1、第 1页（共 28页） 2021 年四川省攀枝花市中考数学试卷年四川省攀枝花市中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）以下各数是有理数的是（） A ?B ? ?C? ? D 2 （5 分）计算（m2）3的结果是（） Am6Bm6Cm5Dm5 3 （5 分）实数 a 在数轴上的对应点位置如图所示，若实数 b 满足：|b|a，则 b 的值可以 是（） A3B2C3D4 4 （5 分）如图是一个几何
2、体的三视图，则这个几何体是（） A圆锥B圆柱C三棱柱D三棱锥 5 （5 分）2021 年 5 月，由中国航天科技集团研制的天问一号探测器的着陆巡视器成功着陆 于火星乌托邦平原南部预选着陆区中国航天器首次奔赴火星，就“毫发未损”地顺利 出现在遥远的红色星球上，完成了人类航天史上的一次壮举火星与地球的最近距离约 为 5500 万千米，该数据用科学记数法可表示为（）千米 A5.5108B5.5107C0.55109D0.55108 6 （5 分）观察依次排列的一串单项式 x，2x2，4x3，8x4，16x5，按你发现的规律 继续写下去，第 8 个单项式是（） A128x7B128x8C256x7D2
3、56x8 7 （5 分） 疫情期间， 某商店连续 7 天销售口罩的盒数分别为 10， 12， 14， 13，12， 12， 11 关 于这组数据，以下结论错误的是（） 第 2页（共 28页） A众数是 12B平均数是 12C中位数是 12D方差是? ? 8 （5 分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块 碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事 ABC D 9 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，线段 OA 与 x 轴正方向夹角为 45，且 OA2，若 将线段 OA 绕点 O 沿逆时针方向旋转 105到线段 OA， 则此时点 A的坐标为 （）
4、 A （ ?，1）B （1， ?）C （?，1）D （1，?） 10 （5 分）某学校准备购进单价分别为 5 元和 7 元的 A、B 两种笔记本共 50 本作为奖品发 放给学生，要求 A 种笔记本的数量不多于 B 种笔记本数量的 3 倍，不少于 B 种笔记本数 量的 2 倍，则不同的购买方案种数为（） A1B2C3D4 11 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB3，BC4，点 P 是 BC 边上一动点（点 P 不与 B， C 重合） ， 连接 AP， 作点 B 关于直线 AP 的对称点 M， 则线段 MC 的最小值为 （） A2B? ? C3D ? 12 （5 分）如图，二次函数
5、yax2+bx+c 的图象的对称轴为 x? ? ?，且经过点（2，0） ， 第 3页（共 28页） 下列说法错误的是（） Abc0 Bab C当 x1x2? ? ?时，y1y2 D不等式 ax2+bx+c0 的解集是2x ? ? 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知方程 x22x80 的两根为、，则2+2 14 （5 分）若? ? ? ? ? ? ? ?（x、y、z 均不为 0） ，则 ? ? ? 15 （5 分）刘煜祺训练飞镖，在木板上画了直径为 20cm 和 30cm 的同心圆，如图，他在距 木板 5
6、米开外将一个飞镖随机投掷到该图形内，则飞镖落在阴影区域的概率 为 16 （5 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M、N 分别为边 CD、BC 上的点，且 DMCN， AM 与 DN 交于点 P，连接 AN，点 Q 为 AN 的中点，连接 PQ，BQ，若 AB8，DM2， 给出以下结论：AMDN；MANBAN；PQNBQN；PQ5其 中正确的结论有（填上所有正确结论的序号） 第 4页（共 28页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 8 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （8 分）解方程： ? ? ? ?
7、 ? ? ? 18 （8 分）某市某区在今年四月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情 况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查调查结果根据年龄 x（岁）分为四 类：A 类：18x30；B 类：30 x40；C 类：40 x50；D 类：50 x59现将调 查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）抽取的 C 类市民有人，并补全条形统计图； （2）若本次抽取人数占已接种市民人数的 5%，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民 有多少人？ （3）区防疫站为了获取更详细的调查资料，从 D 类市民中选出两男两女，现准备从这四 人中随机抽取两人进行访谈，请
8、用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男 一女的概率 19 （8 分）如图是“弦图”的示意图， “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀 算经作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就它由 4 个全等的直角三角形与一 个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为 a、b， 斜边为 c请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2c2 第 5页（共 28页） 20 （8 分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自 2021 年 2 月 1 日起， 旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的中华人民共和国海警法正式实施中 国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，
9、是中方依法维护主权的正当举措如图是钓鱼 岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点 D 处测得与斜坡 AC 坡脚点 C 的距离为 140 米，测得岛礁顶端 A 的仰角为 30.96，以及该斜坡 AC 的坡度 i? ? ?，求该岛礁的高（即 点 A 到海平面的铅垂高度） （结果保留整数） （参考数据：sin30.960.51，cos30.960.85，tan30.960.60） 21 （8 分）在直角坐标系中，直线 y? ? ?x 与反比例函数 y? ? ?的图象在第一、三象限分别交 于 A、B 两点，已知 B 点的纵坐标是2 （1）写出点 A 的坐标，并求反比例函数的表达式； （2）将直线 y?
10、? ?x 沿 y 轴向上平移 5 个单位后得到直线 l，l 与反比例函数图象在第一象 限内交于点 C，与 y 轴交于点 D （）SABCSABD； （请用“”或“”或“”填空） （）求ABC 的面积 第 6页（共 28页） 22 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，D 为O 上一点，OFAD 于点 E，交 CD 于点 F，且ADCAOF （1）求证：CD 与O 相切于点 D； （2）若 sinC? ? ?，BD12，求 EF 的长 23 （10 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB90，AB12，BC14，AD9， 线段 BC 上的点 P 从点 B 运动到点 C
11、，ADP 的角平分线 DQ 交以 DP 为直径的圆 M 于 点 Q，连接 PQ （1）当点 P 不与点 B 重合时，求证：PQ 平分BPD； （2）当圆 M 与直角梯形 ABCD 的边相切时，请直接写出此时 BP 的长度； （3）动点 P 从点 B 出发，运动到点 C 停止，求点 Q 所经过的路程 24 （12 分）如图，开口向上的抛物线与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点，与 y 轴交 于点 C，且 ACBC，其中 x1，x2是方程 x2+3x40 的两个根 第 7页（共 28页） （1）求点 C 的坐标，并求出抛物线的表达式； （2）垂直于线段 BC 的直线 l 交 x 轴
12、于点 D，交线段 BC 于点 E，连接 CD，求CDE 的 面积的最大值及此时点 D 的坐标； （3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得PDE 是等腰三角形？ 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 8页（共 28页） 2021 年四川省攀枝花市中考数学试卷年四川省攀枝花市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）以下各数
13、是有理数的是（） A ?B ? ?C? ? D 【解答】解：A根据无理数的定义， ?是无理数，那么 A 不符合题意 B根据无理数的定义， ? ?是无理数，那么 B 不符合题意 C根据有理数的定义，? ?是有理数，那么 C 符合题意 D根据无理数的定义，是无理数，那么 D 不符合题意 故选：C 2 （5 分）计算（m2）3的结果是（） Am6Bm6Cm5Dm5 【解答】解：根据幂的乘方， （m2）3m6 故选：A 3 （5 分）实数 a 在数轴上的对应点位置如图所示，若实数 b 满足：|b|a，则 b 的值可以 是（） A3B2C3D4 【解答】解：由数轴可得：2a3， |b|a， b 的值可以
14、是：2 故选：B 4 （5 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（） 第 9页（共 28页） A圆锥B圆柱C三棱柱D三棱锥 【解答】解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱，圆锥，主视图和左视图为三角形可得 此几何体为圆锥， 故选：A 5 （5 分）2021 年 5 月，由中国航天科技集团研制的天问一号探测器的着陆巡视器成功着陆 于火星乌托邦平原南部预选着陆区中国航天器首次奔赴火星，就“毫发未损”地顺利 出现在遥远的红色星球上，完成了人类航天史上的一次壮举火星与地球的最近距离约 为 5500 万千米，该数据用科学记数法可表示为（）千米 A5.5108B5.5107C0.55109D0.551
15、08 【解答】解：火星距离地球的最近距离约为 5500 万千米，这个数据用科学记数法可表示 为 5.5107千米， 故选：B 6 （5 分）观察依次排列的一串单项式 x，2x2，4x3，8x4，16x5，按你发现的规律 继续写下去，第 8 个单项式是（） A128x7B128x8C256x7D256x8 【解答】解： （4x3）（2x2）2x， （8x4）（4x3）2x， （16x5）（8x4）2x， 所以从第二个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商都是2x； 按发现的规律可知： x，2x2， 4x322x3， 8x423x4， 16x524x5， 所以第 8 个单项式是27x8128x
16、8 故选：B 7 （5 分） 疫情期间， 某商店连续 7 天销售口罩的盒数分别为 10， 12， 14， 13，12， 12， 11 关 于这组数据，以下结论错误的是（） 第 10页（共 28页） A众数是 12B平均数是 12C中位数是 12D方差是? ? 【解答】解：A、12 出现了 3 次，出现的次数最多，则这组数据的众数是 12，故本选项 正确，不符合题意； B、这组数据的平均数：? ? ?12，故本选项正确，不符合题意； C、把这些数从小到大排列为：10，11，12，12，12，13，14，中位数是 12，故本选项 正确，不符合题意； D、 方差是： ? ? ? （1012） 2+
17、（1112）2+3 （1212）2+ （1312）2+ （1412）2? ? ， 故本选项错误，符合题意； 故选：D 8 （5 分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块 碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事 ABC D 【解答】解：由图形可知，有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角 形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带去 故选：C 9 （5 分）如图，在平面直角坐标系中，线段 OA 与 x 轴正方向夹角为 45，且 OA2，若 将线段 OA 绕点 O 沿逆时针方向旋转 105到线段 OA， 则此时点 A的坐标为 （） 第
18、11页（共 28页） A （ ?，1）B （1， ?）C （?，1）D （1，?） 【解答】解：如图，过点 A作 ABx 轴于点 B， 将线段 OA 绕点 O 沿逆时针方向旋转 105到线段 OA， OAOA2，AOA105， AOB1804510530 在直角AOB 中，OBA90，AOB30， AB? ? ?OA1，OB? ?AB?， 点 A的坐标为（?，1） 故选：C 10 （5 分）某学校准备购进单价分别为 5 元和 7 元的 A、B 两种笔记本共 50 本作为奖品发 放给学生，要求 A 种笔记本的数量不多于 B 种笔记本数量的 3 倍，不少于 B 种笔记本数 量的 2 倍，则不同的购
19、买方案种数为（） A1B2C3D4 【解答】解：设购进 A 种笔记本为 x 本，则购进 B 种笔记本为（50 x）本， 第 12页（共 28页） 由题意得： ? ? ?a? ?i ? ? ?a? ?i， 解得：33? ? ?x37? ?， x 为正整数， x 的取值为 34， 、35、36、37， 则不同的购买方案种数为 4 种， 故选：D 11 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB3，BC4，点 P 是 BC 边上一动点（点 P 不与 B， C 重合） ， 连接 AP， 作点 B 关于直线 AP 的对称点 M， 则线段 MC 的最小值为 （） A2B? ? C3D ? 【解答】解
20、：连接 AM， 点 B 和 M 关于 AP 对称， ABAM3， M 在以 A 圆心，3 为半径的圆上， 当 A，M，C 三点共线时，CM 最短， AC? ? ?，AMAB3， CM532， 故选：A 12 （5 分）如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象的对称轴为 x? ? ?，且经过点（2，0） ， 下列说法错误的是（） 第 13页（共 28页） Abc0 Bab C当 x1x2? ? ?时，y1y2 D不等式 ax2+bx+c0 的解集是2x ? ? 【解答】解：由图象可得， b0，c0，则 bc0，故选项 A 正确； 该函数的对称轴为 x? ? ?， ? ? ? ? ?， 化简得
21、ba，故选项 B 正确； 该函数图象开口向上，该函数的对称轴为 x? ? ?， x? ? ?时，y 随 x 的增大而增大， 当 x1x2? ? ?时，y1y2，故选项 C 正确； 图象的对称轴为 x? ? ?，且经过点（2，0） ， 图象与 x 轴另一个交点为（1，0） ， 不等式 ax2+bx+c0 的解集是2x1，故选项 D 错误； 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知方程 x22x80 的两根为、，则2+220 【解答】解：方程 x22x80 的两根为、， +? ? ?2，? ? ?8， 第
22、 14页（共 28页） 2+2（+）22222（8）20 故答案为：20 14 （5 分）若? ? ? ? ? ? ? ?（x、y、z 均不为 0） ，则 ? ? ?3 【解答】解：设? ? ? ? ? ? ? ? ?k（k0） ， 则 x6k，y4k，z3k， 所以， ? ? ? ? ? ?3 故答案为：3 15 （5 分）刘煜祺训练飞镖，在木板上画了直径为 20cm 和 30cm 的同心圆，如图，他在距 木板 5 米开外将一个飞镖随机投掷到该图形内，则飞镖落在阴影区域的概率为 ? ? 【解答】解：大圆面积：（? ? ）2225 （cm2） ， 小圆面积：（? ? ）2100（cm2） ，
23、阴影部分面积：225100125（cm2） ， 飞镖落在阴影区域的概率为：? ? ? ? ? 故答案为：? ? 16 （5 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M、N 分别为边 CD、BC 上的点，且 DMCN， AM 与 DN 交于点 P，连接 AN，点 Q 为 AN 的中点，连接 PQ，BQ，若 AB8，DM2， 给出以下结论：AMDN；MANBAN；PQNBQN；PQ5其 中正确的结论有（填上所有正确结论的序号） 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， 第 15页（共 28页） ADDC，ADMDCN90， 在ADM 和DCN， ?t ? t? ?th ? ?t? th ? ? ，
24、ADMDCN（SAS） ， DAMCDN， CDN+ADP90， ADP+DAM90， APD90， AMDN，故正确， 不妨假设MANBAN， 在APN 和ABN 中， ?t ?a ? ? ?t? ? ?a? ? ? ? ， PANABN（AAS） ， ABAP， 这个与 APAD，ABAD，矛盾， 假设不成立，故错误， 不妨假设PQNBQN， 则ANPANB，同法可证APNABN， APAB， 这个与 APAD，ABAD，矛盾， 假设不成立，故错误， DMCN2，ABBC8， BN6， ABN90， AN?a? a? ?10， APN90，AQQN， PQ? ? ?AN5故正确， 第 16
25、页（共 28页） 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 8 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （8 分）解方程： ? ? ? ? ? ? ? 【解答】解：去分母得：x（x+1）（x21）2（x1） ， 去括号得：x2+xx2+12x2， 解得：x3， 经检验 x3 是分式方程的解 18 （8 分）某市某区在今年四月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情 况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查调查结果根据年龄 x（岁）分为四 类：A 类：18x30；B 类：30 x40；C 类：
26、40 x50；D 类：50 x59现将调 查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）抽取的 C 类市民有30人，并补全条形统计图； （2）若本次抽取人数占已接种市民人数的 5%，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民 有多少人？ （3）区防疫站为了获取更详细的调查资料，从 D 类市民中选出两男两女，现准备从这四 人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男 一女的概率 【解答】解： （1）根据题意可得，其他三类的百分比为 125%75%， 第 17页（共 28页） 其他三类的人数和为 20+20+5090（人） ， 抽取的总数为 90
27、75%120（人） ， 抽取的 C 类市民有 12025%30（人） ， 补全条形统计图如下： 故答案为：30； （2）1205%2400（人） ， 答：估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有 2400 人； （3）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男和一女的有 8 种结果， 抽取的两人恰好是一男和一女的概率为 ? ? ? ? ? 19 （8 分）如图是“弦图”的示意图， “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀 算经作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就它由 4 个全等的直角三角形与一 个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为 a、
28、b， 斜边为 c请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2c2 第 18页（共 28页） 【解答】解：由图可知： S正方形4 ? ?ab+（ba） 2 2ab+b2+a22ab a2+b2 S正方形c2， 所以 a2+b2c2 20 （8 分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自 2021 年 2 月 1 日起， 旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的中华人民共和国海警法正式实施中 国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措如图是钓鱼 岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点 D 处测得与斜坡 AC 坡脚点 C 的距离为 140 米，测得岛礁顶端 A 的仰角为
29、 30.96，以及该斜坡 AC 的坡度 i? ? ?，求该岛礁的高（即 点 A 到海平面的铅垂高度） （结果保留整数） （参考数据：sin30.960.51，cos30.960.85，tan30.960.60） 【解答】解：斜坡 AC 的坡度 i? ? ?， AB：BC5：6， 故可设 AB5x 米，BC6x 米， 在 RtADB 中，D30.96，BD（140+6x）米， tan30.96? ? ? ?0.60， 第 19页（共 28页） 解得：x60（米） ， 经检验，x60 是方程的解， 5x300（米） ， 答：该岛礁的高 AB 为 300 米 21 （8 分）在直角坐标系中，直线 y
30、? ? ?x 与反比例函数 y? ? ?的图象在第一、三象限分别交 于 A、B 两点，已知 B 点的纵坐标是2 （1）写出点 A 的坐标，并求反比例函数的表达式； （2）将直线 y? ? ?x 沿 y 轴向上平移 5 个单位后得到直线 l，l 与反比例函数图象在第一象 限内交于点 C，与 y 轴交于点 D （）SABCSABD； （请用“”或“”或“”填空） （）求ABC 的面积 【解答】解： （1）点 B 的纵坐标是2， 2? ? ?x，即 x6，B（6，2） ， 把 B 的坐标代入 y? ? ?，即 k12， 反比例函数的表达式为 y? ? ? ， 第 20页（共 28页） 当? ? ?
31、? ?x 时，x6 或6（舍） ， A（6，2） ； （2） （）SABCSABD； 直线 l 是直线 y? ? ?x 向上平移得到的， 两条直线互相平行， 平行线间的距离处处相等， SABCSABD； 故答案为：； （）由题意得，OD5， SABDSBOD+SAOD? ? ? ?5（6+6）30， SABCSABD30 22 （8 分）如图，AB 为O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，D 为O 上一点，OFAD 于点 E，交 CD 于点 F，且ADCAOF （1）求证：CD 与O 相切于点 D； （2）若 sinC? ? ?，BD12，求 EF 的长 【解答】 （1）证明：如图，连接 O
32、D， OAOD， OADODA， OFAD， AEO90， 第 21页（共 28页） AOF+OAD90， ADCAOF， ADC+ODA90， 即ODC90， ODCD， CD 与O 相切于点 D； （2）解：AB 是O 的直径， ADB90， ADBAEO， OFBD，OAOB， OE? ? ?at ? ? ? ? ? ?6， sinC? ?t ? ? ? ?， 设 ODx，OC3x，则 OBx， CBOC+OB4x， OFBD， COFCBD， ? a? ? ? at， ? ? ? ? ?， OF9， EFOFOE963 23 （10 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB90，AB1
33、2，BC14，AD9， 线段 BC 上的点 P 从点 B 运动到点 C，ADP 的角平分线 DQ 交以 DP 为直径的圆 M 于 点 Q，连接 PQ （1）当点 P 不与点 B 重合时，求证：PQ 平分BPD； （2）当圆 M 与直角梯形 ABCD 的边相切时，请直接写出此时 BP 的长度； （3）动点 P 从点 B 出发，运动到点 C 停止，求点 Q 所经过的路程 第 22页（共 28页） 【解答】 （1）证明：如图 1 中， PD 是直径， PQD90， QDP+QPD90， ADBC， ADP+DPB180， ADQ+BPQ90， QD 平分ADP， ADQQDP， QPDBPQ， PQ
34、 平分BPD （2）解：如图 21 中，当M 与 AB 相切时，连接 QM 第 23页（共 28页） MQMP， MQPMPQ， QPMQPB， MQPQPB， MQPB， DMPM， AQQB6， ABDQP90， AQD+BQP90，BQP+QPB90， AQDBPQ， DAQQBP， ?t ?a ? ? ta， ? ? ? ? at， BP4 如图 22 中，当M 与 BC（AD）相切时，四边形 ABPD 是矩形， BPAD9，ABPD12，CD?t? tt? ?13， 综上所述，满足条件的 BP 的值为 4 或 9 第 24页（共 28页） （3）解：如图 3 中，由（2）可知点 Q
35、在梯形 ABCD 的中位线 TK 所在的直线上， 当点 P 与 B 重合时，BD?t? ?a? ?15， DMMB， MQ? ? ?BD? ? ? ， DKKC，MDMB， MK? ? ?BC7， KQMQ+MK? ? ? ?7? ? ? ， 当点 P 与 C 重合时，KQ? ? ?CD? ? ? ， QQQKKQ? ? ? ? ? ? ?8 24 （12 分）如图，开口向上的抛物线与 x 轴交于 A（x1，0） 、B（x2，0）两点，与 y 轴交 于点 C，且 ACBC，其中 x1，x2是方程 x2+3x40 的两个根 （1）求点 C 的坐标，并求出抛物线的表达式； （2）垂直于线段 BC
36、的直线 l 交 x 轴于点 D，交线段 BC 于点 E，连接 CD，求CDE 的 面积的最大值及此时点 D 的坐标； （3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得PDE 是等腰三角形？ 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 25页（共 28页） 【解答】解： （1）由 x2+3x40 得 x14，x21， A（4，0） ，B（1，0） ， OA4，OB1， ACBC， ACO90BCOOBC， AOCBOC90， AOCCOB， ? ? ? ? ?a，即 ? ? ? ? ? ， OC2， C（0，2） ， 设抛物线解析式为 ya（x+4） （x1） ， 将 C
37、（0，2）代入得24a， a? ? ?， 抛物线解析式为 y? ? ?（x+4） （x1）? ? ?x 2? ?x2； （2）如图： 第 26页（共 28页） 由 A（4，0） ，B（1，0） ，C（0，2）得：AB5，BC?，AC2 ?， DEBC，ACBC， DEAC， ABCDBE， at ?a ? tt ? ? at a?， 设 D（t，0） ，则 BD1t， ?h ? ? tt ? ? ? at ?， DE? ? ? ? （1t） ，BE? ? ? （1t） ， SBDE? ? ?DEBE? ? ?（1t） 2， 而 SBDC? ? ?BDOC? ? ?（1t）21t， SCDESB
38、DCSBDE1t? ? ?（1t） 2? ?t 2? ?t? ? ? ? ? ?（t? ? ?） 2? ?， ? ? ? 0， t? ? ?时，SCDE 最大为? ?， 此时 D（? ? ?，0） ； （3）存在， 由 y? ? ?x 2? ?x2 知抛物线对称轴为直线 x? ? ?， 而 D（? ? ?，0） ， D 在对称轴上， 第 27页（共 28页） 由（2）得 DE? ? ? ? ?1（? ? ?）? ?， 当 DEDP 时，如图： DP?， P（? ? ?， ?）或（? ? ?，? ?） ， 当 DEPE 时，过 E 作 EHx 轴于 H，如图： HDEEDB，DHEBED90， DHEDEB， tt at ? ?t at ? t? tt，即 ? ? ? ? ?t ? ? ? t? ?， HE1，DH2， E（? ?，1） ， E 在 DP 的垂直平分线上， P（? ? ?，2） ， 第 28页（共 28页） 当 PDPE 时，如图： 设 P（? ? ?，m） ， 则 m2（? ? ? ? ? ?） 2+（m+1）2， 解得 m? ? ?， P（? ? ?，? ? ?） ， 综上所述，P 的坐标为（ ? ?， ?）或（ ? ?， ?）或（ ? ?，2）或（ ? ?， ? ?）
