1、第 1页（共 28页） 2021 年辽宁省丹东市中考数学试卷年辽宁省丹东市中考数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）5 的相反数是（） A5B? ? C5D0.5 2 （3 分）下列运算正确的是（） Aa 2a3a6 B （mn）2m2mn+n2 C （2a3）38a6D （2m+1） （2m1）4m21 3 （3 分）如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（） ABCD 4（3 分） 若一组数据 1， 3， 4， 6， m 的平均数为
2、4， 则这组数据的中位数和众数分别是 （） A4，6B4，4C3，6D3，4 5 （3 分）若实数 k、b 是一元二次方程（x+3） （x1）0 的两个根，且 kb，则一次函 数 ykx+b 的图象不经过（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 6 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，连接 BD，将BCD 沿对角线 BD 折叠得到BDE，BE 交 AD 于点 O，BE 恰好平分ABD，若 AB2 ?，则点 O 到 BD 的距离为（） A ?B2C? ? ?D3 第 2页（共 28页） 7 （3 分）如图，点 A 在曲线到 y1? ? ?（x0）上，点 B 在双曲线 y2? ? ?（x0
3、）上，AB/x 轴，点 C 是 x 轴上一点，连接 AC、BC，若ABC 的面积是 6，则 k 的值（） A6B8C10D12 8 （3 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0） ，且 a+b+c? ? ?，ab+c? ? ?判断下列结论： abc0；2a+2b+c0；抛物线与 x 轴正半轴必有一个交点；当 2x3 时，y 最小3a；该抛物线与直线 yxc 有两个交点，其中正确结论的个数（ ） A2B3C4D5 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分） 按照现行贫困标准计算， 中国 770000000 村贫困人口摆脱贫困， 将数据 7700000
4、00 用科学记数法表示为 10 （3 分）在函数 y? ? ? 中，自变量 x 的取值范围 11 （3 分）分解因式：ma2+2mab+mb2 12 （3 分）关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围 是 13 （3 分）不等式组 ? ? ? 无解，则 m 的取值范围 14 （3 分）如图，在ABC 中，B45，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E （BECE） ， 点F是AC的中点， 连接AE、 EF， 若BC7， AC5， 则CEF的周长为 15 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，连接 BD，过点 C 作DBC 平分线 B
5、E 的垂线，垂足 第 3页（共 28页） 为点 E，且交 BD 于点 F；过点 C 作BDC 平分线 DH 的垂线，垂足为点 H，且交 BD 于 点 G，连接 HE，若 BC2 ?，CD?，则线段 HE 的长度为 16 （3 分）已知：到三角形 3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点如果ABC 是锐角（或直角）三角形，则其费马点 P 是三角形内一点，且满足APBBPC CPA120 （例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点） 若 ABAC?，BC 2 ?，P 为ABC 的费马点，则 PA+PB+PC；若 AB2 ?，BC2，AC4，P 为ABC 的费马点，则 PA+PB+PC 三三、
6、 （每小题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 17 （8 分）先化简，再求代数式的值： ? ? ? ? ? ? ? ?，其中 a2sin30+2（1） 0 18 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 O 是 AD 的中点，连接 CO 并延长交 BA 的延 长线于点 E，连接 AC、DE （1）求证：四边形 ACDE 是平行四边形； （2）若 ABAC，判断四边形 ACDE 的形状，并说明理由 四四、 （每小题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）某中学为了增强学生体质，计划开设 A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球 四种体育活动， 为了解学生对这四
7、种体育活动的喜欢情况， 对部分学生进行抽样调查 （每 人只能选择一种体育活动） ，并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信 息解答下列问题： 第 4页（共 28页） （1）求这次抽样调查的学生有多少人？ （2）求出 B 所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整； （3）若该校有 800 名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢 B 的人数 20 （10 分）一个不透明的袋子中装有 4 个只有颜色不同的小球，其中 2 个红球，2 个白球， 摇匀后从中一次性摸出两个小球 （1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性； （2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜
8、这个游戏 对甲、乙双方公平吗？请说明理由 五五、 （每小题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 21 （10 分）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安 排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造 20 米，甲队改造 400 米的道路与 乙队改造 300 米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是 多少米？ 22 （10 分）如图，O 是ABC 的外接圆，点 D 是? ?的中点，过点 D 作 EF/BC 分别交 AB、AC 的延长线于点 E 和点 F，连接 AD、BD，ABC 的平分线 BM 交 AD 于点 M （1）求证：EF
9、 是O 的切线； （2）若 AB：BE5：2，AD?，求线段 DM 的长 第 5页（共 28页） 六六、 （每小题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 23 （10 分）如图，一架无人机在空中 A 处观测到山顶 B 的仰角为 36.87，山顶 B 在水中 的倒影 C 的俯角为 63.44，此时无人机距水面的距离 AD50 米，求点 B 到水面距离 BM 的高度 （参考数据：sin36.870.60，cos36.870.80，tan36.870.75，sin63.440.89， cos63.440.45，tan63.442.00） 24 （10 分）某超市销售一种商品，每件成本为 50
10、元，销售人员经调查发现，销售单价为 100 元时，每月的销售量为 50 件，而销售单价每降低 2 元，则每月可多售出 10 件，且要 求销售单价不得低于成本 （1）求该商品每月的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （不需要求 自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为 4000 元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定 为多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而 减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 七七、 （本题（本题 12 分）分） 25 （12 分）已知，在正方形 ABCD 中，点 M、
11、N 为对角线 AC 上的两个动点，且MBN 45，过点 M、N 分别作 AB、BC 的垂线相交于点 E，垂足分别为 F、G，设AFM 的面 积为S1，NGC的面积为S2，MEN的面积为 第 6页（共 28页） S3 （1）如图（1） ，当四边形 EFBG 为正方形时， 求证：AFMCGN； 求证：S3S1+S2 （2）如图（2） ，当四边形 EFBG 为矩形时，写出 S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说 明理由； （3）在（2）的条件下，若 BG：GCm：n（mn） ，请直接写出 AF：FB 的值 八八、 （本题（本题 14 分）分） 26 （14 分）如图，已知点 A（8，0） ，点 B
12、（5，4） ，直线 y2x+m 过点 B 交 y 轴于 点 C，交 x 轴于点 D，抛物线 yax2? ? ? x+c 经过点 A、C、D，连接 AB、AC （1）求抛物线的表达式； （2）判断ABC 的形状，并说明理由； （3）E 为直线 AC 上方的抛物线上一点，且 tanECA? ? ?，求点 E 的坐标； （4）N 为线段 AC 上的动点，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 第 7页（共 28页） BN 运动到点 N，再以每秒 ?个单位长度的速度沿线段 NC 运动到点 C，又以每秒 1 个单 位长度的速度沿线段 CO 向点 O 运动，当点 P 运动到点 O 后
13、停止，请直接写出上述运动 时间的最小值及此时点 N 的坐标 第 8页（共 28页） 2021 年辽宁省丹东市中考数学试卷年辽宁省丹东市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1 （3 分）5 的相反数是（） A5B? ? C5D0.5 【解答】解：5 的相反数是 5， 故选：A 2 （3 分）下列运算正确的是（） Aa 2a3a6 B （mn）2m2mn+n2 C （2a3）38a6D （2m+1） （2m1）4m21 【解答】解：
14、a 2a3a2+3aa6，故选项 A 错误； （mn）2m22mn+n2m2mn+n2，故选项 B 错误； （2a3）38a98a6，故选项 C 错误； （2m+1） （2m1）4m21，故选项 D 正确 故选：D 3 （3 分）如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（） ABCD 【解答】解：从上面看该组合体看到是两列，每列有 1 个正方形，看到的图形如下： 故选：B 4（3 分） 若一组数据 1， 3， 4， 6， m 的平均数为 4， 则这组数据的中位数和众数分别是 （） A4，6B4，4C3，6D3，4 第 9页（共 28页） 【解答】解：数据 1，3，4，6，m
15、的平均数为 4， 1+3+4+6+m45， 解得 m6 则这组数据从小到大排列为 1，3，4，6，6 这组数据的中位数为 4，众数为 6， 故选：A 5 （3 分）若实数 k、b 是一元二次方程（x+3） （x1）0 的两个根，且 kb，则一次函 数 ykx+b 的图象不经过（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：实数 k、b 是一元二次方程（x+3） （x1）0 的两个根，且 kb， k3，b1， 函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限 故选：C 6 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，连接 BD，将BCD 沿对角线 BD 折叠得到BDE，BE 交
16、 AD 于点 O，BE 恰好平分ABD，若 AB2 ?，则点 O 到 BD 的距离为（） A ?B2C? ? ?D3 【解答】解：如图，作 OFBD 于点 F，则 OF 的长为点 O 到 BD 的距离 四边形 ABCD 为矩形， AABC90， 将BCD 沿对角线 BD 折叠得到BDE， EBDCBD， BE 平分ABD， ABOEBD，OAOF， EBDCBDABO， ABO30， 第 10页（共 28页） AB2 ?， OFOAABtan302 ? ? ? ? ?2， 故选：B 7 （3 分）如图，点 A 在曲线到 y1? ? ?（x0）上，点 B 在双曲线 y2? ? ?（x0）上，AB
17、/x 轴，点 C 是 x 轴上一点，连接 AC、BC，若ABC 的面积是 6，则 k 的值（） A6B8C10D12 【解答】解：如图，连接 OA，OB，AB 与 y 轴交于点 M， ABx 轴，点 A 在曲线到 y1? ? ?（x0）上，点 B 在双曲线 y2? ? ?（x0）上， SAOM? ? ? ?|2|1，SBOM? ? ? ?|k|? ? ?k， SABCSAOB6， 1? ? ?k6， k10 故选：C 第 11页（共 28页） 8 （3 分）已知抛物线 yax2+bx+c（a0） ，且 a+b+c? ? ?，ab+c? ? ?判断下列结论： abc0；2a+2b+c0；抛物线与
18、 x 轴正半轴必有一个交点；当 2x3 时，y 最小3a；该抛物线与直线 yxc 有两个交点，其中正确结论的个数（ ） A2B3C4D5 【解答】解：a+b+c? ? ?，ab+c? ? ?， 两式相减得 b? ? ?，两式相加得 c1a， c0， a0，b0，c0， abc0，故正确； 2a+2b+c2a+2 ? ? ?1aa0，故正确； 当 x1 时，则 ya+b+c? ? ?，当 x1 时，则有 yab+c? ? ?， 当 y0 时，则方程 ax2+bx+c0 的两个根一个小于1，一个根大于 1， 抛物线与 x 轴必有一个交点，故正确； 由题意知抛物线的对称轴为直线 x? ? ? ? ?
19、 ?， 当 2x3 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x2 时，有最小值，即为 y4a+2b+c4a+11a3a，故正确； 联立抛物线 yax2+bx+c 及直线 yxc 可得： xcax2+bx+c， 整理得： ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ?， 该抛物线与直线 yxc 有两个交点，故正确； 正确的个数有 5 个； 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分） 按照现行贫困标准计算， 中国 770000000 村贫困人口摆脱贫困， 将数据 770000000 用科学记数法表示为7.7108 【解答】解：数字 77000
20、0000 用科学记数法表示为 7.7108 故答案为：7.7108 第 12页（共 28页） 10 （3 分）在函数 y? ? ? 中，自变量 x 的取值范围x3 【解答】解：根据题意得：x30 且 x20， 解得 x3 自变量 x 的取值范围是 x3 故答案为：x3 11 （3 分）分解因式：ma2+2mab+mb2m（a+b）2 【解答】解：原式m（a2+2ab+b2）m（a+b）2， 故答案为：m（a+b）2 12 （3 分）关于 x 的一元二次方程 kx2+2x10 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围 是k1 且 k0 【解答】解：由已知得： ? ? ? ? ? ?， 即 ? ?
21、 ? ? ? ?， 解得：k1 且 k0 故答案为：k1 且 k0 13 （3 分）不等式组 ? ? ? 无解，则 m 的取值范围m2 【解答】解： ? ? ? ， 解不等式得：x2， 解不等式xm， 不等式组无解 m2， 故答案为：m2 14 （3 分）如图，在ABC 中，B45，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E （BECE） ，点 F 是 AC 的中点，连接 AE、EF，若 BC7，AC5，则CEF 的周长为 8 第 13页（共 28页） 【解答】解：DE 是 AB 的垂直平分线， BAEABE45，BEAE， BEA90， BC7， BE+CE7， AE+CE7，
22、AE7CE， 又AC5， 在AEC 中，AE2+CE2AC2， （7CE）2+CE252， 解得：CE3， 又点 F 是 AC 的中点， ?中 ? 中? ? ? ? ? ? ? ?， CEF 的周长CF+CE+FE? ? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为：8 15 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，连接 BD，过点 C 作DBC 平分线 BE 的垂线，垂足 为点 E，且交 BD 于点 F；过点 C 作BDC 平分线 DH 的垂线，垂足为点 H，且交 BD 于 点 G，连接 HE，若 BC2 ?，CD?，则线段 HE 的长度为 ? ? ? ? 【解答】解：BE 平分DBC， CBEFBE
23、， CFBE， 第 14页（共 28页） BECBEF90， 又BEBE， BECBEF（ASA） ， CEFE，BFBC2 ?， 同理：CHGH，DGCD?， HE 是CGF 的中位线， HE? ? ?中， 在矩形 ABCD 中，? ? ? ?，?t ?， 由勾股定理得：BD? ?t?， GFBF+DGBD? ? ? ?， HE? ? ? ? ? ， 故答案为：? ? ? ? 16 （3 分）已知：到三角形 3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点如果ABC 是锐角（或直角）三角形，则其费马点 P 是三角形内一点，且满足APBBPC CPA120 （例如：等边三角形的费马点是其三条高的
24、交点） 若 ABAC?，BC 2 ?，P 为ABC 的费马点，则 PA+PB+PC5；若 AB2 ?，BC2，AC4，P 为ABC 的费马点，则 PA+PB+PC2 ? 【解答】解：如图，过 A 作 ADBC，垂足为 D， 过 B，C 分别作DBPDCP30，则 PBPC，P 为ABC 的费马点， ABAC?，BC2 ?， ?t ? t? ? ? ? ? ?， ? ?t ?t ? ? ? ， PD1， ? ? ?t ?t? ? ?， ?t ? ?t? ? ? ? ?， PA+PB+PC5； 如图： AB2 ?，BC2，AC4， 第 15页（共 28页） AB2+BC216，BC216， AB2
25、+BC2AC2ABC90， ?t? ? ? ? ? ? ? ? ?t?， BAC30， 将APC 绕点 A 逆时针旋转 60， 由旋转可得：APCAPC， APAP，PCPC，ACAC，CACPAP60， APP是等边三角形， BAC90， P 为ABC 的费马点， 即 B，P，P，C四点共线时候，PA+PB+PCBC， PA+PB+PCBP+PP+PCBC? ? ? ? ? ?， 故答案为：5，? ? 第 16页（共 28页） 三三、 （每小题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 17 （8 分）先化简，再求代数式的值： ? ? ? ? ? ? ? ?，其中 a2sin30+2（1）
26、0 【解答】解： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 a2sin30+2（1）02 ? ? ?211+23 时，原式? ? ? ? ? 18 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 O 是 AD 的中点，连接 CO 并延长交 BA 的延 长线于点 E，连接 AC、DE （1）求证：四边形 ACDE 是平行四边形； （2）若 ABAC，判断四边形 ACDE 的形状，并说明理由 【解答】 （1）证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， 第 17页（共 28页） BECDCE，
27、 点 O 是边 AD 的中点， AODO， 在AEO 和DCO 中， ?体 ?t?体 ?体? ? ?t体? ?体 ? t体 ， AEODCO（AAS） ， AECD， AEDC， 四边形 ACDE 是平行四边形； （2）解：四边形 ACDE 是菱形，理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， ABAC， CDAC， 四边形 ACDE 是菱形 四四、 （每小题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）某中学为了增强学生体质，计划开设 A：跳绳，B：毽球，C：篮球，D：足球 四种体育活动， 为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况， 对部分学生进行抽样调查 （每 人
28、只能选择一种体育活动） ，并绘制成如图所示的两幅不完全的统计图，根据图中所给信 息解答下列问题： （1）求这次抽样调查的学生有多少人？ （2）求出 B 所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整； 第 18页（共 28页） （3）若该校有 800 名学生，请根据抽样调查结果估计喜欢 B 的人数 【解答】解： （1）由统计图可知，3630%120（人） ， 答：这次抽样调查的学生有 120 人； （2）360 ? ? ?126，12020%24（人） ， 答：B 所在扇形圆心角的度数为 126，补全条形统计图如图所示： （3）800 ? ? ?280（人） ， 答：估计喜欢 B 的人数为 28
29、0 人 20 （10 分）一个不透明的袋子中装有 4 个只有颜色不同的小球，其中 2 个红球，2 个白球， 摇匀后从中一次性摸出两个小球 （1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性； （2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜这个游戏 对甲、乙双方公平吗？请说明理由 【解答】解： （1）所有可能性如下表： 甲 乙 红 1红 2白 1白 2 红 1 （红， 红） （白， 红） （白， 红） 红 2（红，红）（白，红）（白，红） 白 1（红，白） （红，白）（白，白） 白 2（红，白） （红，白） （白，白） 总共 12 种情况 （2）摸到两个小球的颜色相同有 4 种
30、，摸到两个小球颜色不同有 8 种 甲获胜概率? ? ? ? ? ?，乙获胜概率? ? ? ? ? 第 19页（共 28页） 这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高 五五、 （每小题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 21 （10 分）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安 排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造 20 米，甲队改造 400 米的道路与 乙队改造 300 米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是 多少米？ 【解答】解：设甲工程队每天改造的道路长度是 x 米， 列方程得：? ? ? ? ?， 解得：
31、x80 经检验 x80 是所列方程的根， 所以 802060 答：甲工程队每天改造的道路长度是 80 米，乙工程队每天改造的道路长度是 60 米 22 （10 分）如图，O 是ABC 的外接圆，点 D 是? ?的中点，过点 D 作 EF/BC 分别交 AB、AC 的延长线于点 E 和点 F，连接 AD、BD，ABC 的平分线 BM 交 AD 于点 M （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若 AB：BE5：2，AD?，求线段 DM 的长 【解答】解： （1）证明：连接 OD，如图， 第 20页（共 28页） 点 D 是? ?的中点， ?t ? ? ?t ?， ODBC， BCEF， ODEF
32、， EF 为O 的切线； （2）设 BC、AD 交于点 N， AB：BE5：2，?t ?，EFBC， ?宋 t宋 ? ? ? ? ? ?， DN? ? ? ?， 点 D 是? ?的中点， BADCADCBD， 又BDNADB， BDNADB， t宋 t? ? ?t ?t，即： ? ? ? t? ? ?t ?， BD2， ABC 的平分线 BM 交 AD 于点 M， ABMCBM， ABM+BADCBM+CBD，即：BMDDBM， DMBD2 六六、 （每小题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 23 （10 分）如图，一架无人机在空中 A 处观测到山顶 B 的仰角为 36.87，山顶
33、B 在水中 第 21页（共 28页） 的倒影 C 的俯角为 63.44，此时无人机距水面的距离 AD50 米，求点 B 到水面距离 BM 的高度 （参考数据：sin36.870.60，cos36.870.80，tan36.870.75，sin63.440.89， cos63.440.45，tan63.442.00） 【解答】解：过点 A 作 AHBM 交于点 H，由题意可得：ADHM50 米， 设 BMx 米，则 MCBMx 米 BHBMHM BH（x50）米， 在 RtABH 中，? ? ? ? ? ? ? ? ? HCHM+MC HC（50+x）米， 在 RtAHC 中，? ? ? ? ?
34、 ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得 x110， 即 BM110 米， 答：点 B 到水面距离 BM 的高度约为 110 米 第 22页（共 28页） 24 （10 分）某超市销售一种商品，每件成本为 50 元，销售人员经调查发现，销售单价为 100 元时，每月的销售量为 50 件，而销售单价每降低 2 元，则每月可多售出 10 件，且要 求销售单价不得低于成本 （1）求该商品每月的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （不需要求 自变量取值范围） （2）若使该商品每月的销售利润为 4000 元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定 为多少元？ （3）超市的
35、销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而 减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？ 【解答】解： （1）依题意，得：y50+（100 x） ? ? ?105x+550， y 与 x 的函数关系式为 y5x+550； （2）依题意得：y（x50）4000， 即（5x+550） （x50）4000， 解得：x170，x290， 7090， 当该商品每月销售利润为 4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为 70 元； （3）设每月总利润为 w，依题意得 wy（x50）（5x+550） （x50）5x2+800 x 275005（x80）2+450
36、0， 50，此图象开口向下， 当 x80 时，w 有最大值为 4500 元， 第 23页（共 28页） 为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为 80 元 七七、 （本题（本题 12 分）分） 25 （12 分）已知，在正方形 ABCD 中，点 M、N 为对角线 AC 上的两个动点，且MBN 45，过点 M、N 分别作 AB、BC 的垂线相交于点 E，垂足分别为 F、G，设AFM 的面 积为S1，NGC的面积为S2，MEN的面积为 S3 （1）如图（1） ，当四边形 EFBG 为正方形时， 求证：AFMCGN； 求证：S3S1+S2 （2）如图（2） ，当四边形 EFBG 为矩形时，写出 S
37、1，S2，S3三者之间的数量关系，并说 明理由； （3）在（2）的条件下，若 BG：GCm：n（mn） ，请直接写出 AF：FB 的值 【解答】解： （1）在正方形 ABCD 和正方形 EFBG 中， ABCB，BFBG，FAMGCN45，AFMCGN90， ABBFCBBG， 即 AFCG， AFMCGN（ASA） 如图 1，连接 BD，则 BD 过点 E，且 BDAC，ABDCBD45， 由知AFMCGN， AMCN， BAMBCN，ABBC， ABM CBN（SAS） ， 第 24页（共 28页） BMBN，ABMCBN， MBN45ABD， FBM+MBOMBO+OBN， FBMOBN
38、， BFMBON90， FBM OBN（AAS） ， FMON， AFMEON90，FAMOEN45， AFM EON（AAS） ， 同理CGNEOM（AAS） ， SEOMSCGN，SEONSAFM， S3SMENSEOM+SEONSCGN+SAFM， S3S1+S2 （2）S3S1+S2，理由如下： 如图 2，连接 BD 交 AC 于点 O， 四边形 ABCD 是正方形，四边形 EFBG 为矩形， BDAC，BFMBON90，ABDCBD45，ACBD2OB， MBN45，FBMOBN45MBO， FBMOBN， ?中 体? ? ?t ?宋， 同理BOMBGN， ?t ?宋 ? 体? ?，
39、 ?中 体? ? 体? ?， OB2BF BG， ? ? ? 体? ? ? ? ? ? 体? ? ?体? ? 体?，S矩形EFBGBF BG， S矩形EFBGSABC， S1+S2SABCS五边形MFBGN，S3S矩形EFBGS五边形MFBGN， S3S1+S2 第 25页（共 28页） （3）根据题意可设 BGmx，GCnx，ABBC（m+n）x， ?矩形 ?中? ? ? ? ? ? ?， 即 ?中 ? ? ? ? ? ? ?， BF? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ?中 ? ? ? ?中 ? ? ? ， AF：BF? ? ? ：? ? ? ?（mn） ： （m+n） 八八、
40、（本题（本题 14 分）分） 26 （14 分）如图，已知点 A（8，0） ，点 B（5，4） ，直线 y2x+m 过点 B 交 y 轴于 点 C，交 x 轴于点 D，抛物线 yax2? ? ? x+c 经过点 A、C、D，连接 AB、AC 第 26页（共 28页） （1）求抛物线的表达式； （2）判断ABC 的形状，并说明理由； （3）E 为直线 AC 上方的抛物线上一点，且 tanECA? ? ?，求点 E 的坐标； （4）N 为线段 AC 上的动点，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 BN 运动到点 N，再以每秒 ?个单位长度的速度沿线段 NC 运动到点 C，又
41、以每秒 1 个单 位长度的速度沿线段 CO 向点 O 运动，当点 P 运动到点 O 后停止，请直接写出上述运动 时间的最小值及此时点 N 的坐标 【解答】解： （1）直线 y2x+m 过点 B（5，4） ，交 y 轴于点 C， 42（5）+m， 解得：m6， C（0，6） ， 将 A（8，0） 、C（0，6）代入 ? ? ? ? ? ? ? ?， 得： ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得： ? ? ? ? ? ? ? ， 抛物线的表达式为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； （2）ABC 为直角三角形，且BAC90， 理由如下：点 A（8，0） ，点 B（5，4） ，点 C（0
42、，6） ， AB2（8+5）2+（0+4）225，AC2（8+0）2+（06）2100，BC2（5+0） 2+（46）2125， AC2+AB2BC2， ABC 为直角三角形，且BAC90； 第 27页（共 28页） （3）由（2）知 AB5，AC10， tanBCA? ? ? ? ? ? ?tanECA， BCAECA， 如图 1，延长 BA 至 F，使 AFAB，连接 CF，则点 B、F 关于点 A 对称， F（11，4） ， BACFAC90，AFAB，ACAC， FACBAC（SAS） ， BCAFCA， 点 E 为直线 CF 与抛物线的交点， 设直线 CF 的解析式为 ykx+b，
43、则 ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得：? ? ? ?， 直线 CF 的解析式为 ? ? ? ? ? ?， 联立方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得： ? ? ? ? ? ? ? ? 或 ? ? ? ? ? ?（舍去） ， 故点 E 坐标为（? ? ? ，? ?） ； （4）过 N 作 MNBC 于 M，过 F 作 FMBC 交 AC 于 N，连接 FN，则 FNBN， 第 28页（共 28页） AB5，BC? ? ? ?， sinBCA? ? ? ? ? ? ? t宋 宋?， MN? 宋? ?，又 CO6， 点 P 运动时间 t? ?宋
44、 ? ? 宋? ? ? ?体 ? ?BN+MN+6FN+MN+6FM+6， 当 F、N、M 三点共线时，t 最小， AC10，BC? ? ?， sinABC? ? ? ? ? ? ? ? 中?t ?中 ， FM? ? ?， 点 P 运动时间 t 的最小值为 ? ? ? ?， 由直线 BC 的表达式 y2x+6 得点 D 坐标为（3，0） ， FD? ? ? ? ? ? ?， 点 D 与点 M重合，则点 N（即 N）为直线 FD 与直线 AC 的交点， 由点 A（8，0）和 C（0，6）得直线 AC 的表达式为 ? ? ? ? ? ?， 由点 F（11，4）和 D（3，0）得直线 FD 的表达式为 ? ? ? ? ? ? ? ?， 联立方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得： ? ? ? ? ? ? ? ， 此时 N 坐标为（6，? ?）
