1、第 1页（共 27页） 2021 年辽宁省沈阳市中考数学试卷年辽宁省沈阳市中考数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1 （2 分）9 的相反数是（） A? ? B? ? ? C9D9 2 （2 分）如图是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（） ABCD 3 （2 分）据报道，截至 2021 年 5 月 24 日 16 时，沈阳市新冠疫苗累计接种 3270000 次， 将数据 3270000 用科学记数法表示为（） A32.7105B0.32
2、7107C3.27105D3.27106 4 （2 分）下列计算结果正确的是（） Aa4a2a8B6a2a4a Ca6a2a3D （a2b）2a4b2 5 （2 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，若 ab，170，则2 的度数是（） A70B100C110D120 6 （2 分）信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min） ，数据整理如 下：15，17，23，15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是 （） A众数是 17B众数是 15C中位数是 17D中位数是 18 7 （2 分）如图，ABC 与A1B1C1位似，位似中心是点 O，若
3、 OA：OA11：2，则ABC 与A1B1C1的周长比是（） 第 2页（共 27页） A1：2B1：3C1：4D1： ? 8 （2 分）一次函数 y3x+1 的图象不经过（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 9 （2 分）下列说法正确的是（） A任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数 B “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 C了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式 D若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲20.3，s乙20.02，则甲组数据更稳定 10 （2 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB2 ?，ACB60，连接 OA，OB， 则? ?的长是（ ）
4、 A? ? B? ? CD? ? 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，合计分，合计 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：ax2+2ax+a 12 （3 分）不等式组 ? ? m? ? m ? ?的解集是 13 （3 分）化简： （ ? ? ? ? ?h）（x+4） 14 （3 分）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 是反比例函数 y? ? ?（k0）图 象上的一点，过点 A 分别作 AMx 轴于点 M，ANy 轴于点 N若四边形 AMON 的面 第 3页（共 27页） 积为 12，则 k 的值是 15 （3 分）某超市购进一批单价为
5、 8 元的生活用品，如果按每件 9 元出售，那么每天可销 售 20 件经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高 1 元，其销售量相应减少 4 件， 那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大 16 （3 分）如图，ABC 中，AC3，BC4，AB5四边形 ABEF 是正方形，点 D 是直 线 BC 上一点，且 CD1P 是线段 DE 上一点，且 PD? ? ?DE过点 P 作直线 l 与 BC 平行，分别交 AB，AD 于点 G，H，则 GH 的长是 三、解答题（第三、解答题（第 17 小题小题 6 分，第分，第 18、19 题各题各 8 分，共分，共 22 分）分） 17 （6 分）计
6、算： （2021）03tan30+|1?|+（? ?） 2 18（8 分） 如图， 在菱形 ABCD 中， 点 M， N 分别是边 BC， DC 上的点， BM? ? ?BC， DN? ? ?DC 连 接 AM，AN，延长 AN 交线段 BC 延长线于点 E （1）求证：ABMADN； （2）若 AD4，则 ME 的长是 第 4页（共 27页） 19 （8 分）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用 A，B， C 依次表示这三种型号） 小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型 号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同 （1）小辰随机选择一种型号是凝胶型
7、免洗洗手液的概率是 （2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20 （8 分）学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党 100 周年之际，某校对全 校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为 A，B，C，D 四个等级，随机抽取了 部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中一共抽取了名学生； （2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D 等级对应的圆心角度数是度； （4）根据
8、抽样调查的结果，请你估计该校 2000 学生中有多少名学生的成绩评定为 C 等 级 21 （8 分）某校团体操表演队伍有 6 行 8 列，后又增加了 51 人，使得团体操表演队伍增加 的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？ 五、解答题（本题五、解答题（本题 10 分）分） 22 （10 分）如图，AB 是O 的直径，AD 与O 交于点 A，点 E 是半径 OA 上一点（点 E 不与点 O，A 重合） 连接 DE 交O 于点 C，连接 CA，CB若 CACD，ABCD 第 5页（共 27页） （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 AB13，CACD5，则 AD 的长是 六、解答题（本题六
9、、解答题（本题 10 分）分） 23 （10 分）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，直线 ykx+15（k0）经过点 C（3， 6） ，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B线段 CD 平行于 x 轴，交直线 y? ? ?x 于点 D，连 接 OC，AD （1）填空：k，点 A 的坐标是（，） ； （2）求证：四边形 OADC 是平行四边形； （3）动点 P 从点 O 出发，沿对角线 OD 以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动，直到 点 D 为止；动点 Q 同时从点 D 出发，沿对角线 DO 以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 运动，直到点 O 为止设两个点的运动时间均为 t
10、 秒 当 t1 时，CPQ 的面积是 当点 P，Q 运动至四边形 CPAQ 为矩形时，请直接写出此时 t 的值 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 24 （12 分）在ABC 中，ABAC，CDE 中，CECD（CECA） ，BCCD，D， ACB+ECD180，点 B，C，E 不共线，点 P 为直线 DE 上一点，且 PBPD （1）如图 1，点 D 在线段 BC 延长线上，则ECD，ABP 第 6页（共 27页） （用含的代数式表示） ； （2）如图 2，点 A，E 在直线 BC 同侧，求证：BP 平分ABC； （3）若ABC60，BC? ?1，将图 3 中的CDE 绕点 C
11、 按顺时针方向旋转，当 BPDE 时，直线 PC 交 BD 于点 G，点 M 是 PD 中点，请直接写出 GM 的长 八、解答题（本题八、解答题（本题 12 分）分） 25 （12 分）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，点 B 坐标是（3，0） 抛物线与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 P 是抛物线的顶点，连接 PC （1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点 P 的坐标 （2）直线 BC 与抛物线对称轴交于点 D，点 Q 为直线 BC 上一动点 当QAB 的面积等于PCD 面积的 2 倍时，求点 Q
12、 的坐标； 在的条件下，当点 Q 在 x 轴上方时，过点 Q 作直线 l 垂直于 AQ，直线 y? ? ?x? ? ? 交直线 l 于点 F，点 G 在直线 y? ? ?x? ? ?上，且 AGAQ 时，请直接写出 GF 的长 第 7页（共 27页） 2021 年辽宁省沈阳市中考数学试卷年辽宁省沈阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1 （2 分）9 的相反数是（） A? ? B? ? ? C9D9 【解答】解：9 的
13、相反数是9， 故选：D 2 （2 分）如图是由 6 个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（） ABCD 【解答】解：从几何体的正面看，底层是四个小正方形，上层的左端是一个小正方形 故选：B 3 （2 分）据报道，截至 2021 年 5 月 24 日 16 时，沈阳市新冠疫苗累计接种 3270000 次， 将数据 3270000 用科学记数法表示为（） A32.7105B0.327107C3.27105D3.27106 【解答】解：32700003.27106 故选：D 4 （2 分）下列计算结果正确的是（） Aa4a2a8B6a2a4a Ca6a2a3D （a2b）2a4b2 【
14、解答】解：Aa4a2a6，故本选项错误； B6a2a4a，故本选项正确； Ca6a2a4，故本选项错误； D （a2b）2a4b2，故本选项错误； 故选：B 5 （2 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，若 ab，170，则2 的度数是（） 第 8页（共 27页） A70B100C110D120 【解答】解：如图， ab， 1370， 2+3180， 2180318070110 故选：C 6 （2 分）信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min） ，数据整理如 下：15，17，23，15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是 （） A众数
15、是 17B众数是 15C中位数是 17D中位数是 18 【解答】解：以上数据重新排列为：15，15，17，17，17，18，19，21，21，23， 众数为 17、中位数为? ? ?17.5， 故选：A 7 （2 分）如图，ABC 与A1B1C1位似，位似中心是点 O，若 OA：OA11：2，则ABC 与A1B1C1的周长比是（） 第 9页（共 27页） A1：2B1：3C1：4D1： ? 【解答】解：ABC 与A1B1C1位似， ABCA1B1C1，ACA1C1， AOCA1OC1， ? ? ? ? ? ? ? ?， ABC 与A1B1C1的周长比为 1：2， 故选：A 8 （2 分）一次函
16、数 y3x+1 的图象不经过（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：一次函数 y3x+1，k3，b1， 该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C 9 （2 分）下列说法正确的是（） A任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数 B “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件 C了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式 D若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲20.3，s乙20.02，则甲组数据更稳定 【解答】解：A任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误， 不合题意； B “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，
17、故原说法错误，不合题意； C了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意； D若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲20.3，s乙20.02，则乙组数据更稳定，故原 说法错误，不合题意； 第 10页（共 27页） 故选：C 10 （2 分）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB2 ?，ACB60，连接 OA，OB， 则? ?的长是（ ） A? ? B? ? CD? ? 【解答】解：过点 O 作 ODAB 于 D， 则 ADDB? ? ?AB? ?， 由圆周角定理得：AOB2ACB120， AOD60， OA? ?t ?t?t ? ? ? ? ?2， ? ?的长? ?t? ?
18、? ? ? ， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，合计分，合计 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：ax2+2ax+aa（x+1）2 【解答】解：ax2+2ax+a， a（x2+2x+1）（提取公因式） a（x+1）2（完全平方公式） 12 （3 分）不等式组 ? ? m? ? m ? ?的解集是 m ? ?x6 第 11页（共 27页） 【解答】解：解不等式 x51，得：x6， 解不等式 3x50，得：x? m ?， 则不等式组的解集为m ? ?x6， 故答案为：m ? ?x6 13 （3 分）化简： （ ? ? ? ? ?h）（
19、x+4） 1 【解答】解： （ ? ? ? ? ?h）（x+4） ? ? ?（x+4） ? ? ?（x+4） 1， 故答案为：1 14 （3 分）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 是反比例函数 y? ? ?（k0）图 象上的一点，过点 A 分别作 AMx 轴于点 M，ANy 轴于点 N若四边形 AMON 的面 积为 12，则 k 的值是12 【解答】解：四边形 AMON 的面积为 12， |k|12， 反比例函数图象在二四象限， k0， k12， 故答案为：12 15 （3 分）某超市购进一批单价为 8 元的生活用品，如果按每件 9 元出售，那么每天可销 售 20 件经调查发现，
20、这种生活用品的销售单价每提高 1 元，其销售量相应减少 4 件， 第 12页（共 27页） 那么将销售价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大 【解答】解：设销售单价定为 x 元（x9） ，每天所获利润为 y 元， 则 y204（x9）（x8） 4x2+88x448 4（x11）2+36， 所以将销售定价定为 11 元时，才能使每天所获销售利润最大， 故答案为 11 16 （3 分）如图，ABC 中，AC3，BC4，AB5四边形 ABEF 是正方形，点 D 是直 线 BC 上一点，且 CD1P 是线段 DE 上一点，且 PD? ? ?DE过点 P 作直线 l 与 BC 平行，分别交 AB，A
21、D 于点 G，H，则 GH 的长是 ? ?或 m ? 【解答】解：ABC 中，AC3，BC4，AB5， AC2+BC225，AB225， AC2+BC2AB2， ABC 为直角三角形， 当点 D 位于 C 点左侧时，如图： 设直线 l 交 BE 于点 M， 第 13页（共 27页） lBC， ?t ? ? t? t?，MGBABC， 又四边形 ABEF 是正方形，且 PD1? ? ?D1E， BEAB5，EBA90， 即?t m ? ? ?， 解得：BM? ? ? ， MGBABC，EBAACB90， GBMBCA， ? ?t ? ? ?， ? ? ? ? ? ?， 解得：GB? ? ? ，
22、AGABGB? m ?， lBC， AGHABD1， ?t ?t? ? ? ?， CD11， BD1BCCD13， ?t ? ? m ? m， 解得：GH? ? ?； 第 14页（共 27页） 当点 D 位于 C 点右侧时，如图： 与同理，此时 CD2BC+CD15， ?t m ? m ? m， 解得：GH? m ?， 综上，GH 的长为? ?或 m ?， 故答案为：? ?或 m ? 三、解答题（第三、解答题（第 17 小题小题 6 分，第分，第 18、19 题各题各 8 分，共分，共 22 分）分） 17 （6 分）计算： （2021）03tan30+|1?|+（? ?） 2 【解答】解：
23、（2021）03tan30+|1?|+（? ?） 2 13 ? ? ? ?1+4 1? ? ?1+4 4 18（8 分） 如图， 在菱形 ABCD 中， 点 M， N 分别是边 BC， DC 上的点， BM? ? ?BC， DN? ? ?DC 连 接 AM，AN，延长 AN 交线段 BC 延长线于点 E （1）求证：ABMADN； （2）若 AD4，则 ME 的长是 ? ? 第 15页（共 27页） 【解答】解： （1）证明：四边形 ABCD 为菱形， ABADBCCD，BD， BM? ? ?BC，DN? ? ?DC， BMDN， 在ABM 和ADN 中， ? ? ?t ? ? ?t ?t ?
24、 t? ， ABMADN（SAS） ， （2）四边形 ABCD 为菱形， ADCE， DANCEN， ANDCNE， ANDENC， ?t ? ? t? ?， DN? ? ?DC， ?t ? ? t? ? ? ? ?， ? ? ? ? ?， CE? ? ?， BM? ? ?BC， MC? ? ?BC1， MEMC+CE? ? ?， 故答案为：? ? 19 （8 分）某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用 A，B， C 依次表示这三种型号） 小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型 号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同 （1）小辰随机选择一种型号是凝
25、胶型免洗洗手液的概率是 ? ? 第 16页（共 27页） （2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率 【解答】解： （1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是? ?， 故答案为：? ?； （2）列表如下： ABC A（A，A）（B，A）（C，A） B（A，B）（B，B）（C，B） C（A，C）（B，C）（C，C） 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有 3 种结 果， 所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为? ? ? ? ? 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20 （8
26、分）学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党 100 周年之际，某校对全 校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为 A，B，C，D 四个等级，随机抽取了 部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中一共抽取了80名学生； （2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D 等级对应的圆心角度数是36度； （4）根据抽样调查的结果，请你估计该校 2000 学生中有多少名学生的成绩评定为 C 等 级 【解答】解： （1）3240%80（名） ， 第 17页（共 27页） 故答案为：80；
27、 （2）B 等级的学生为：8020%16（名） ， 补全条形图如下， （3）D 等级所对应的扇形圆心角的度数为：360 ? ? ?36； （4）2000 ? ? ?600（名） ， 答：估计该校 2000 学生中有 600 名学生的成绩评定为 C 等级 21 （8 分）某校团体操表演队伍有 6 行 8 列，后又增加了 51 人，使得团体操表演队伍增加 的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？ 【解答】解：设增加了 x 行，则增加的列数为 x， 根据题意，得： （6+x） （8+x）6851， 整理，得：x2+14x510， 解得 x13，x217（舍） ， 答：增加了 3 行 3 列 五、解答
28、题（本题五、解答题（本题 10 分）分） 22 （10 分）如图，AB 是O 的直径，AD 与O 交于点 A，点 E 是半径 OA 上一点（点 E 不与点 O，A 重合） 连接 DE 交O 于点 C，连接 CA，CB若 CACD，ABCD （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 AB13，CACD5，则 AD 的长是 ? ? 第 18页（共 27页） 【解答】解： （1）AB 是O 的直径， ACB90， BAC+ABC90 又CACD， DCAD， 又ABCD， CAD+BAC90， 即 OAAD， AD 是O 的切线； （2）由（1）可得ABC+BAC90D+DEA， ABCD， BA
29、CDEA， CECACD5， DE10， 在 RtABC 中，由勾股定理得， BC? ? m?12， ACBDAE90，ABCD， ABCEDA， ? t ? ? ?t， 即? ? ? ? ?t， 解得，AD? ? ? 六、解答题（本题六、解答题（本题 10 分）分） 23 （10 分）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，直线 ykx+15（k0）经过点 C（3， 6） ，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B线段 CD 平行于 x 轴，交直线 y? ? ?x 于点 D，连 接 OC，AD （1）填空：k3，点 A 的坐标是（5，0） ； （2）求证：四边形 OADC 是平行四边形；
30、（3）动点 P 从点 O 出发，沿对角线 OD 以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动，直到 第 19页（共 27页） 点 D 为止；动点 Q 同时从点 D 出发，沿对角线 DO 以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 运动，直到点 O 为止设两个点的运动时间均为 t 秒 当 t1 时，CPQ 的面积是12 当点 P，Q 运动至四边形 CPAQ 为矩形时，请直接写出此时 t 的值 【解答】解： （1）直线 ykx+15（k0）经过点 C（3，6） ， 3k+156， 解得 k3， 即直线的解析式为 y3x+15， 当 y0 时，x5， A（5.0） ， 故答案为：3，5，0； （2）线段 C
31、D 平行于 x 轴， D 点的纵坐标与 C 点一样， 又D 点在直线 y? ? ?x 上， 当 y6 时，x8， 即 D（8，6） ， CD835， OA5， OACD， 又OACD， 四边形 OADC 是平行四边形； （3）作 CHOD 于 H， 第 20页（共 27页） H 点在直线 y? ? ?x 上， 设 H 点的坐标为（m，? ?m） ， CH2（m3）2+（? ?m6） 2，DH2（m8）2+（? ?m6） 2， 由勾股定理，得 CH2+DH2CD2， 即（m3）2+（? ?m6） 2+（m8）2+（? ?m6） 252， 整理得 m? ? m 或 8（舍去） ， CH3， OD?
32、 h?10， 当 t1 时，PQODtt10118， SCPQ? ? ?PQCH? ? ? t8312， 故答案为：12； OD10， 当 0t5 时，PQ102t， 当 5t10 时，PQ2t10， 当点 P，Q 运动至四边形 CPAQ 为矩形时，PQAC， AC?m? ? h?2 ?， 当 0t5 时，102t2 ?， 解得 t5?， 当 5t10 时，2t102 ?， 解得 t5?， 综上，当点 P，Q 运动至四边形 CPAQ 为矩形时 t 的值为 5?或 5? 第 21页（共 27页） 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 24 （12 分）在ABC 中，ABAC，CDE
33、中，CECD（CECA） ，BCCD，D， ACB+ECD180，点 B，C，E 不共线，点 P 为直线 DE 上一点，且 PBPD （1）如图 1，点 D 在线段 BC 延长线上，则ECD1802，ABP（用 含的代数式表示） ； （2）如图 2，点 A，E 在直线 BC 同侧，求证：BP 平分ABC； （3）若ABC60，BC? ?1，将图 3 中的CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转，当 BPDE 时，直线 PC 交 BD 于点 G，点 M 是 PD 中点，请直接写出 GM 的长 【解答】 （1）解：如图 1 中， CECD， DE， ECD1802， ECBE+D2， ABAC， ABC
34、ACB2， PBPD， PBDD， 第 22页（共 27页） ABPABCPBD， 故答案为：1802， （2）证明：如图 2 中，连接 BD CBCD，PBPD， CBDCDB，PBDPDB， PBCPDC， ABC2， ABPPBC， PB 平分ABC （3）解：如图 31 中，设 BP 交 AC 于 J BPPD，BPPD， PBD 是等腰直角三角形， 第 23页（共 27页） CBCD，PBPD， PG 垂直平分线段 BG， BGDG， PMMD， GM? ? ?PB， ABCACB60， ECD18060120，ACB 是等边三角形， CECD， CDE30， PBCPDC30， B
35、JC90， CJ? ? ?BC? ? ? ，BJ?CJ? ? ? ? ， CPDCPJ45， PJJC? ? ? ， PBBJ+PJ? ?2， GM? ? ? 如图 32 中，设 PC 交 BC 于 K，当 BPPC 时，同法可证 GM? ? ?PB PBC30，GPBPBC+PCB45， PCBPCD15， 第 24页（共 27页） KCE120151590， E30，CECB? ?1， CK? ? ? ?1? ? ? ， KBBCCK? ? ? ? ， PBBKcos30? ? ? ? t ? ? ?1， GM? ? ?PB? ? ?， 综上所述，GM 的长为 ? ? 或? ? 八、解答题
36、（本题八、解答题（本题 12 分）分） 25 （12 分）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，点 B 坐标是（3，0） 抛物线与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 P 是抛物线的顶点，连接 PC （1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点 P 的坐标 （2）直线 BC 与抛物线对称轴交于点 D，点 Q 为直线 BC 上一动点 当QAB 的面积等于PCD 面积的 2 倍时，求点 Q 的坐标； 在的条件下，当点 Q 在 x 轴上方时，过点 Q 作直线 l 垂直于 AQ，直线 y? ? ?x? ? ? 交直线
37、l 于点 F，点 G 在直线 y? ? ?x? ? ?上，且 AGAQ 时，请直接写出 GF 的长 【解答】解（1）由题意得， ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ?， b2， yx2+2x+3 第 25页（共 27页） （ （x1）2+4， P（1，4） （2）如图 1， 作 CEPD 于 E， C （0，3） ，B （3，0） ， 直线 BC：yx+3， D（1，2） ，可设 Q（a，3a） ， CEPEDE， PCD 是等腰直角三角形， SPCD? ? ?PDCE? ? ? t211， ? ?AB|3a|2， ? ? t4|3a|2， a2 或 a4 Q（2，1）或（4，1） 如图 2
38、， 第 26页（共 27页） 设 G（m，? ?m? ? ?） ， 由 AG2AQ2得， （m+1）2? ? ? ? ? ? ? ? ?（2+1）2+12， 化简，得 5m2+2m160， m12，m2? ? m， G1（2，3） ，G2（? m，? ? m） ， 作 QHAB 于 H， AQQF， AHQQHM， QH2AHHM， 即：123HM， HM? ? ?， M（? ?，0） ， 设直线 QM 是：ykx+b， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， k3，b7， y3x+7， 第 27页（共 27页） 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得， x? ? m ，y? ? m F（? m ，? ? m） G1F? ? m ? ? ? ? m? ? ? ? m ?， G2F? ? m ? ? m? ? ? m ? ? m? ? ? ? m ?
