1、第 1页（共 30页） 2021 年四川省绵阳市中考数学试卷年四川省绵阳市中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.每个小题只有一个选项符合题目每个小题只有一个选项符合题目 要求。要求。 1 （3 分）整式3xy2的系数是（） A3B3C3xD3x 2 （3 分）计算 ?t ?t的结果是（） A6B6 tC6 ?D6 ? 3 （3 分）下列图形中，轴对称图形的个数是（） A1 个B2 个C3 个D4 个 4 （3 分）如图，圆锥的左视图是边长为 2 的等边三角形，则此圆锥的高是（） A2B3C tD ? 5 （3
2、分）如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，CDE30，DECF，则 BF 的长是 （） A1B tC ?D2 6 （3 分）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活某快递分派站现有包裹若干件需快 递员派送，若每个快递员派送 10 件，还剩 6 件；若每个快递员派送 12 件，还差 6 件， 那么该分派站现有包裹（） A60 件B66 件C68 件D72 件 第 2页（共 30页） 7 （3 分）下列数中，在 ? t?与 ? t?之间的是（） A3B4C5D6 8 （3 分）某同学连续 7 天测得体温（单位：）分别是 36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、 37.1，关
3、于这一组数据，下列说法正确的是（） A众数是 36.3B中位数是 36.6 C方差是 0.08D方差是 0.09 9 （3 分）如图，在等腰直角ABC 中，ACB90，M、N 分别为 BC、AC 上的点， CNM50，P 为 MN 上的点，且 PC? ? tMN，BPC117，则ABP（ ） A22B23C25D27 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，ABDC，ACBC，CDAD5，AC6，将四 边形 ABCD 向左平移 m 个单位后，点 B 恰好和原点 O 重合，则 m 的值是（） A11.4B11.6C12.4D12.6 11 （3 分）关于 x 的方程 ax2+bx+c0 有两个
4、不相等的实根 x1、x2，若 x22x1，则 4b9ac 的最大值是（） A1B tC ?D2 12 （3 分）如图，在ACD 中，AD6，BC5，AC2AB（AB+BC） ，且DABDCA， 若 AD3AP，点 Q 是线段 AB 上的动点，则 PQ 的最小值是（） 第 3页（共 30页） A ? t B ? t C ? t Dt ? 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 4 分分，共共 24 分分.将答案填写在答题卡相应的横线上将答案填写在答题卡相应的横线上. 13 （4 分）如图，直线 ab，若128，则2 14 （4 分）据统计，截止 2021 年 3 月
5、，中国共产党党员人数超过 9100 万数字 91000000 用科学记数法表示为 15 （4 分）若 xy?，xy? ? ?，则 x 2y2 16 （4 分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗某商场从 6 月 12 日起开始打折 促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买 4 盒肉粽和 5 盒白粽需 350 元，打折后购买 5 盒肉粽和 10 盒白粽需 360 元轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各 5 盒，则他 6 月 13 日购买的花费比在打折前购买节省元 17 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，G 为 AD 中点，点 E 在 BC 延长线上，F、 H 分别为 C
6、E、GE 中点，EHFDGE，CF?，则 AB 18 （4 分） 在直角ABC 中， C90， ? ? ? ? ? ? ? t， C 的角平分线交 AB 于点 D， 且 CD2 t，斜边 AB 的值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 个小题，共个小题，共 90 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 4页（共 30页） 19 （16 分） （1）计算：2cos45+| t ?|20210? ? ?； （2）先化简，再求值： t ?h ? ? ?h ? t?h ?t?ht，其中 x1.12，y0.68 20 （12 分）为庆祝中国共
7、产党建党 100 周年，某校开展了党史知识竞赛某年级随机选出 一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中 D 段对应扇形圆心角 为 72 分段成绩范围频数频率 A90100am B808920b C7079c0.3 D70 分以下10n 注：90100 表示成绩 x 满足：90 x100，下同 （1）在统计表中，a，b，c； （2）若该年级参加初赛的学生共有 2000 人，根据以上统计数据估计该年级成绩在 90 分 及以上的学生人数； （3）若统计表 A 段的男生比女生少 1 人，从 A 段中任选 2 人参加复赛，用列举法求恰好 选到 1 名男生和 1 名女生的概率 21 （1
8、2 分）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于 400 件，乙种 工艺品不少于 680 件 该厂家现准备购买 A、 B 两类原木共 150 根用于工艺品制作， 其中， 1 根 A 类原木可制作甲种工艺品 4 件和乙种工艺品 2 件， 1 根 B 类原木可制作甲种工艺品 2 件和乙种工艺品 6 件 （1）该工艺厂购买 A 类原木根数可以有哪些？ （2）若每件甲种工艺品可获得利润 50 元，每件乙种工艺品可获得利润 80 元，那么该工 艺厂购买 A、B 两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？ 第 5页（共 30页） 22 （12 分）如图，点 M 是ABC 的边 BA
9、上的动点，BC6，连接 MC，并将线段 MC 绕 点 M 逆时针旋转 90得到线段 MN （1）作 MHBC，垂足 H 在线段 BC 上，当CMHB 时，判断点 N 是否在直线 AB 上，并说明理由； （2）若ABC30，NCAB，求以 MC、MN 为邻边的正方形的面积 S 23 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直角ABC 的顶点 A，B 在函数 y? ? ?（k0， x0）图象上，ACx 轴，线段 AB 的垂直平分线交 CB 于点 M，交 AC 的延长线于点 E， 点 A 纵坐标为 2，点 B 横坐标为 1，CE1 （1）求点 C 和点 E 的坐标及 k 的值； （2）连接
10、BE，求MBE 的面积 24 （12 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接矩形，过点 A 的切线与 CD 的延长线交于点 M，连接 OM 与 AD 交于点 E，AD1，CD1 （1）求证：DBCAMD； （2）设 ADx，求COM 的面积（用 x 的式子表示） ； （3）若AOECOD，求 OE 的长 第 6页（共 30页） 25（14 分） 如图， 二次函数 yx22x+4a2的图象与一次函数 y2x 的图象交于点 A、 B（点 B 在右侧） ，与 y 轴交于点 C，点 A 的横坐标恰好为 a动点 P、Q 同时从原点 O 出发，沿射线 OB 分别以每秒 ?和 2 ?个单位长度运动，经过
11、t 秒后，以 PQ 为对角线作 矩形 PMQN，且矩形四边与坐标轴平行 （1）求 a 的值及 t1 秒时点 P 的坐标； （2）当矩形 PMQN 与抛物线有公共点时，求时间 t 的取值范围； （3）在位于 x 轴上方的抛物线图象上任取一点 R，作关于原点（0，0）的对称点为 R， 当点 M 恰在抛物线上时，求 RM 长度的最小值，并求此时点 R 的坐标 第 7页（共 30页） 2021 年四川省绵阳市中考数学试卷年四川省绵阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.每个小题只
12、有一个选项符合题目每个小题只有一个选项符合题目 要求。要求。 1 （3 分）整式3xy2的系数是（） A3B3C3xD3x 【解答】解：整式3xy2的系数是3 故选：A 2 （3 分）计算 ?t ?t的结果是（） A6B6 tC6 ?D6 ? 【解答】解： ?t ?t ?t ? ?t ? ? t ? ? ? ? 6 ?， 故选：D 3 （3 分）下列图形中，轴对称图形的个数是（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【解答】解：第 1 个图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 第 2 个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； 第 3 个图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； 第 4 个图形，不
13、是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 4 （3 分）如图，圆锥的左视图是边长为 2 的等边三角形，则此圆锥的高是（） 第 8页（共 30页） A2B3C tD ? 【解答】解：某圆锥的左视图是边长为 2 的等边三角形， 圆锥的底面半径为 221，母线长为 2， 此圆锥的高是 tt? ?t? 故选：D 5 （3 分）如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，CDE30，DECF，则 BF 的长是 （） A1B tC ?D2 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， FBCDCE90，CDBC3， RtDCE 中，CDE30， CE? ? tDE， 设 CEx，则 DE2x， 根据勾股定理
14、得：DC2+CE2DE2， 即 32+x2（2x）2， 解得：x ?（负值舍去） ， CE?， DECF， DOC90， DCO60， 第 9页（共 30页） BCF906030CDE， DCECBF，CDBC， DCECBF（ASA） ， BFCE? 故选：C 6 （3 分）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活某快递分派站现有包裹若干件需快 递员派送，若每个快递员派送 10 件，还剩 6 件；若每个快递员派送 12 件，还差 6 件， 那么该分派站现有包裹（） A60 件B66 件C68 件D72 件 【解答】解：设该分派站有 x 个快递员， 依题意得：10 x+612x6， 解得：x6，
15、 10 x+6106+666， 即该分派站现有包裹 66 件 故选：B 7 （3 分）下列数中，在 ? t?与 ? t?之间的是（） A3B4C5D6 【解答】解：因为 ? t? ? ?， ? ? ?4， ? t? ? t?， ? ? ?4， ? ?t? ?5， ? t? ?6， 所以 4 ? t? ? ?t? ? t?6 故选：C 8 （3 分）某同学连续 7 天测得体温（单位：）分别是 36.5、36.3、36.7、36.5、36.7、37.1、 37.1，关于这一组数据，下列说法正确的是（） A众数是 36.3B中位数是 36.6 C方差是 0.08D方差是 0.09 【解答】解：7 个
16、数中 36.5、36.7 和 37.1 都出现了二次，次数最多，即众数为 36.5、36.7 和 37.1，故 A 选项不正确，不符合题意； 将 7 个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.5，36.5，36.7，36.7，37.1，37.1，则中位 数为 36.7，故 B 选项错误，不符合题意； 第 10页（共 30页） ? ? ? ? ?（36.5+36.3+36.5+36.7+36.7+37.1+37.1）36.7， S2? ? ? （36.336.7） 2+2 （36.536.7）2+2 （36.736.7）2+2 （37.136.7）20.08， ， 故 C 选项正确，符合题意，
17、故 D 选项错误，不符合题意； 故选：C 9 （3 分）如图，在等腰直角ABC 中，ACB90，M、N 分别为 BC、AC 上的点， CNM50，P 为 MN 上的点，且 PC? ? tMN，BPC117，则ABP（ ） A22B23C25D27 【解答】解：如图，过点 M 作 MGBC 于 M，过点 N 作 NGAC 于 N，连接 CG 交 MN 于 H， GMCACBCNG90， 四边形 CMGN 是矩形， CH? ? tCG? ? tMN， PC? ? tMN， 存在两种情况： 如图，CPCP1? ? tMN， 第 11页（共 30页） P 是 MN 中点时， MPNPCP， CNMPC
18、N50，PMCPCM905040， CPM1804040100， ABC 是等腰直角三角形， ABC45， CPB117， BPM11710017， PMCPBM+BPM， PBM401723， ABP452322 CP1? ? tMN， CPCP1， CPP1CP1P80， BP1C117， BP1M1178037， MBP140373， 而图中MBP1MBP，所以此种情况不符合题意 故选：A 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，ABDC，ACBC，CDAD5，AC6，将四 边形 ABCD 向左平移 m 个单位后，点 B 恰好和原点 O 重合，则 m 的值是（） 第 12页（共 30页
19、） A11.4B11.6C12.4D12.6 【解答】解：如图，过点 D 作 DTAC 交 AC 于 J，交 AB 于 T，连接 CT ADDC5，DJAC， AJJC3， DJ?t? ?t?t? ?t?4， CDAT DCJTAJ， DJCTJA， DCJTAJ（ASA） ， CDAT5，DJJT4， AJTACB90， JTBC， AJJC， ATTB5， 设 OAx，OD2AD2OA2DT2OT2， 52x282（x+5）2， 解得 x1.4， OBOA+AB1.4+1011.4， 将四边形 ABCD 向左平移 m 个单位后，点 B 恰好和原点 O 重合， mOB11.4， 第 13页（
20、共 30页） 故选：A 11 （3 分）关于 x 的方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实根 x1、x2，若 x22x1，则 4b9ac 的最大值是（） A1B tC ?D2 【解答】解：关于 x 的方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实根 x1、x2， x1+x2? ? ?， x22x1， 3x1? ? ?，即 x1? ? ?， a? ?t ?t ?b（? ? ?）+c0， ? t?t ? ?c0， 9ac2b2， 4b9ac4b2b22（b1）2+2， 20， 4b9ac 的最大值是 2， 故选：D 12 （3 分）如图，在ACD 中，AD6，BC5，AC2AB（AB+BC） ，且
21、DABDCA， 若 AD3AP，点 Q 是线段 AB 上的动点，则 PQ 的最小值是（） A ? t B ? t C ? t Dt ? 【解答】解：DABDCA， ? ?t ? ? ?， ? ? ? ? ? ， 解得：BD4（负值舍去） ， 第 14页（共 30页） DABDCA， ?t ? ? t? ? ? ? ? ? ? t， AC? ? t ?， AC2AB（AB+BC） ， （? tAB） 2AB（AB+BC） ， AB4， ABBD4， 过 B 作 BHAD 于 H， AH? ? tAD3， BH?t? ?t?t? ?t?， AD3AP，AD6， AP2， 当 PQAB 时，PQ 的
22、值最小， AQPAHB90，PAQBAH， APQABH， ? ? ? ? ?， t ? ? ? ?， PQ? ? t ， 故选：A 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 4 分分，共共 24 分分.将答案填写在答题卡相应的横线上将答案填写在答题卡相应的横线上. 13 （4 分）如图，直线 ab，若128，则2152 第 15页（共 30页） 【解答】解：如图， ab，128， 3128， 21803152 故答案为：152 14 （4 分）据统计，截止 2021 年 3 月，中国共产党党员人数超过 9100 万数字 91000000 用科学记数法表示为9.11
23、07 【解答】解：910000009.1107 故答案为：9.1107 15 （4 分）若 xy?，xy? ? ?，则 x 2y2 0 【解答】解：? ? h ?，?h ? ? ?， （xy）23， x22xy+y23， ?t? ? t ? ht? ?， ?t? ht? ? t， （x2y2）2（x2+y2）24x2y2， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， x2y20， 故答案为 0 16 （4 分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗某商场从 6 月 12 日起开始打折 促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买 4 盒肉粽和 5 盒白粽需 350 元，打折后购买 5 第 16页（共
24、30页） 盒肉粽和 10 盒白粽需 360 元轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各 5 盒，则他 6 月 13 日购买的花费比在打折前购买节省145元 【解答】解：设打折前每盒肉粽的价格为 x 元，每盒白粽的价格为 y 元， 依题意得： ? ?h ? ? ? ? ? ? ? ?h ? ?， 解得： ? ? ? h ? ?， 5x+5y（0.65x+0.75y）550+530（0.6550+0.7530）145 故答案为：145 17 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，G 为 AD 中点，点 E 在 BC 延长线上，F、 H 分别为 CE、GE 中点，EHFDGE，CF
25、?，则 AB4 【解答】解：连接 CG，过点 C 作 CMAD，交 AD 的延长线于 M， F、H 分别为 CE、GE 中点， FH 是CEG 的中位线， HF? ? tCG， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC，ABCD， DGEE， EHFDGE， EEHF， HFEFCF， 第 17页（共 30页） CG2HF2 ?， ABCD， CDMA60， 设 DMx，则 CD2x，CM?， 点 G 为 AD 的中点， DGx， 在 RtCMG 中，由勾股定理得： CG?t? t?t? ?2 ?， x2， ABCD2x4 故答案为：4 18 （4 分） 在直角ABC 中， C90， ? ? ?
26、? ? ? ? t， C 的角平分线交 AB 于点 D， 且 CD2 t，斜边 AB 的值是3 ? 【解答】解：如图， C90，C 的角平分线交 AB 于点 D，且 CD2 t， DEECCFFD2， tanA? ?t ?t，tanB? ?t ?t， ? ? ? ? ? ? ? t， ?t ?t ? ?t ?t ? ? t， 即?t t?tt ?t?t ? ? t， 又AC2+BC2AB2， ?t ?t?t ? ? t， 在 RtADE 中，AE? ?t ? ? t ?， 在 RtBDF 中，BF? ?t ? ? t ?， ACBC（2? t ?） （2? t ?） 4（1? ? ? ? ?
27、? ?1） 4（2? ? t） 第 18页（共 30页） 18， ? t ?t ? ? t AB245， 即 AB3 ?， 故答案为：3 ? 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 个小题，共个小题，共 90 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （16 分） （1）计算：2cos45+| t ?|20210? ? ?； （2）先化简，再求值： t ?h ? ? ?h ? t?h ?t?ht，其中 x1.12，y0.68 【解答】解： （1）原式2 t t ? ?t ?1? ?t ? ?t ? ? ? 1， （2）原式? t?h晦 ?
28、t?ht ? ?h晦 ?t?ht ? t?h ?t?ht ? t?h晦?h晦 ?t?ht ? t?晦?h晦 ?h晦?h晦 ? t? ?h， 当 x1.12，y0.68 时：t? ?h ? t?t ?t?t ?2 20 （12 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了党史知识竞赛某年级随机选出 一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中 D 段对应扇形圆心角 为 72 分段成绩范围频数频率 A90100am B808920b 第 19页（共 30页） C7079c0.3 D70 分以下10n 注：90100 表示成绩 x 满足：90 x100，下同 （1）在统计表中，a
29、5，b0.4，c15； （2）若该年级参加初赛的学生共有 2000 人，根据以上统计数据估计该年级成绩在 90 分 及以上的学生人数； （3）若统计表 A 段的男生比女生少 1 人，从 A 段中任选 2 人参加复赛，用列举法求恰好 选到 1 名男生和 1 名女生的概率 【解答】解： （1）总人数为：10（72360）50（人） ， b20500.4，c500.315（人） ， a50（20+15+10）5（人） ， 故答案为：5，0.4，15； （2）由题意得：成绩在 90100 之间的人数为 5， 随机选出的这个班级总人数为 50， 设该年级成绩在 90100 之间的人数为 y， 则 h t
30、? ? ? ?， 解得：y200， （3）由（1） （2）可知：A 段有男生 2 人，女生 3 人， 记 2 名男生分别为男 1，男 2；记 3 名女生分别为女 1，女 2，女 3， 选出 2 名学生的结果有： 男 1 男 2，男 1 女 1，男 1 女 2，男 1 女 3，男 2 女 1， 男 2 女 2，男 2 女 3，女 1 女 2，女 1 女 3，女 2 女 3， 共 10 种结果，并且它们出现的可能性相等， 其中包含 1 名男生 1 名女生的结果有 6 种， 第 20页（共 30页） P? ? ? ? ? ?，即选到 1 名男生和 1 名女生的概率为 ? ? 21 （12 分）某工艺
31、厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于 400 件，乙种 工艺品不少于 680 件 该厂家现准备购买 A、 B 两类原木共 150 根用于工艺品制作， 其中， 1 根 A 类原木可制作甲种工艺品 4 件和乙种工艺品 2 件， 1 根 B 类原木可制作甲种工艺品 2 件和乙种工艺品 6 件 （1）该工艺厂购买 A 类原木根数可以有哪些？ （2）若每件甲种工艺品可获得利润 50 元，每件乙种工艺品可获得利润 80 元，那么该工 艺厂购买 A、B 两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设工艺厂购买 A 类原木 x 根，则购买 B 类原木（150 x）根，
32、根据题意，得 ? t? ?晦 ? ? t? ? ?晦 ? ?t?， 可解得 50 x55， x 为整数， x50，51，52，53，54，55； 答：工艺厂购买 A 类原木根数可以是：50，51，52，53，54，55； （2）设获得利润为 y 元， 由题意，得 y504x+2（150 x）+802x+6（150 x）， 即 y220 x+87000， 2200， y 随 x 的增大而减小， x50 时，y 取最大值，最大值为：22050+8700076000（元） ， 答：该工艺厂购买 A、B 两类原木分别为 50 和 100 根时，所获得利润最大，最大利润是 76000 元 22 （12
33、分）如图，点 M 是ABC 的边 BA 上的动点，BC6，连接 MC，并将线段 MC 绕 点 M 逆时针旋转 90得到线段 MN （1）作 MHBC，垂足 H 在线段 BC 上，当CMHB 时，判断点 N 是否在直线 AB 上，并说明理由； （2）若ABC30，NCAB，求以 MC、MN 为邻边的正方形的面积 S 第 21页（共 30页） 【解答】解： （1）结论：点 N 在直线 AB 上，理由如下： CMHB，CMH+C90， B+C90， BMC90，即 CMAB， 线段 CM 逆时针旋转 90落在直线 BA 上， 即点 N 在直线 AB 上， （2）作 CDAB 于点 D， MCMN，C
34、MN90， MCN45， NCAB， BMC45， BC6，B30， CD3，MC?tt? ? ? t， SMC218，即以 MCMN 为邻边的正方形面积为 S18 23 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直角ABC 的顶点 A，B 在函数 y? ? ?（k0， x0）图象上，ACx 轴，线段 AB 的垂直平分线交 CB 于点 M，交 AC 的延长线于点 E， 点 A 纵坐标为 2，点 B 横坐标为 1，CE1 第 22页（共 30页） （1）求点 C 和点 E 的坐标及 k 的值； （2）连接 BE，求MBE 的面积 【解答】解： （1）由题意得点 A 的坐标为（? t，2）
35、，点 B 的坐标为（1，k） ， 又 ACx 轴，且ACB 为直角三角形， 点 C 的坐标为（1，2） ， 又 CE1， 点 E 的坐标为（2，2） ， 点 E 在线段 AB 的垂直平分线上， EAEB， 在 RtBCE 中，EB2BC2+CE2， 1+（k2）2? ? t ? t晦t， k2 或t ?， 当 k2 时，点 A，B，C 三点重合，不能构成三角形，故舍去， k? t ?， C（1，2） ，E（2，2） ，k? t ?； （2）由（1）可得，AC? t ?，BC? ? ?，CE1， 设 AB 的中点为 D， AB?tt? ?tt? t ? ?，BD? ? t? ? ? ? ， AB
36、CMBD，BDMBCA90， BDMBCA， 第 23页（共 30页） ? ? ? ? ?t， BM? ? ? ? ? ? t ? ? ? ? ?， SMBE? ? t? ? tt ? ? t ? ? ? ?1? ? ?t 24 （12 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接矩形，过点 A 的切线与 CD 的延长线交于点 M，连接 OM 与 AD 交于点 E，AD1，CD1 （1）求证：DBCAMD； （2）设 ADx，求COM 的面积（用 x 的式子表示） ； （3）若AOECOD，求 OE 的长 【解答】解：如图 1， 第 24页（共 30页） （1）AM 是O 的切线， OAAM， C
37、AM90， MAD+DAC90， 四边形 ABCD 是矩形， ABCBCDADC90， BAC+DAC90， MADBAC， 对于?t ?： BACBDC， MADBDC， 又MADBDC90， DBCAMD； （2）如图 2， 第 25页（共 30页） 取 CD 的中点 N，连接 ON， 四边形 ABCD 是矩形， AOCO， ONAD，ON? ? t ? ? ? t ?， CNAADC90， ONCM， 由（1）知：DBCAMD， ? ?t ? ? ?， DM? ?t ?t ?x2， CMDM+CDx2+1， SCOM? ? tCMON? ? t（x 2+1）? t ? ? ? ? ； （
38、3）如图 3， 第 26页（共 30页） 作 DFAC 于 F，延长 DB 交 MA 的延长线于 G 在 RtADC 中，ADx，CD1， AC?t? ?， ODOC? ? tAC? ?t? t DF? ? ?t?， CF? ? ?t? ? ?t? ?t? ， OFOCCF? ?t?晦? ?t? t?t?晦 ， DFAG， DOFGOA， ? ?t ? ? ?t， AG? ?t ?t ? ? t?t?t ?t ? ? tt? ?t ? ? t? ?t?晦? ?t? t?t?晦 ， AG2? ?t?t?晦 ?t?晦t ， 在 RtACM 中，由射影定理得， AM2DMMCx2（x2+1） ， A
39、OECOD， 第 27页（共 30页） AOGCOD， AOEAOG， OAOA， OAMOAG， AOMAOG（ASA） ， AGAM， ? t?t?晦 ?t?晦t ?x2（x2+1） ， x1?t，x2?t（舍去） ， AD?t，OD? ? t ， DF? ? ?t? ? ? ? ， OF? ? ? ， 作 EHOA 于 H，设 OEa， EHOEsinAOEasinDOF a?t ? ? t t ? a， OH? ? ?a， AH? t? ?t ? t? ?t ? ? t t ? a t ? ? ?a， 由 AH+OHOA 得， ? ?a? ? ? ? ? t ， a? ? ? ? ，
40、即：OE? ? ? ? 25（14 分） 如图， 二次函数 yx22x+4a2的图象与一次函数 y2x 的图象交于点 A、 B（点 B 在右侧） ，与 y 轴交于点 C，点 A 的横坐标恰好为 a动点 P、Q 同时从原点 O 出发，沿射线 OB 分别以每秒 ?和 2 ?个单位长度运动，经过 t 秒后，以 PQ 为对角线作 矩形 PMQN，且矩形四边与坐标轴平行 （1）求 a 的值及 t1 秒时点 P 的坐标； （2）当矩形 PMQN 与抛物线有公共点时，求时间 t 的取值范围； 第 28页（共 30页） （3）在位于 x 轴上方的抛物线图象上任取一点 R，作关于原点（0，0）的对称点为 R，
41、当点 M 恰在抛物线上时，求 RM 长度的最小值，并求此时点 R 的坐标 【解答】解： （1）由题意知，交点 A 坐标为（a，2a） ，代人 yx22x+4a2， 解得：a?t， 抛物线解析式为：yx22x+2， 当 t1 秒时，OP?，设 P 的坐标为（x，y） ， 则 ?t? ht? ?晦t h ? t? ， 解得 ? ? ? h ? t或 ? ? ? h ? t （舍去） ， P 的坐标为（1，2） ； （2）经过 t 秒后，OP?t，OQ2 ?t， 由（1）方法知，P 的坐标为（t，2t） ，Q 的坐标为（2t，4t） ， 由矩形 PMQN 的邻边与坐标轴平行可知，M 的坐标为（2t，
42、2t） ，N 的坐标为（t，4t） ， 矩形 PMQN 在沿着射线 OB 移动的过程中，点 M 与抛物线最先相交，如图 1， 然后公共点变为 2 个，点 N 与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图 2， 将 M（2t，2t）代入 yx22x+2，得 2t2+t10， 解得：t? ? t，或 t1（舍） ， 将 N（1，4t）代入 yx22x+2，得（t1）23， 解得：t1?或 t1?（舍） 所以，当矩形 PMQN 与抛物线有公共点时， 时间 t 的取值范围是：? t ?t1?； 第 29页（共 30页） （3）设 R（m，n） ，则 R 关于原点的对称点为 R（m，n） ， 当点 M 恰好在抛物线上时，M 坐标为（1，1） ， 过 R和 M 作坐标轴平行线相交于点 S，如图 3， 则 RM?t? th?t? ? ? ? ?晦t? ? ? ? ?晦t， 又nm22m+2 得（m+1）23n， 消去 m 得：RM? ?晦t? ? ?晦t ? ?晦 ? ?晦t ?t? ? ? ? ? t 晦t? ? ?， 当 n? ? t时，RM 长度的最小值为 ? t ， 此时，nm22m+2? ? t， 解得：m1 ? t ， 点 R 的坐标是（1 ? t ，? t） 第 30页（共 30页）
