1、第 1页（共 33页） 2021 年甘肃省兰州市中考数学试卷（年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）卷） 一、选择题：本大题一、选择题：本大题 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分每小题只有一个正确选项分每小题只有一个正确选项 1 （3 分）若A40，则A 的余角为（） A30B40C50D140 2 （3 分）如图，该几何体的主视图是（） AB CD 3 （3 分）计算：2a（a2+2b）（） Aa3+4abB2a3+2abC2a+4abD2a3+4ab 4 （3 分）关于 x 的一元一次不等式 5xx+8 的解集在数轴上表示为（） AB CD 5 （3 分）因式分解：x
2、34x（） Ax（x24x）Bx（x+4） （x4） Cx（x+2） （x2）Dx（x24） 6 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，4）关于 y 轴对称的点 B 的坐标是（） A （3，4）B （3，4）C （3，4）D （3，4） 7 （3 分）二次函数 yx2+2x+2 的图象的对称轴是（） Ax1Bx2Cx1Dx2 8 （3 分）如图，将一个棱长为 3 的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为 1 的小正方 体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂 第 2页（共 33页） 色的概率为（） A ? ? B? ? C ? ? D? ? 9
3、 （3 分）如图，点 A 在反比例函数 y? ? ?（x0）图象上，ABx 轴于点 B，C 是 OB 的中 点，连接 AO，AC，若AOC 的面积为 2，则 k（） A4B8C12D16 10 （3 分）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试 距离为 5m 时，标准视力表中最大的“E”字高度为 72.7mm，当测试距离为 3m 时，最大 的“E”字高度为（） A4.36mmB29.08mmC43.62mmD121.17mm 11 （3 分）如图，将图 1 中的菱形纸片沿对角线剪成 4 个直角三角形，拼成如图 2 的四边 形 ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）
4、若四边形 ABCD 的面积为 13，中间空白处的 四边形 EFGH 的面积为 1，直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，则（a+b）2（） 第 3页（共 33页） A12B13C24D25 12 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 BD 上，连接 AE， CE，ABC60，BCE15，ED2+2 ?，则 AD（） A4B3C2 ?D2 二、填空题：本大题二、填空题：本大题 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分分 13 （3 分） 九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”大意为：今有两数若 其意义相反， 则分别叫做正
5、数与负数 若水位上升1m 记作+1m， 则下降 2m记作m 14 （3 分）将一副三角板如图摆放，则，理由是 15 （3 分）如图，传送带的一个转动轮的半径为 10cm，转动轮转 n，传送带上的物品 A 被传送 6cm，则 n 第 4页（共 33页） 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB1，AD3以点 A 为圆心，以不大于 AB 长 为半径作弧，分别交边 AD，AB 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，以大于? ?EF 长为 半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP 分别交 BD，BC 于点 O，Q；分别以点 C，Q 为 圆心，以大于? ?CQ 长为半径作弧，两弧交于点 M，N
6、，作直线 MN 交 AP 于点 G，则 OG 长为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 12 小题，共小题，共 72 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤 17 （4 分）计算： （ ? ? ?）? 18 （4 分）先化简，再求值：?th? t?h? ? th? t? h ? th?，其中 m4 19 （4 分）解方程：x2+4x10 20 （5 分）如图，点 E，C 在线段 BF 上，AD，ABDE，BCEF求证：ACDF 21 （6 分）如图，一次函数 y?h ? ?x+b 与反比例函数 y?h ? ? （x0） ，y?
7、? ?（x0）图象分 别交于 A（2，m） ，B（4，n） ，与 y 轴交于点 C，连接 OA，OB 第 5页（共 33页） （1）求反比例函数 y? ? ?（x0）和一次函数 y?h ? ?x+b 的表达式； （2）求AOB 的面积 22 （6 分）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置如图，小陶同学要测 量垂直于地面的大楼 BC 顶部避雷针 CD 的长度（B，C，D 三点共线） ，在水平地面 A 点 测得CAB53，DAB58，A 点与大楼底部 B 点的距离 AB20m，求避雷针 CD 的长度 （结果精确到 0.1m参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.
8、60， sin530.80，cos530.60，tan531.33） 23 （6 分）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行， 此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军 与观光车所行的路程 y（m）与时间 x（min）之间的关系根据图象解决下列问题： （1）观光车出发分钟追上小军； （2）求 l2所在直线对应的函数表达式； （3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由 第 6页（共 33页） 24 （6 分）2021 年 2 月 25 日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国 脱贫攻坚取得了全面胜利，完成
9、了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的 人间奇迹，根据 2021 年 4 月 7 日人民日报刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数 据进行收集和整理，信息如下： 信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量 信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入 信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率 年份、统计量 名称 20132014201520162017201820192020平均数 贫困地区农村居民年 607968527653845293771037111567125889117 第 7页（共 33页） 人均可支配收入/元 贫困地区农村居民年 人均可支配
10、收入增长 率/% 16.512.711.710.410.910.611.58.811.6 全国农村居民年人均 可支配收入增长率/% 12.411.28.98.28.68.89.66.99.3 请根据以上信息，解决下列问题： （1）2019 年底中国农村贫困人口数量为万人 （2） 2013 年底至 2020 年底， 贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为元 （3）下列结论正确的是（只填序号） 脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫； 脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为 11.6%，增长持 续快于全国农村； 20162020 年各级财政专项扶贫资金投入连
11、续 5 年超过中央财政专项扶贫资金 1000 亿元 25 （7 分）在 RtABC 中，ACB90，AC6cm，BC8cm，将BAC 绕点 A 顺时针 旋转，角的两边分别交射线 BC 于 D，E 两点，F 为 AE 上一点，连接 CF，且ACF B（当点 B，D 重合时，点 C，F 也重合） 设 B，D 两点间的距离为 xcm（0 x8） ，A， F 两点间的距离为 ycm 小刚根据学习函数的经验，对因变量 y 随音自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小刚的探究过程，请补充完整 （1）列表：下表的已知数据是根据 B，D 两点间的距离 x 进行取点，画图，测量分别得 到了 x 与 y
12、 的几组对应值； x/cm00.511.522.533.544.55678 y/cm6.005.765.535.315.094.884.694.504.334.174.023.793.65a 请你通过计算补全表格：a； （2）描点、连线：在平面直角坐标系 xOy 中，描出表中各组数值所对应的点（x，y） ， 并画出函数 y 关于 x 的图象； 第 8页（共 33页） （3）探究性质：随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的变化趋势：； （4）解决问题：当 AFCD 时，BD 的长度大约是cm （结果保留两位小数） 26 （7 分）如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，E 为 AB 上一点
13、，BEBC，延长 CE 交 AD 于点 D，ADAC （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 tanACE? ? ?，OE3，求 BC 的长 27 （8 分）已知正方形 ABCD，E，F 为平面内两点 第 9页（共 33页） 【探究建模】 （1）如图 1，当点 E 在边 AB 上时，DEDF，且 B，C，F 三点共线求证：AECF； 【类比应用】 （2）如图 2，当点 E 在正方形 ABCD 外部时，DEDF，AEEF，且 E，C，F 三点共 线猜想并证明线段 AE，CE，DE 之间的数量关系； 【拓展迁移】 （3）如图 3，当点 E 在正方形 ABCD 外部时，AEEC，AEAF，DEB
14、E，且 D，F， E 三点共线，DE 与 AB 交于 G 点若 DF3，AE?，求 CE 的长 28 （9 分）如图 1，二次函数 ya（x+3） （x4）的图象交坐标轴于点 A，B（0，2） ， 点 P 为 x 轴上一动点 （1）求二次函数 ya（x+3） （x4）的表达式； （2）过点 P 作 PQx 轴分别交线段 AB，抛物线于点 Q，C，连接 AC当 OP1 时， 求ACQ 的面积； （3）如图 2，将线段 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PD 当点 D 在抛物线上时，求点 D 的坐标； 第 10页（共 33页） 点 E（2，h ? ?）在抛物线上，连接 PE，当 PE 平分
15、BPD 时，直接写出点 P 的坐标 第 11页（共 33页） 2021 年甘肃省兰州市中考数学试卷（年甘肃省兰州市中考数学试卷（A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题一、选择题：本大题 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分每小题只有一个正确选项分每小题只有一个正确选项 1 （3 分）若A40，则A 的余角为（） A30B40C50D140 【解答】解：设A 的余角是B，则A+B90， A40， B904050 故选：C 2 （3 分）如图，该几何体的主视图是（） AB CD 【解答】解：从正面看该几何体，可得： 故选：B 3 （3 分）计算
16、：2a（a2+2b）（） Aa3+4abB2a3+2abC2a+4abD2a3+4ab 【解答】解：2a（a2+2b） 2aa2+2a2b 2a3+4ab 故选：D 4 （3 分）关于 x 的一元一次不等式 5xx+8 的解集在数轴上表示为（） 第 12页（共 33页） AB CD 【解答】解：5xx+8， 移项得：5xx+8， 合并得：4x8， 解得：x2， 在数轴上表示为：， 故选：B 5 （3 分）因式分解：x34x（） Ax（x24x）Bx（x+4） （x4） Cx（x+2） （x2）Dx（x24） 【解答】解：x34x x（x24） x（x+2） （x2） 故选：C 6 （3 分）在
17、平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，4）关于 y 轴对称的点 B 的坐标是（） A （3，4）B （3，4）C （3，4）D （3，4） 【解答】解：点 A（3，4）关于 y 轴的对称点是 B（3，4） ， 故选：D 7 （3 分）二次函数 yx2+2x+2 的图象的对称轴是（） Ax1Bx2Cx1Dx2 【解答】解：yx2+2x+2 中 a1，b2， 抛物线对称轴为直线 x?h ? ? ?h1 故选：A 8 （3 分）如图，将一个棱长为 3 的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为 1 的小正方 体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂 第 13页（共
18、 33页） 色的概率为（） A ? ? B? ? C ? ? D? ? 【解答】解：将一个棱长为 3 的正方体分割成棱长为 1 的小正方体，一共可得到 333 27（个） ，有 6 个一面涂色的小立方体，所以，从 27 个小正方体中任意取 1 个，则取 得的小正方体恰有一个面涂色的概率为 ? ? ? ? ?， 故选：B 9 （3 分）如图，点 A 在反比例函数 y? ? ?（x0）图象上，ABx 轴于点 B，C 是 OB 的中 点，连接 AO，AC，若AOC 的面积为 2，则 k（） A4B8C12D16 【解答】解：C 是 OB 的中点，AOC 的面积为 2， AOB 的面积为 4， ABx
19、 轴， ? ?ABOB4， ABOB8， k8 故选：B 10 （3 分）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试 距离为 5m 时，标准视力表中最大的“E”字高度为 72.7mm，当测试距离为 3m 时，最大 的“E”字高度为（） 第 14页（共 33页） A4.36mmB29.08mmC43.62mmD121.17mm 【解答】解：由题意得：CBDF， ? ?t ? ? ?， AD3m，AB5m，BC72.7mm， ? ?h? ? ? ?， DF43.62（mm） ， 故选：C 11 （3 分）如图，将图 1 中的菱形纸片沿对角线剪成 4 个直角三角形，拼成如图
20、 2 的四边 形 ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙） 若四边形 ABCD 的面积为 13，中间空白处的 四边形 EFGH 的面积为 1，直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，则（a+b）2（） A12B13C24D25 【解答】解：四边形 ABCD 的面积为 13， c213a2+b2， 中间空白处的四边形 EFGH 的面积为 1， （ba）21， a2+b22ab1， 2ab12， （a+b）225， 第 15页（共 33页） 故选：D 12 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 BD 上，连接 AE， CE，ABC60，BCE15，ED
21、2+2 ?，则 AD（） A4B3C2 ?D2 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ABC60， ADC60，BCD120，ACBD，AOCO，ADBCDB30，ACD ACB60， DO?CO?AO，AD2AO， BCE15， ACE45， ACEDEC45， EOCOAO， ED2+2 ?， AO?AO2+2 ?， AO2， AD4， 故选：A 二、填空题：本大题二、填空题：本大题 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分分 13 （3 分） 九章算术中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”大意为：今有两数若 其意义相反，则分别叫做正数与负数若水位上升 1m 记作+1m，
22、则下降 2m 记作2 m 【解答】解：水位上升 1 米记为+1m， 水位下降 2 米记为2m， 故答案为：2 14 （3 分）将一副三角板如图摆放，则BCED，理由是内错角相等，两直线 第 16页（共 33页） 平行 【解答】解：根据题意得出，ACB90，DEF90， ACBDEF， BCED 故答案为：BC；ED；内错角相等，两直线平行 15 （3 分）如图，传送带的一个转动轮的半径为 10cm，转动轮转 n，传送带上的物品 A 被传送 6cm，则 n108 【解答】解：物品 A 被传送的距离等于转动了 n的弧长， ? ? ?6， 解得：n108， 故答案为：108 16 （3 分）如图，在
23、矩形 ABCD 中，AB1，AD3以点 A 为圆心，以不大于 AB 长 为半径作弧，分别交边 AD，AB 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，以大于? ?EF 长为 半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP 分别交 BD，BC 于点 O，Q；分别以点 C，Q 为 圆心，以大于? ?CQ 长为半径作弧，两弧交于点 M，N，作直线 MN 交 AP 于点 G，则 OG 长为 ? ? ? 第 17页（共 33页） 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， BAD90，ADBC，BCAD3， 根据作图过程可知：AQ 平分BAC，MN 是 CQ 的垂直平分线， BAQ45， BQAB1， AQ?， AD
24、BC， BQODAO， ?t ?t ? ? ? ? ? ?， QO? ? ?AQ? ? ? ， AO? ? ? ?， 如图，设 CQ 的垂直平分线 MN 交 AD 于点 H， GHAD， AGH 是等腰直角三角形， AHGHADDH312， 第 18页（共 33页） AG2 ?， OGAGAO2 ? h ? ? ? ? ? ? ? 故答案为：? ? ? 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 12 小题，共小题，共 72 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤 17 （4 分）计算： （ ? ? ?）? 【解答】解：原式? ? ?
25、? ? ? 2 ? ?3 ? 5 ? 18 （4 分）先化简，再求值：?th? t?h? ? th? t? h ? th?，其中 m4 【解答】解：原式? ?：th? ：t?：th? t? th? h ? th? ? ? th? h ? th? ? ? th?， 当 m4 时， 原式? ? ? 19 （4 分）解方程：x2+4x10 【解答】解：x2+4x10 x2+4x1 x2+4x+41+4 （x+2）25 x2 ? x12?，x22h? 20 （5 分）如图，点 E，C 在线段 BF 上，AD，ABDE，BCEF求证：ACDF 第 19页（共 33页） 【解答】证明：ABED， ABCD
26、EF 在ABC 与DEF 中， ? ? ? ? ?t? ?t ? t? ， ABCDEF（AAS） ACDF 21 （6 分）如图，一次函数 y?h ? ?x+b 与反比例函数 y?h ? ? （x0） ，y? ? ?（x0）图象分 别交于 A（2，m） ，B（4，n） ，与 y 轴交于点 C，连接 OA，OB （1）求反比例函数 y? ? ?（x0）和一次函数 y?h ? ?x+b 的表达式； （2）求AOB 的面积 【解答】解： （1）点 A（2，m）在 y? ? ? 的图象上， m? h? h? ?5， A（2，5） ， 点 A（2，5）在 y?h ? ?x+b 上， 5?h ? ? ?
27、（2）+b， b4， 一次函数的表达式为 y?h ? ?x+4， 点 B（4，n）在 y?h ? ?x+4 的图象上， n?h ? ? ?42， B（4，2） ， 第 20页（共 33页） 点 B 在 y? ? ?的图象上， k428， 反比例函数的表达式为 y? ? ?（x0） ； （2）直线 y?h ? ?x+4 与 y 轴交于 C 点， 当 x0 时，y4， 点 C（0，4） ， 即 OC4， SAOBSAOC+SBOC? ? ?OC（|xA|+|xB|）? ? ? ?4（2+4）12 AOB 的面积为 12 22 （6 分）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置如图，小陶同学
28、要测 量垂直于地面的大楼 BC 顶部避雷针 CD 的长度（B，C，D 三点共线） ，在水平地面 A 点 测得CAB53，DAB58，A 点与大楼底部 B 点的距离 AB20m，求避雷针 CD 的长度 （结果精确到 0.1m参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60， sin530.80，cos530.60，tan531.33） 【解答】解：在 RtABD 中，tanBAD? ? ?， 1.60? ? ?， BD32（米） ， 在 RtCAD 中，tanCAD? ?t ?， 1.33? ?t ?， CD26.6（米） ， CDBCBD5.4（米） 第 21页（共 33页
29、） 答：避雷针 DC 的长度为 5.4 米 23 （6 分）小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行， 此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军 与观光车所行的路程 y（m）与时间 x（min）之间的关系根据图象解决下列问题： （1）观光车出发6分钟追上小军； （2）求 l2所在直线对应的函数表达式； （3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由 【解答】解： （1）由图象可知，观光车出发：21156（分钟） ，追上小军； 故答案为：6； （2）观光车到达景区的时间为：15+3000（18006）25（min） ， 设 l
30、2所在直线对应的函数表达式为 ykx+b， 则 ? ? ? ? ? ? ?， 解得 ? ? ? ? ?h ?， l2所在直线对应的函数表达式为 y300 x4500（15x25） ； （3）33258（min） ， 故观光车比小军早 8 分钟到达观景点 24 （6 分）2021 年 2 月 25 日，习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国 脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的 人间奇迹，根据 2021 年 4 月 7 日人民日报刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数 据进行收集和整理，信息如下： 信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量
31、第 22页（共 33页） 信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入 信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率 年份、统计量 名称 20132014201520162017201820192020平均数 贫困地区农村居民年 人均可支配收入/元 607968527653845293771037111567125889117 贫困地区农村居民年 人均可支配收入增长 率/% 16.512.711.710.410.910.611.58.811.6 全国农村居民年人均 可支配收入增长率/% 12.411.28.98.28.68.89.66.99.3 请根据以上信息，解决下
32、列问题： （1）2019 年底中国农村贫困人口数量为551万人 （2） 2013 年底至 2020 年底， 贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为6509元 （3）下列结论正确的是（只填序号） 脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫； 第 23页（共 33页） 脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为 11.6%，增长持 续快于全国农村； 20162020 年各级财政专项扶贫资金投入连续 5 年超过中央财政专项扶贫资金 1000 亿元 【解答】解： （1）根据信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量的条形统计图 即可知：2019 年底中国农村贫困人口数
33、量为 551 万人； 故答案为：551； （2）1258860796509， 故答案为：6509； （3）根据信息一，可得，脱贫攻坚以来中国农村贫因人口数量逐年减少，最终全部脱贫， 故正确； （16.5+12.7+11.7+10.4+10.9+10.6+11.5+8.8+11.6）911.6，且每一年的我国贫困 地区农村居民人均可支配收入年增长率持续快于全国农村；故正确； 2016 年：170066510351000， 2017 年：222086513551000， 2018 年：2780106517151000， 2019 年：3160126518951000， 2020 年：3520146
34、520551000， 20162020 年各级财政专项扶贫资金投入连续 5 年超过中央财政专项扶贫资金 1000 亿 元故正确， 故答案为： 25 （7 分）在 RtABC 中，ACB90，AC6cm，BC8cm，将BAC 绕点 A 顺时针 旋转，角的两边分别交射线 BC 于 D，E 两点，F 为 AE 上一点，连接 CF，且ACF B（当点 B，D 重合时，点 C，F 也重合） 设 B，D 两点间的距离为 xcm（0 x8） ，A， F 两点间的距离为 ycm 小刚根据学习函数的经验，对因变量 y 随音自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小刚的探究过程，请补充完整 （1）列表：下
35、表的已知数据是根据 B，D 两点间的距离 x 进行取点，画图，测量分别得 到了 x 与 y 的几组对应值； 第 24页（共 33页） x/cm00.511.522.533.544.55678 y/cm6.005.765.535.315.094.884.694.504.334.174.023.793.65a 请你通过计算补全表格：a3.6； （2）描点、连线：在平面直角坐标系 xOy 中，描出表中各组数值所对应的点（x，y） ， 并画出函数 y 关于 x 的图象； （3）探究性质：随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的变化趋势：y 的值逐渐减小； （4）解决问题：当 AFCD 时，BD 的长度
36、大约是3.5cm （结果保留两位小数） 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 DF BACDAF， BADCAF， ADCB+BAD，CFEACF+CAF，ACFB， 第 25页（共 33页） CFEADC， A，F，C，D 四点共圆， AFDACD90， 当 BD8 时，如图 2 中， 在 RtACB 中，AC6cm，BC8cm， AB?t? ?t? ?10（cm） ， cosCAFcosCAB， ? ?t ? ?t ?， AF? ? ? ? ? ? ?3.6（cm） ， a3.6， 故答案为：3.6 （2）函数图象如图所示： （3）随着自变量 x 的不断增大，函数 y 的值逐渐减小 故答
37、案为：y 的值逐渐减小 第 26页（共 33页） （4）如图，因为直线 CD 的红线解析式为 yx+8， 观察图象可知，当 CDAF 时，x3.5， BD3.5（cm） ， 故答案为：3.5 26 （7 分）如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，E 为 AB 上一点，BEBC，延长 CE 交 AD 于点 D，ADAC （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若 tanACE? ? ?，OE3，求 BC 的长 【解答】解： （1）AB 是O 的直径， ACB90， 即ACE+BCE90， ADAC，BEBC， ACED，BCEBEC， 又BECAED， 第 27页（共 33页） AED+D
38、90， DAE90， 即 ADAE， OA 是半径， AD 是O 的切线； （2）由 tanACE? ? ? ?tanD 可设 AEa，则 AD3aAC， OE3， OAa+3，AB2a+6， BEa+3+3a+6BC， 在 RtABC 中，由勾股定理得， AB2BC2+AC2， 即（2a+6）2（a+6）2+（3a）2， 解得 a10（舍去） ，a22， BCa+68 27 （8 分）已知正方形 ABCD，E，F 为平面内两点 第 28页（共 33页） 【探究建模】 （1）如图 1，当点 E 在边 AB 上时，DEDF，且 B，C，F 三点共线求证：AECF； 【类比应用】 （2）如图 2，
39、当点 E 在正方形 ABCD 外部时，DEDF，AEEF，且 E，C，F 三点共 线猜想并证明线段 AE，CE，DE 之间的数量关系； 【拓展迁移】 （3）如图 3，当点 E 在正方形 ABCD 外部时，AEEC，AEAF，DEBE，且 D，F， E 三点共线，DE 与 AB 交于 G 点若 DF3，AE?，求 CE 的长 【解答】 （1）证明：如图 1 中， 四边形 ABCD 是正方形， DADC，AADCDCBDCF90， DEDF， EDFADC90， ADECDF， 在DAE 和DCF 中， ?t ?t? ? ? ?t ? ? ?t? ， DAEDCF（ASA） ， AECF （2）解
40、：结论：EA+EC?DE 理由：如图 2 中，连接 AC 交 DE 于点 O，过点 D 作 DKEC 于点 K，DJEA 交 EA 的 第 29页（共 33页） 延长线于点 J 四边形 ABCD 是正方形，DEF 是等腰直角三角形， DAOOEC45， AODEOC， AODEOC， ?t tt ? t? tt， ?t t? ? tt tt， AOEDOC， AOEDOC， AEODCO45， DEJDEK， JDKE90，EDED， EDJEDK（AAS） ， EJEK，DJDK， JDKC90，DJDK，DADC， RtDJARtDKC（HL） ， AJCK， EA+ECEJAJ+EK+C
41、K2EJ， DE?EJ， EA+EC?DE （3）解：如图 3 中，连接 AC，取 AC 的中点 O，连接 OE，OD 第 30页（共 33页） 四边形 ABCD 是正方形，AEEC， AECADC90， OAOC， ODOAOCOE， A，E，C，D 四点共圆， AEDACD45， AEDDEC45， 由（2）可知，AE+EC?DE， AEAF， EAF90， AEFAFE45， AEAF?， EF?AE2， DF3， DE5， ? ?EC5 ?， EC4 ? 28 （9 分）如图 1，二次函数 ya（x+3） （x4）的图象交坐标轴于点 A，B（0，2） ， 点 P 为 x 轴上一动点 第
42、 31页（共 33页） （1）求二次函数 ya（x+3） （x4）的表达式； （2）过点 P 作 PQx 轴分别交线段 AB，抛物线于点 Q，C，连接 AC当 OP1 时， 求ACQ 的面积； （3）如图 2，将线段 PB 绕点 P 逆时针旋转 90得到线段 PD 当点 D 在抛物线上时，求点 D 的坐标； 点 E（2，h ? ?）在抛物线上，连接 PE，当 PE 平分BPD 时，直接写出点 P 的坐标 【解答】解： （1）将 B（0，2）代入 ya（x+3） （x4） ， a? ? ?， y? ? ?（x+3） （x4）? ? ?x 2h? ?x2； （2）令 y0，则? ?（x+3） （x
43、4）0， x3 或 x4， A（4，0） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b， ? ?h ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ?h ? ， y? ? ?x2， OP1， P（1，0） ， PQx 轴， Q（1，h ? ?） ，C（1，2） ， 第 32页（共 33页） AP3， SACQSACPSAPQ? ? ? ?32h ? ? ?3 ? ? ? ? ?； （3）设 P（t，0） ， 如图 2，过点 D 作 x 轴垂线交于点 N， BPD90， OPB+NPD90，OPB+OBP90， NPDOBP， BPPD， PNDBOP（AAS） ， OPND，BOPN， D（t+2，t）
44、， t? ? ?（t+2+3） （t+24） ， 解得 t1 或 t10， D（3，1）或 D（8，10） ； 如图 3，PE 平分BPD， BPEEPD， BPD90， BPE45， 当 PEy 轴时，OBP45， P（2，0） ； 如图 4，过 B 点作 BGPB 交 PE 于点 G，过 G 点作 FGy 轴，交于点 F， PBF+FBG90，FBG+FGB90， PBFFGB， BPG45， BPBG， BPOGBF（AAS） ， BFOP，FGOB， OB2， FG2， 第 33页（共 33页） E（2，h ? ?） E 点与 G 点重合， POBF2h ? ? ? ? ?， P（h ? ?，0） ； 综上所述：P 点的坐标为（2，0）或（h ? ?，0）
