他再说出什么旁门左道，赶忙让其坐下，请了一位老
5、实的女生，没想到，她一 点也不肯嘴下留情。） 小女生：（声音小小的）我很温柔。 （全场再次爆笑，我只好苦笑着回答） 师：看看你什么意思，我不就是长得表面粗鲁了点吗，有话就直说呗。 （女生坐下，最后请了一位小个子的男生，满指望他能说点正统的，让我喘口 气，没想到他更“狠毒”。） 小个子男生：我长寿无疆。 （有的听课老师眼泪都笑出来了，我也差点笑喷，假装生气地说） 师：你这个小鬼，什么意思，想让我英年早逝啊！行了，不说了，我到徐州 来上一节课连家都回不去了。（再次笑声） 2）小结游戏 （此时，学生已相当兴奋，完全没有了课前的紧张感觉，而我则趁热打铁，取 消了上课、起立、坐下等常套的礼仪，立刻转入正
6、题。） 师：看来呀，在做游戏的时候，有时先说和后说结果会截然不同。我们再来玩 个游戏，好吗？ 生：（满脸兴奋地大声答）好！ 2 2、数数游戏、数数游戏 师：（故意卖关子）这个游戏好难的。 生：（满脸期待地说）我们不怕。 师：好，既然这样，我就不客气了。这个游戏的名字叫数数，规则是女同学先说 1，男同学接着数 2；女同学再接着数 3，男同学接着数 4，这样轮流下去，明白吗？ （全体同学大笑， 原来如此简单。 在轻松的氛围中老师指挥他们按照顺序轮流数数。 ） 生：明白。 师：女同学开始。 女生：（面带微笑）1。 男生：（同样的微笑）2。 女生：3。 男生：4。 女生：17。 男生：18。 师：停，
7、就到这。（笑着说）我们真正要做的游戏不是这样的，但与 18 有关，请看 大屏幕。 二、活动探究 1、 出示问题 游戏一： 两人按自然数顺序轮流报数，每人每次只能报 1 或 2 个数。比如第一个人可以 报 1，第二个人可以报 2 或 2、3；第一个人也可以报 1、2，第二个人可以报 3 或 3、4， 这样继续下去，谁先报到 18，谁就胜，请问谁有必胜的策略？ 2、引导探究 师：谁愿意帮我们读读题目？ 生：读题。 师：明白游戏的意思吗？策略是什么意思呀？ 部分学生:策略就是方法的意思。 师：对，怎样才能找到一定赢别人的方法呢？请先独立思考。 （约两分钟后） 师：感觉有方法了吗？ 生：好像有了。（大
8、部分同学此时都很茫然。） 师：这样吧，你们同桌两人一组，过过招，试一试刚才自己想的办法管不管 用？请开始。 （学生纷纷开始过招，教师走到学生中间仔细聆听。） （约 3 到 5 分钟后） 师：可以交流了吗？ 生：大部分说可以，但有个别小组还在过招。 师：我们等他们一会。比过的小组可以再比试比试。 师：好。刚才胜利的学生请举手。 （约有一半的学生举起了手。） 师：恭喜各位胜利者！你们当中有哪位同学可以很自信地说： “我一定可以打败别 人。” （有几位勇敢的学生积极地举着手，老师任意选择一位，请到讲台前。） 师：（与其握手）请问怎么称呼？ 生： （转向全班同学，用带有些故意挑斗的口气说话。） 师：同
9、学说他可以统统地打败你们，有没有不服气的？ （此时，有很多不服气的学生举手。老师转向同学） 师：你觉得你可以打败谁，就把谁请上来。 （环视全班同学，找了个他估计能打败的选手。） 师：（面对挑战者，笑着说），他欺负你耶。请问有没有什么要求？ （该生大大咧咧地说，没有任何要求。而却要求先说。） 【两人对决开始，为了表述方便，甲代表，乙代表挑战者。】 甲：1 乙：2、3 甲：4、5 乙：6、7 甲：8、9 乙：10 甲：11、12 乙：13、14 （此前，全场鸦雀无声，都在静听两位同学的报数。） 甲：15（面露喜色，暗暗高兴） 乙：16 甲：17、18 （甲获胜，洋洋得意。老师与乙握手，鼓励他失败了
10、没关系，回到座 位上好好想想自己失败的原因。） 师：（握着甲的手）你真棒！先说的竟然还赢了。如果你能再赢一次， 老师就佩服你是真正的高手。（转向下面的同学）有没有敢再来挑战的？我就不相信，能 打不败他。（经老师这么一鼓励，很多学生举手。这次老师挑了一名同学，请上讲台。） 师：请问有什么要求没有？（老师有意偏袒，可这位同学好像受了刚 才胜利者的影响，竟然要求自己先说。） 【两人开始对决，用丙代表新上台的同学。】 丙：1、2 甲：3 丙：4 甲：5、6 丙：7、8 甲：9、10 丙：11 甲：12（小心翼翼地报出） 丙：13、 甲：14、15（再次面露喜色，暗暗高兴） 丙：16、17 甲：18 （
11、甲又一次获胜，非常高兴。老师与丙握手，鼓励他失败了没关系，回到座位上也 好好想想自己失败的原因。） 师：（与甲亲切握手，大肆表扬）你真了不起，先说、后说都能打败 别人，你真是天下无敌呀！掌声欢送英雄上位休息！ （听老师这么夸张地表扬他，很多学生又不服气地举起了手。） 师：（面向大家）各位不要着急，刚才甲同学赢得好像真有点诀窍 耶。咱们先来分析分析。有没有人发现甲同学在报到某一个数的时候就声音很大，而且脸 上乐得像开了花，那个数是多少？ 生：（马上有人回答）是 15。 师：为什么说到 15 甲同学就喜笑颜开了呢？（甲同学不忙说，先 听听别的同学怎么解释。） 生：甲同学如果说到 15，就一定能说到
12、 18。 师：（故意装作不懂），什么意思？请你再说一遍。 （生重复。） 师：真的吗？我们来试一试。（请甲同学与老师配合） 【师生表演】 第一种情况： 甲：15 师：16 甲：17、18 第二种情况： 甲：15 师：16、17 甲：18 师：（假装恍然大悟似的）果真如此，都清楚了吗？ 生：清楚了。 师：（强化追问），抢到 15 后，如果别人报 1 个数，咱就报几个数？ 生：2 个。 师：（继续强化追问），抢到 15 后，如果别人报 2 个数，咱就报几个 数？ 生：1 个。 师：简单地说，就是与对手报数时要几个数组成一组？ 生：3 个数一组。 师：好！通过刚才的分析和讨论，我们已经清楚，要想抢到
13、18，就必 须抢到 15。现在的问题就变成了怎样才能一定抢到 15 呢？ 【教师板书：18、15】 （有了前面 18 到 15 的分析，学生很快就能发现，要想抢到 15，就 必须抢到 12） 生：12. 师：真的吗？ 【任意选一位学生，再次与老师合作表演】 第一种情况： 生：12 师：13 生：14、15 第二种情况： 甲：12 师：13、14 生：15 师：（再一次用肯定的口吻）嗯，说到 12 后，只要与对手 3 个一组报 数，果真能抢到 15。 师：现在的问题又变成什么了？ 生：怎样保证说到 12？ 师：对呀，怎样保证说到 12 呢？ （有了前面的基础，学生很快发现了规律。） 生：必须说到
14、 9。 师：怎样保证说到 9 呢？ 生：必须说到 6。 师：怎样保证说到 6 呢？ 生：必须说到 3。 师：现在的问题就变成了怎样保证说到 3 呢？ 【教师完整板书：18、15、12、9、6、3 3】 （稍作停顿后，追问）是争取先说，还是后说？ 生：必须想办法后说。 师：对，此种情况下，我们一定要发扬风格，想尽办法，争取后说。别人说 1， 咱们说啥？ 生：我们说 2、3。 师：别人要是说 1、2 呢？ 生：我们就只说 3。 师：非常好！我们就是要与对手始终保持 3 个一组报数。 3、小结规律 师：谁能总结一下，此种游戏规则下，必胜的策略是什么？ 生：要争取后说。 师：仅仅后说就一定能赢吗？刚才
15、不也有后说的人输了吗？谁还有补充？ 生：别人要是报 1 个数，我们就要报 2 个数；别人要是报 2 个数，我们就 要报 1 个数。 师：谁能跟简洁地表达？ 生：就是要和对手 3 个一组地报数。 师：很好！谁能把这两条完整地说一说。 生：必胜的策略有两条，第一，争取后说。第二，和对手 3 个一组报数。 师：（对着乙）你现在明白刚才输的原因了吗？甲自己要先说的，多好的 赢他的机会呀，而你却输了，多亏呀！ 师：（对着丙）你现在明白刚才输的原因了吗？你自己上来就要求先说， 虽然你的对手也有点稀里糊涂，但你也是在铤而走险呀，输的太可惜了！ 4、体验成功 师：必胜的两条策略都掌握了吗？ 生：都掌握了。 师
16、：好！想不想体验一下打败老师的感觉。 生：（兴奋地齐声回答）想。 师：老师今天就牺牲一回。告诉我，要想赢我，谁先报？ 生：老师，您请! 师：然后呢？ 生：当然是 3 个一组。 师：好！那我就不客气了。 【师生对决】 师：1 生：2、3 师：4、5 生：6 师：可以报两个数耶？ 生：（笑答）嗯，我们不说了，只说 1 个 6。 师：这帮小鬼满精灵，还真不上当。 师：7 生：8、9 师：这回怎么知道要说两个数了呢？ 生：（笑答）当然，3 个一组吗。 师：10 生：11、12 师：13、14 生：15 师：16（16、17） 生：17、18（18） 【老师最后还故意在挣扎，换了两套方案，也逃不了失败的
17、必然】 5、再次探究 师：看来同学们真的掌握了必胜的策略。如果该游戏规则不变，老师改一个字，变 成谁说到 18 谁就输，必胜的策略又是什么？请想一想，然后与你的同桌再过过招。 （学生尝试、讨论。教师走到学生中间认真倾听。）（约两三分钟后） 师：可以交流了吗？ 生：可以。 师：好。刚才胜利的学生请举手。 （举手的同学似乎比上次少了些。） 师：恭喜各位胜利者！还是老规矩，你们当中有哪位同学可以很自信地说：“我 一定可以打败别人。” （依然有几位勇敢的学生积极地举着手，老师任意选择一位，请到讲台前。） 师：（与其握手）请问怎么称呼？ 生：。 （转向全班同学，依旧用带有些故意挑斗的口气说话。） 师：同
18、学说他可以统统地打败你们，有没有不服气的？ （此时，依然有很多不服气的学生举手。老师转向同学） 师：老规矩，你觉得你可以打败谁，或者平时看谁不顺眼，就把谁请上来。 （笑曰，没有不顺眼的，但依然找了个他估计能打败的选手。） 师：（面对挑战者，笑着说），他像欺负你耶。没关系，老师帮帮你，请问有没有 什么要求？ 生：（可能是受定势的影响，立刻答道）我要后说。 【两人开始对决，为了表述方便，仍然用甲代表，乙代表挑战者。】 甲：1、2 乙：3、4 甲：5、6 乙：7 甲：8 乙：9、10 甲：11 乙：12、13 （此时，全场也是鸦雀无声，都在静听两位同学的报数。） 甲：14（面露喜色，有点高兴。） 乙
19、：15、16 甲：17 乙：18 （甲获胜，很开心。老师与乙握手，鼓励他回到座位上好好想想自己失败 的原因。） 师：（握着甲的手）你真棒！果真赢了。可以再来一次吗？（甲正在 高兴头上，当然没有意见，老师又选上一位挑战者。） 师：请问有什么要求没有？（老师还是有意偏袒，这位同学也好像受 了刚才胜利者的启发，直接要求自己先说。） 【两人开始对决，依然用丙代表新上台的同学。】 丙：1、 甲：2、3 丙：4 甲：5、6 丙：7、 甲：8、9 丙：10 甲：11（小心翼翼地报出） 丙：12、13 甲：14（再次面露喜色，暗暗高兴） 丙：15 甲：16、17 丙：18 （甲又一次获胜，非常高兴。老师与丙握
20、手，同样鼓励他回到座位上也好好想想自 己失败的原因。） 师：（与甲亲切握手，大肆表扬）你真了不起，先说、后说也都能打 败别人，你也是天下无敌呀！掌声欢送今天的另一位英雄上位休息！ 师：刚才甲同学赢得也好像真有点门道？谁发现 了？ 生：因为说到 18 就输，所以要想不输，就一定要抢到 17。 师：说得好！说到 18 为输，其实与抢到 17 为赢是一个意思。怎样才能保证抢到 17 呢？ 生：我发现了，刚才甲同学说到 14 的时候就开始笑了。 师：说到 14，甲同学为什么就笑了呢？ 生：按照 3 个一组排法，就一定可以抢到 17。 师：怎样才能保证抢到 14 呢？ （有了上面的基础，学生很快就发现了
21、规律） 【教师对应刚才的板书：17、14、11、8、5、2】 师：现在的关键问题是如何保证抢到 2 呢？ 生：先报。 师：先报什么？ 生：先报 1、2。 师：对。（面对丙同学）你很聪明，意识到此时需要先报，但你只报 了 1，实在可惜。（面向乙同学）你也很聪明，上个游戏必胜的策略掌握得很好，但我们 的游戏改变了一点点，原来的方法可能就不管用了，以后要学会变通。 师：谁能总结一下现在的必胜策略是什么？ 生：先报 1、2，然后与对手 3 个一组往前滚。 师：说得好!“滚”尤其好！想不想再来体验一把打败别人的感觉？ 生：想。 师：打败谁呢？ 生：（一起用手指着老师）你。 师：好！我再牺牲一回。要想打败
22、我，谁先开始？ 生：我们。 师：请出招吧！ 【师生开始一场没有悬念的对决】 生：1、2 师：3、4 生：5 师：可以报两个数耶？ 生：（笑答）嗯，我们就不说，只说 5。 师：真精明，还真骗不了你们。 师：6 生：7、8 师：9 生：10、11 师：12 生：13、14 师：15（或 15、16） 生：16、17（或 17） 师：18（输定） 6、探求规律 师：刚才的游戏，不管是抢到 18 赢，还是抢到 17 赢。17 和 18 都是比较小 的点数。如果游戏的规则不变，最终的点数变成谁先抢到 178 谁赢，难道说，我们还要像 刚才一样，从 17 或 18 开始，3 个一组、3 个一组地往前倒推吗
23、？有没有更简捷的办法让我 们很快知道是应该抢哪些关键点数，是先报还是后报呢？（可以独立思考，也可以与别人 商量。） （过了一会，个别聪明的学生开始举手） 生：用 178 除以 3。 师：为什么呢？ 生：因为从 178 往前倒推，不断地减 3，其实就是除以 3。 （经他这么一说，很多同学马上恍然大悟。） 师：说得好！连续减去同一个数，其实就是除法。请拿笔算一算，178 除以 3 的结 果是多少？ 生：笔算（个别人在心算，很快有了结果）商 59 余 1。 师：像这种有余数的该怎么办？请看黑板上的两种简单情况： 18 除以 3，商几？有没有余数？ 生：商 6，没有余数。 师：这种情况是先报还是后报有
24、必胜的策略？ 生：后报，始终保持与对手 3 个一组。 师：17 除以 3，商几？有没有余数？ 生：商 5 余 1。 师：这种情况是先报还是后报有必胜的策略？ 生：先报。 师：先报什么？ 生：余数。 师：然后呢？ 生：然后再与对手保持 3 个一组。 师：178 除以 3，商 59 余 1。这种情况下，是先报还是后报？ 生：先报余数 1，然后再与对手每次保持 3 个一组。 师：商 59 表示什么意思？ 生：3 个一组，要 59 个轮回。 师：除数 3，刚好和游戏规则中的什么有关？ 生：除数 3，刚好等于游戏规则中报数最少为 1 个和最多 2 个的和。也就是 1+2=3。 师：发现的好！游戏的点数从
25、 18 改到 17，又从 17 变到 178，还有没有变成别的数的可 能？ 生：当然可以。 师：能变多少？ 生：（有点犹豫地）应该很多吧。 师：是的，可以变成千千万万个数。但不管点数变成多少，我们都可以使用今天咱们自 己发现的解题策略，用除法去解决。 三、实践应用 师：刚才的游戏，我们仅仅是在抢的点数上变化，规则和情境能否也变化呢？ 大屏幕出示 游戏二： 师：先看看这个游戏和以前的游戏有什么异同，再思考如何解决？ （学生试做，约 1 分钟后交流。） 生：两个游戏表面上不同，其实本质一样。用今天我们总结的方法解决 253+1=61 所以，甲只要先拿到 1 枚棋子，然后与对手保持 4 个一组就一定能赢。 师：游戏从“抢 18”，变成了“玩棋子”，规则也发生了相应的变化，照这样变下 去，游戏可以变得无穷尽也，但我们解决问题的策略可以始终不变，这就叫智慧，这就是 数学的魅力。介绍“非合作的赛局”博弈理论，希望学生做游戏的主人，做生活的智者！
