1、第 1页（共 28页） 2021 年黑龙江省大庆市中考数学试卷年黑龙江省大庆市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题日要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）有一项是符合题日要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上） 1 （3 分）在，? ?，3， ? ?这四个数中，整数是（ ） AB? ? C3D? ? 2 （3 分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） ABCD 3 （3 分）北京故宫占地面积约为 720000m2，数据“72
2、0000”用科学记数法表示是（） A7.2105B72104C0.72106D7.2106 4 （3 分）下列说法正确的是（） A|x|x B若|x1|+2 取最小值，则 x0 C若 x1y1，则|x|y| D若|x+1|0，则 x1 5 （3 分）已知 ba0，则分式? ?与 ?t? ?t?的大小关系是（ ） A? ? ?t? ?t? B? ? ? ?t? ?t? C? ? ?t? ?t? D不能确定 6 （3 分） 已知反比例函数 y? ? ?， 当 x0 时， y 随 x 的增大而减小， 那么一次函数 ykx+k 的图象经过第（） A一、二、三象限B一、二、四象限 C一、三、四象限D二、
3、三、四象限 7 （3 分） 一个几何体由大小相同的小立方块搭成， 从上面看到的几何体的形状图如图所示， 其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图 的是（） 第 2页（共 28页） ABCD 8 （3 分）如图，F 是线段 CD 上除端点外的一点，将ADF 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时 针旋转 90，得到ABE连接 EF 交 AB 于点 H下列结论正确的是（） AEAF120BAE：EF1： ? CAF2EHEFDEB：ADEH：HF 9 （3 分）小刚家 2019 年和 2020 年的家庭支出如下，已知 2020 年的总支出比 2019 年的总 支出
4、增加了 2 成，则下列说法正确的是（） A2020 年教育方面的支出是 2019 年教育方面的支出的 1.4 倍 B2020 年衣食方面的支出比 2019 年衣食方面的支出增加了 10% C2020 年总支出比 2019 年总支出增加了 2% D2020 年其他方面的支出与 2019 年娱乐方面的支出相同 10 （3 分）已知函数 yax2（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（） 若该函数图象与 x 轴只有一个交点，则 a1； 第 3页（共 28页） 方程 ax2（a+1）x+10 至少有一个整数根； 若? ? x1，则 yax2（a+1）x+1 的函数值都是负数； 不存在实数 a，使得
5、 ax2（a+1）x+10 对任意实数 x 都成立 A0B1C2D3 二二填空题填空题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分不需写出解答过程不需写出解答过程，请把答案直接请把答案直接 填写在答题卡相应位置上）填写在答题卡相应位置上） 11 （3 分） ? ? ? 12 （3 分）已知? ? ? ? ? ? ? ?，则 ?t? ? ? 13 （3 分）一个圆柱形橡皮泥，底面积是 12cm2高是 5cm如果这个橡皮泥的一半，把它 捏成高为 5cm 的圆锥，则这个圆锥的底面积是cm2 14 （3 分）如图，3 条直线两两相交最多有 3 个交点，4 条直线两两相交最
6、多有 6 个交点， 按照这样的规律，则 20 条直线两两相交最多有个交点 15 （3 分）三个数 3，1a，12a 在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构 成三角形，则 a 的取值范围为 16 （3 分）如图，作O 的任意一条直径 FC，分别以 F、C 为圆心，以 FO 的长为半径作 弧，与O 相交于点 E、A 和 D、B，顺次连接 AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边 形 ABCDEF，则O 的面积与阴影区域的面积的比值为 17 （3 分）某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间 150 元/间，双人间 140 元/间为吸引游客，酒店实行团体入住五折
7、优惠措施，一个 46 人的 旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间 第 4页（共 28页） 客房正好住满，且一天共花去住宿费 1310 元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间 普通客房共间 18（3 分） 已知， 如图， 若 AD 是ABC 中BAC 的内角平分线， 通过证明可得? ?t ? ? t?， 同理，若 AE 是ABC 中BAC 的外角平分线，通过探究也有类似的性质请你根据上 述信息，求解如下问题： 如图，在ABC 中，BD2，CD3，AD 是ABC 的内角平分线，则ABC 的 BC 边上的中线长 l 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答
8、题（本大题共 10 小题，共小题，共 66 分。请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文分。请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 19 （4 分）计算| ? ?2|+2sin45（1）2 20 （4 分）先因式分解，再计算求值：2x38x，其中 x3 21 （5 分）解方程： ? ? t ? ? ?4 22 （6 分）小明在 A 点测得 C 点在 A 点的北偏西 75方向，并由 A 点向南偏西 45方向 行走到达 B 点测得 C 点在 B 点的北偏西 45方向，继续向正西方向行走 2km 后到达 D 点， 测得 C 点在 D 点的北
9、偏东 22.5方向， 求 A， C 两点之间的距离（结果保留 0.1km 参 数数据 ? ?1.732） 23 （7 分）如图是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块 立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上） ，现将甲槽中的水匀速注入乙 第 5页（共 28页） 槽，甲，乙两个水槽中水的深度 y（cm）与注水时间 x（min）之间的关系如图所示， 根据图象解答下列问题： （1）图中折线 EDC 表示槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段 AB 表示 槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为cm （2）注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要
10、的计算过程） 24 （7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB3，点 E 为线段 AB 的三等分点（靠近点 A） ， 点 F 为线段 CD 的三等分点（靠近点 C） ，且 CEAB将BCE 沿 CE 对折，BC 边与 AD 边交于点 G，且 DCDG （1）证明：四边形 AECF 为矩形； （2）求四边形 AECG 的面积 25 （7 分）某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的 8 次选拔赛 中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下： 甲：92，95，96，88，92，98，99，100 乙：100，87，92，93，9，95，97，98 由于保存不当，学生乙有一
11、次成绩的个位数字模糊不清， 第 6页（共 28页） （1）求甲成绩的平均数和中位数； （2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率； （3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加 数学竞赛 26 （8 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与 y 轴的正半轴交于点 A，与反比例函数 y? ? ? 的图象交于 P，D 两点以 AD 为边作正方形 ABCD，点 B 落在 x 轴的负半轴上，已知 BOD 的面积与AOB 的面积之比为 1：4 （1）求一次函数 ykx+b 的表达式； （2）求点 P 的坐标及CPD 外接圆半径的长 27 （9 分）如图，已知
12、 AB 是O 的直径BC 是O 的弦，弦 ED 垂直 AB 于点 F，交 BC 于点 G过点 C 作O 的切线交 ED 的延长线于点 P （1）求证：PCPG； （2）判断 PG2PDPE 是否成立？若成立，请证明该结论； （3）若 G 为 BC 中点，OG?，sinB? ? ? ，求 DE 的长 28 （9 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于原点 O 和点 A，且其顶点 B 关于 x 轴的 对称点坐标为（2，1） 第 7页（共 28页） （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线的对称轴上存在定点 F，使得抛物线 yax2+bx+c 上的任意一点 G 到定点 F 的距离与点
13、 G 到直线 y2 的距离总相等 证明上述结论并求出点 F 的坐标； 过点 F 的直线 l 与抛物线 yax2+bx+c 交于 M，N 两点 证明：当直线 l 绕点 F 旋转时， ? ? t ? ?是定值，并求出该定值； （3）点 C（3，m）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴上分别找点 P，Q，使四边形 PQBC 周长最小，直接写出 P，Q 的坐标 第 8页（共 28页） 2021 年黑龙江省大庆市中考数学试卷年黑龙江省大庆市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出
14、的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题日要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）有一项是符合题日要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上） 1 （3 分）在，? ?，3， ? ?这四个数中，整数是（ ） AB? ? C3D? ? 【解答】解：在，? ?，3， ? ?这四个数中，是无理数， ? ?是分数， ? ?是分数，整数是3， 故选：C 2 （3 分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） ABCD 【解答】解：A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 选项不符合题意； B：是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 B 选项符合题意； C：既是轴对称图形
15、，也是中心对称图形，故 C 选项不符合题意； D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 选项不符合题意； 故选：B 3 （3 分）北京故宫占地面积约为 720000m2，数据“720000”用科学记数法表示是（） A7.2105B72104C0.72106D7.2106 【解答】解：7200007.2105， 故选：A 4 （3 分）下列说法正确的是（） A|x|x B若|x1|+2 取最小值，则 x0 C若 x1y1，则|x|y| D若|x+1|0，则 x1 【解答】解：A、当 x0 时，|x|x，故此选项错误，不符合题意； B、|x1|0， 当 x1 时，|x1|+2 取最小值，故此选
16、项错误，不符合题意； 第 9页（共 28页） C、x1y1， |x|1，|y|1， |x|y|，故此选项错误，不符合题意； D、|x+1|0，|x+1|0， x+10， x1，故此选项正确，符合题意 故选：D 5 （3 分）已知 ba0，则分式? ?与 ?t? ?t?的大小关系是（ ） A? ? ?t? ?t? B? ? ? ?t? ?t? C? ? ?t? ?t? D不能确定 【解答】解：? ? ? ?t? ?t? ? ?t?t? ?t? ? ? ?t?， ba0， ab0，b0，b+10， ? ?t? 0， ? ? ? ?t? ?t? 0， ? ? ?t? ?t?， 故选：A 6 （3 分
17、） 已知反比例函数 y? ? ?， 当 x0 时， y 随 x 的增大而减小， 那么一次函数 ykx+k 的图象经过第（） A一、二、三象限B一、二、四象限 C一、三、四象限D二、三、四象限 【解答】解：反比例函数 y? ? ?，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， k0， k0 ykx+k， 第 10页（共 28页） 函数图象经过一、二、四象限， 故选：B 7 （3 分） 一个几何体由大小相同的小立方块搭成， 从上面看到的几何体的形状图如图所示， 其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图 的是（） ABCD 【解答】解：由所给图可知，这个几何体从正面看
18、共有三列，左侧第一列最多有 4 块小 正方体，中间一列最多有 2 块小正方体，最右边一列有 3 块小正方体， 所以主视图为 B 故选：B 8 （3 分）如图，F 是线段 CD 上除端点外的一点，将ADF 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时 针旋转 90，得到ABE连接 EF 交 AB 于点 H下列结论正确的是（） AEAF120BAE：EF1： ? CAF2EHEFDEB：ADEH：HF 【解答】解：ADF 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90，得到ABE， ABEADF， EABDAF， EAFBAE+FAB90DAF+FAB90， 故 A 不正确； EAF90，AEAF， 第
19、 11页（共 28页） AEF 是等腰直角三角形， EF?AE， AE：EF1： ?， 故 B 不正确； 若 AF2EHEF 成立， AE：EF1： ?， EH? ? ? AF， EH? ? ?EF， 即 H 是 EF 的中点，H 不一定是 EF 的中点， 故 C 不正确； ABCD， EB：BCEH：HF， BCAD， EB：ADEH：HF， 故 D 正确； 故选：D 9 （3 分）小刚家 2019 年和 2020 年的家庭支出如下，已知 2020 年的总支出比 2019 年的总 支出增加了 2 成，则下列说法正确的是（） A2020 年教育方面的支出是 2019 年教育方面的支出的 1.4
20、 倍 B2020 年衣食方面的支出比 2019 年衣食方面的支出增加了 10% C2020 年总支出比 2019 年总支出增加了 2% D2020 年其他方面的支出与 2019 年娱乐方面的支出相同 第 12页（共 28页） 【解答】解：设 2019 年总支出为 a 元，则 2020 年总支出为 1.2a 元， A.2019 年教育总支出为 0.3a，2020 年教育总支出为 1.2a35%0.42a，0.42a（0.3a） 1.4，故该项正确，符合题意； B.2019 年衣食方面总支出为 0.3a，2020 年衣食方面总支出为 1.2a40%0.48a， （0.48a 0.3a）0.3a60
21、%， 故该项错误，不符合题意； C.2020 年总支出比 2019 年总支出增加了 20%，故该项错误，不符合题意； D.2020 年其他方面的支出为 1.2ax15%0.18a，2019 年娱乐方面的支出为 0.15a，故该项 错误，不符合题意； 故选：A 10 （3 分）已知函数 yax2（a+1）x+1，则下列说法不正确的个数是（） 若该函数图象与 x 轴只有一个交点，则 a1； 方程 ax2（a+1）x+10 至少有一个整数根； 若? ? x1，则 yax2（a+1）x+1 的函数值都是负数； 不存在实数 a，使得 ax2（a+1）x+10 对任意实数 x 都成立 A0B1C2D3 【
22、解答】解：当 a0 时，yx+1，此时函数图象与 x 轴交点为（1，0） ，故错误； 当 a0 时，x+10，解得 x1； 当 a0 时，ax2（a+1）x+1（x1） （ax1）0， 解得 x1 或 x? ? ?， 故正确； 当 a0 时，函数图象开口向上，若? ? x1，则 y0； 当 a0 时，函数图象开口向下，若? ? x1，则 y0； 故错误； 当 a0 时，yax2（a+1）x+1，（a1）20， 此时 ax2（a+1）x+10 函数与 x 至少有一个交点， 不能使 ax2（a+1）x+10 对任意实数 x 都成立； 当 a0 时，x+10，不能使 ax2（a+1）x+10 对任意
23、实数 x 都成立； 第 13页（共 28页） 故正确； 故选：C 二二填空题填空题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分不需写出解答过程不需写出解答过程，请把答案直接请把答案直接 填写在答题卡相应位置上）填写在答题卡相应位置上） 11 （3 分） ? ? ?2 【解答】解： ? ? ?2 故答案为：2 12 （3 分）已知? ? ? ? ? ? ? ?，则 ?t? ? ? ? ? 【解答】解：设? ? ? ? ? ? ? ? ?k， x2k，y3k，z4k， ? ?t? ? ? ?t? ? ? ?t? ? ? ? ?， 故答案为? ? 13 （3 分）一个圆
24、柱形橡皮泥，底面积是 12cm2高是 5cm如果这个橡皮泥的一半，把它 捏成高为 5cm 的圆锥，则这个圆锥的底面积是18cm2 【解答】解：设这个圆锥的底面积为 Scm2， 根据题意得? ? ?S512 ? ?，解得 S18 故答案为 18 14 （3 分）如图，3 条直线两两相交最多有 3 个交点，4 条直线两两相交最多有 6 个交点， 按照这样的规律，则 20 条直线两两相交最多有190个交点 【解答】解：每两条直线相交有一个交点， n 条直线相交最多有? ? 个交点， 20 条直线相交最多有 190 个交点 故答案为 190 15 （3 分）三个数 3，1a，12a 在数轴上从左到右依
25、次排列，且以这三个数为边长能构 第 14页（共 28页） 成三角形，则 a 的取值范围为3a2 【解答】解：3，1a，12a 在数轴上从左到右依次排列， 31a12a， a2， 这三个数为边长能构成三角形， 3+（1a）12a， a3， 3a2， 故答案为3a2 16 （3 分）如图，作O 的任意一条直径 FC，分别以 F、C 为圆心，以 FO 的长为半径作 弧，与O 相交于点 E、A 和 D、B，顺次连接 AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边 形 ABCDEF，则O 的面积与阴影区域的面积的比值为 ? ? ? ? 【解答】解：连接 EB，AD， 设O 的半径为 r， O 的面积 Sr
26、2， 弓形 EF，AF 的面积与弓形 EO，AO 的面积相等， 弓形 CD，BC 的面积与弓形 OD，OB 的面积相等， 图中阴影部分的面积SEDO+SABO， OEODAOOBOFOCr， EDO、AOB 是正三角形， 阴影部分的面积? ? ? ?r ? ? r2? ? ? r2， O 的面积与阴影区域的面积的比值为? ? ? ?， 故答案为：? ? ? ? 第 15页（共 28页） 17 （3 分）某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间 150 元/间，双人间 140 元/间为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个 46 人的 旅游团，优惠期间到该酒店入住，
27、住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间 客房正好住满，且一天共花去住宿费 1310 元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间 普通客房共18间 【解答】解：设住了三人间普通客房 x 间，住双人间普通客房 y 间， 由题意可得： ?t ? ? ? ? ?t?t ?t? ? ?t ， 解得 ? ? ?t ? ? h ， x+y18， 该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共 18 间， 故答案为 18 18（3 分） 已知， 如图， 若 AD 是ABC 中BAC 的内角平分线， 通过证明可得? ?t ? ? t?， 同理，若 AE 是ABC 中BAC 的外角平分线，通过探究也有类似的性
28、质请你根据上 述信息，求解如下问题： 如图，在ABC 中，BD2，CD3，AD 是ABC 的内角平分线，则ABC 的 BC 边上的中线长 l 的取值范围是 ? ? l ? ? 【解答】解：AD 是ABC 的内角平分线， 第 16页（共 28页） ? ?t ? ? t?， BD2，CD3， ? ?t ? ? ?， 作BAC 的外角平分线 AE，与 CB 的延长线交于点 E， ? ?t ? ?t tt， ?t ?t?t ? ? ?， BE10， DE12， AD 是BAC 的角平分线，AE 是BAC 外角平分线 EAD90， 点 A 在以 DE 为直径的圆上运动， 取 BC 的中点为 F， DFA
29、FEF， ? ? l ? ? ， 故答案为：? ? l ? ? 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 66 分。请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文分。请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 19 （4 分）计算| ? ?2|+2sin45（1）2 【解答】解：原式2? t2 ? ? ?1 2? t? ?1 1 第 17页（共 28页） 20 （4 分）先因式分解，再计算求值：2x38x，其中 x3 【解答】解：原式2x（x24） 2x（x+2） （x2） 当 x3 时， 原式23（3+2）（32） 2
30、35130 21 （5 分）解方程： ? ? t ? ? ?4 【解答】解：给分式方程两边同时乘以 2x3， 得 x54（2x3） ， 解得 x1， 检验：把 x1 代入 2x30， 所以 x1 是原分式方程的解 22 （6 分）小明在 A 点测得 C 点在 A 点的北偏西 75方向，并由 A 点向南偏西 45方向 行走到达 B 点测得 C 点在 B 点的北偏西 45方向，继续向正西方向行走 2km 后到达 D 点， 测得 C 点在 D 点的北偏东 22.5方向， 求 A， C 两点之间的距离（结果保留 0.1km 参 数数据 ? ?1.732） 【解答】解：过点 A 作 AMBD，过 B 点
31、作 BMBD，AM 与 BM 交于点 M， 在 A 点测得 C 点在 A 点的北偏西 75方向， NAC75， CAM15， 由 A 点向南偏西 45方向行走到达 B 点， MAB45， MBA45， C 点在 B 点的北偏西 45方向， CBM45， 第 18页（共 28页） CBA90，CBD45， C 点在 D 点的北偏东 22.5方向， PDC22.5， DCB67.5， BDC18067.54567.5， BDBC， 由题可得 DB2km， BC2km， 在 RtABC 中，CAB15+4560，BC2， AC? ? ? ? ?1.3km 23 （7 分）如图是甲，乙两个圆柱形水槽的
32、横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块 立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上） ，现将甲槽中的水匀速注入乙 槽，甲，乙两个水槽中水的深度 y（cm）与注水时间 x（min）之间的关系如图所示， 根据图象解答下列问题： （1）图中折线 EDC 表示乙槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段 AB 表示 甲槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为16cm （2）注入多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程） 第 19页（共 28页） 【解答】解： （1）由题意可知，乙槽在注入水的过程中，由于有圆柱铁块在内，所以水 的高度出现变化， EDC 表示的是乙槽的水深
33、与注水时间的关系； 甲槽的水是匀速外倒， 线段 AB 表示甲槽水深与注水时间的关系； 折线 EDC 中，在 D 点表示乙槽水深 16cm，也就是铁块的高度 16cm； 故答案为：乙，甲，16； （2）由图像可知，两个水槽深度相同时，线段 ED 与线段 AB 相交， 设 AB 的解析式为 ykx+b， 将点（0，14） ， （7，0）代入， 得 ? ? ? ?t ? ? t解得， ? ? ? ? ? ? ， y2x+14； 设 ED 的解析式为 ymx+n， 将点（0，4） ， （4，16）代入， 得 ? ? ? ?晦t ? ? ?，解得 晦 ? ? ? ? ? ， y3x+4； 联立方程 ?
34、? ?t ? ? ? ?t ? ， ? ? ? ? ? ?t， 注水 2 分钟，甲、乙两个水槽的水深度相同 第 20页（共 28页） 24 （7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB3，点 E 为线段 AB 的三等分点（靠近点 A） ， 点 F 为线段 CD 的三等分点（靠近点 C） ，且 CEAB将BCE 沿 CE 对折，BC 边与 AD 边交于点 G，且 DCDG （1）证明：四边形 AECF 为矩形； （2）求四边形 AECG 的面积 【解答】 （1）证明：ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， 点 E 为线段 AB 的三等分点（靠近点 A） ， AE? ? ?AB， 点
35、F 为线段 CD 的三等分点（靠近点 C） ， CF? ? ?CD， AECF， 又AECF， 四边形 AECF 为平行四边形， CEAB， 四边形 AECF 为矩形； （2）AB3， AECF1，BE2， 将BCE 沿 CE 对折得到ECB， BEBE2， AB1， DCDG3， DGCDCG， BBCD， 第 21页（共 28页） DCGB， BBGA， ABAG1， DABCBC4， ABCD， ? t? ? ? ?， ? ? ? ? ?， BG1， AGB是等边三角形， 在 RtBCE 中，BC4，BE2， EC2 ?， S四边形AECGSEBCSABG? ? ? ? ? ? ? ?
36、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 25 （7 分）某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的 8 次选拔赛 中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下： 甲：92，95，96，88，92，98，99，100 乙：100，87，92，93，9，95，97，98 由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清， （1）求甲成绩的平均数和中位数； （2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率； （3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加 数学竞赛 【解答】解： （1）甲成绩的平均数为： （88+92+92+95+96+9
37、8+99+100）895， 将甲成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为?t? ? ?95.5，因此中位数是 95.5， 答：甲成绩的平均数为 95，中位数是 95.5； （2）设模糊不清的数的各位数字为 a，则 a 为 0 至 9 的整数，也就是模糊不清的数共 10 种可能的结果， 当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，有 95 h?t?t?t?t?t?ht?ttt?tt? h ， 第 22页（共 28页） 即 95 ?t? h ， 解得 a8，共有 8 种不同的结果， 所以“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率为 h ?t ? ? ?； （3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等
38、时， 即?t? h ?95， 解得 a8， 所以甲的方差为：?甲 ? ? ? h（8895） 2+（9295）22+（9695）2+（9895）2+（99 95）2+（10095）214.75， 乙的方差为：?乙 ? ? ? h（8795） 2+（9295）2+（9395）2+（9795）2+（9895）2 2+（10095）215.5， ?甲 ? ?乙 ? ， 甲的成绩更稳定， 所以应选择甲同学参加数学竞赛 26 （8 分）如图，一次函数 ykx+b 的图象与 y 轴的正半轴交于点 A，与反比例函数 y? ? ? 的图象交于 P，D 两点以 AD 为边作正方形 ABCD，点 B 落在 x 轴
39、的负半轴上，已知 BOD 的面积与AOB 的面积之比为 1：4 （1）求一次函数 ykx+b 的表达式； （2）求点 P 的坐标及CPD 外接圆半径的长 【解答】解： （1）过点 D 作 DHOA 于点 H， DAH+ADH90， 第 23页（共 28页） DAH+BAO90， ABODAH， 又ABAD，AOBDHA90， ABODAH， DHAO，BOAH， 对直线 ykx+b，当 x0 时，yb， A（0，b） ，OAb， 设 D（a，? ?） ，则：DHa，OH? ? ?， BOD 的面积与AOB 的面积之比为 1：4 OA4OH， b4 ? ?，化简得：ab16， 又DHAO，即：a
40、b， a216， 解得：a14，a24， b4， A（0，4） ，D（4，1） ， 把点 A（0，4） ，D（4，1）代入 ykx+b，得： ? ? ? ?t ? ? ?，解得： ? ? ? ? ? ? ? ， 一次函数的表达式为：y? ? ? t ? （2）由 ? ? ? ? ? t ? ? ? ? ? ，得： ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ， P（? ?，3） ， 正方形 ABCD 的顶点 A（0，4） ，D（4，1） ，B（3，0） ， C（1，3） ， PC? ? ? ? ?t ?t ? ? ? ? ， PCD 为直角三角形，且PDC90， 线段 PC 是PCD 的外接圆直径
41、， 第 24页（共 28页） PCD 外接圆半径为：? ? ? 27 （9 分）如图，已知 AB 是O 的直径BC 是O 的弦，弦 ED 垂直 AB 于点 F，交 BC 于点 G过点 C 作O 的切线交 ED 的延长线于点 P （1）求证：PCPG； （2）判断 PG2PDPE 是否成立？若成立，请证明该结论； （3）若 G 为 BC 中点，OG?，sinB? ? ? ，求 DE 的长 【解答】解： （1）连接 OC， OCOB， OCBOBC， CP 是O 的切线， OCP90， 弦 ED 垂直 AB 于点 F，AB 是O 的直径， GFB90， FGBPCG， FGBFGB， PCGPGC
42、， PCPG； 第 25页（共 28页） （2）如图 1，连接 EC、CD， EDAB，AB 是圆 O 的直径， t? ? ? ? ?， ECBBCD， PGPC， PCGPGC， CGPE+ECB，GCPPCD+BCD， PCDE， PCDPEC， ?t ?t ? ? ?t， PC2PEPD， PCPG， PG2PDPE； （3）如图 2，连接 OG，EO， G 为 BC 中点， OGBC， 在 RtBOG 中，OG?，sinB? ? ? ， OB5，BG2 ?， GFOB， B+FGB90，B+BOG90， GOFFGB， FGBGOB， ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ?，
43、 FB4， OF1， 在 RtEOF 中，OF1，EO5， EF2 ?， 第 26页（共 28页） ED4 ? 28 （9 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于原点 O 和点 A，且其顶点 B 关于 x 轴的 对称点坐标为（2，1） （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线的对称轴上存在定点 F，使得抛物线 yax2+bx+c 上的任意一点 G 到定点 F 的距离与点 G 到直线 y2 的距离总相等 证明上述结论并求出点 F 的坐标； 过点 F 的直线 l 与抛物线 yax2+bx+c 交于 M，N 两点 证明：当直线 l 绕点 F 旋转时， ? ? t ? ?是定值，并求出
44、该定值； （3）点 C（3，m）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴上分别找点 P，Q，使四边形 PQBC 周长最小，直接写出 P，Q 的坐标 第 27页（共 28页） 【解答】解： （1）顶点 B 关于 x 轴的对称点坐标为（2，1） ， B（2，1） ， A（4，0） ， 将点 O、点 A、点 B 代入抛物线 yax2+bx+c， 得到 ? ? t ?t ?t ? ? ? ? t ?t ? ? t ，解得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? t ， y? ? ?x 2x； （2）设 F（2，m） ，G（x，? ?x 2x） ， G 到定点 F 的距离与点 G 到直线 y2 的距离相等，
45、（x2）2t ?晦? ? ? ? t ? ? ? ? ? ? t ?， 整理得，m（m? ? ?x 2+2x）0， 距离总相等， m0， F（2，0） ； 设过点 F 的直线解析式为 ykx2k，M（xM，yM） ，N（xN，yN） ， 联立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，整理得 x 2（4+4k）x+8k0， xM+xN4+4k，xMxN8k， yM+yN4k2，yMyN4k2， M 到 F 点与 M 点到 y2 的距离相等，N 到 F 点与 N 点到 y2 的距离相等， ? ? t ? ? ? ? ?t? t ? ?t? ? ?t?t? ?t?t?t? ? ?t? ?t? ?1， ? ? t ? ? ?1 是定值； （3）作 B 点关于 y 轴的对称点 B，作 C 点关于 x 轴的对称点 A，连接 AB交 x 轴、y 轴 分别于点 P、Q， BQBQ，CPCP， 四边形 PQBC 周长BQ+PQ+PC+BCBQ+PQ+CP+CBCB+CB， 点 C（3，m）是该抛物线上的一点 第 28页（共 28页） C（3，? ? ?） ， B（2，1） ， B（2，1） ，C（3，? ?） ， 直线 BC的解析为 y? ? ?tx? ? ?t， Q（0，? ? ?t） ，P（ ? ?，0）
