1、圆木有几根 一、指导思想与理论依据 义务教育数学课程标准(2011 版)指出:在数学课程中,应当 发展学生的几何直观。 而几何直观教学的关键点是能够运用形象的几 何图形解决复杂的数学问题,这里就蕴涵了一个重要的数学思想 数形结合。 伟大的数学家华罗庚对数形结合在学习数学中的作用作了 这样的阐述:数与形本是相倚依,焉能分作两边飞,数缺形时少直观, 形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。切莫忘,几何代 数统一体,永远联系莫分离。可见数形结合思想的重要性。小学数学 问题解决的目的不仅仅是解决一个或几个问题， 而是要让学生学会解 决问题的思想方法，构建解决问题的数学模型，帮助他们适应复杂多
2、变的现代生活，培养学生用数学知识创造性问题的能力。数形结合不 仅是一种重要的解题方法，也是一种思维方式。在本课中，我利用数 形结合思想，探索堆成什么形状，就用什么公式做背后的道理，直观 化、形象化，有效地帮助学生理解了背后的道理。 二、教学背景分析 1.教材分析 圆木有几根是京版教材第三单元第二小节梯形的认识和面 积例题之后的试一试。教材给出了一个实际应用的情景，教学时教 师需要引导学生思考圆木堆和梯形有着怎样的联系？为什么可以和 梯形面积公式联系起来？怎样计算？ 北京版 人教版和北师版都有这个内容，且都是安排在梯形的面积之后， 作为练习题出现的。人教版教材中出现了“ （顶层根数底层根数） 层
3、数2”和“这是什么道理？”这样的计算公式和问题，引导学 生思考背后的道理。北师版教材在题号上带有“？” ，是教材的一道 拓展题。 人教版 北师版 三个版本的教材基本上是一样的， 无论是作为练习题还是拓展题， 不仅要掌握知识，还要理解方法背后的道理，以及思想方法的感悟。 圆木根数的问题，本质上是等差数列求和的问题，而等差数列求和是 高中数学“数列”单元的学习内容，如此形式化的学习，下放到小学 既不可能，也五必要。之所以让小学来尝试，一方面是因为解决实际 问题的需要，生活中圆木常常这样堆放；另一方面，是因为著名的高 斯故事，使复杂的内容可以简单化；再有，因为等差数列与梯形特征 上的相似性，使得探索
4、时的思考方法和最后的结果都是类似的，有了 形的支持，说理就变得容易了。 在北京版教材中还出现了计算摆放花盆的个数、 影院座位个数等 类似于圆木根数的实际问题，其目的是与生活实际相联系，巩固所学 知识。 北京版 （二）学情分析 为了了解学生针对圆木根数问题是如何理解的，我对 34 名学生 进行了前测，情况如下： 前测题目： 学生有两种解题方法。第一种方法是累加计算。将每一层圆木的 根数相加计算根数，这种方法的有 15 人，占 44.1%。 其中有一名学生每一层都按 7 根计算，再减去多算的根数。从整 体去考虑问题，但其本质也是累加计算的方法。 第二种方法是利用梯形面积公式计算，采用这种方法的学生
5、有 19 人，占 55.9%。 我对这些进行了访谈，学生理由基本上是“因为木头堆成梯形， 所以用梯形面积公式计算” ，学生说时表现得理直气壮。当我追问木 头截面是圆形的，圆是不能密铺的，总有缝隙，用梯形面积公式算， 算的会不会大了？摆成梯形， 上面的圆和总在下面两个圆之间凹下去 的地方，和摆成长方形（上圆在下圆的正上方）相比，高变短了，怎 么还能用原来的高计算呢？学生也打起了问号， 觉得确实存在这样的 问题，但是按梯形面积计算的根数确实就是圆木的根数，为什么能用 梯形面积公式计算？这之间存在着怎样的联系？表示不清楚。 （三）我的思考 怀特海的“智力三阶段”论认为：人的智力发展要有浪漫、精确 与
6、综合三个阶段在不同时期的循环而具有节奏性的特点。 儿童主要通 过直接认知事实，断续地、零碎地、模糊地及时到这些新的事物以及 与之有关的种种可能性，从而引发心中的兴趣，激发情感上的体悟， 产生浪漫的遐想。在这一阶段，儿童虽然处于一知半解、若隐若现的 模糊状态， 但这种瞬间迸发的兴奋却可以引起儿童探究未知世界的好 奇心和兴趣，激发学习的内在动机，产生纷繁而活跃的思想。 怀特海的理论引起了我深深地思考：学生说不出道理的想法“形 状是梯形，就用梯形面积公式来做” ，也许正是浪漫期最宝贵的直觉！ 有了浪漫的背景， 能否适度地追求精确？用儿童能够接受的方式讲道 理，可以不那么形式化但依然严密。把道理说清楚
7、，探究为什么可以 这样计算， 退回数学的起点去找道理的共同之处， 才是我们应该做的。 为此我设计了以下的教学目标及重难点。 三、教学目标及重难点 教学目标： 1. 能受面积公式推导过程的“原型启发” ，利用数形结合，探索等差 数列求和的计算方法。 2. 经历猜想与验证的过程，培养从特殊推广到一般的意识，知道这 样的推广对和错都是可能的。 3. 有验证和证明的需要，感受数学推理的严密。 教学重点： 理解摆成什么样的图形可以用什么样的面积公式计算。 教学难点： 木头堆成三角形时，如何利用三角形面积公式求根数。 四、教学过程 （一）探索新问题 1.出示问题 生活中我们常常看到木头是这样摆放的， 这堆
8、圆木有多少根？也 是我们经常遇到的问题。为了更好的研究这个问题，老师想把屏幕上 的这幅图搬到黑板上，大家给老师出个主意，我应该怎么画能表示的 既简洁又清楚？（画轮廓、画梯形、磁力扣） 2.记录信息 用磁力扣表示一根木头行吗？木头是挨在一起， 磁扣分开一些行 不行？我们研究的是圆木的数量， 与它长短、 粗细、 大小、 间隔无关。 （学会忽略无关、次要的特征，突出重点。 ） 怎么摆？看看老师摆的对吗？ 3.独立探究 木头搬过来了，我们就不去看屏幕了。会解决吗？本上独立解答。 （选择典型方法板书） 4.交流分享 （1）两种方法，那个方法不用讨论你一看就明白了。第二种方法 我会也能讲的清楚举手，派个代
9、表到前面来给大家讲一讲。 （2）今天讲题的形式变一变，可能下面还有一些同学不明白，根 据同学们的问题进行讲解。 （2 人讲，1 人用道具再讲） 为什么（上底下底）高2 你可能需要这个道具，给大家说一说。 没听懂可以继续问，听懂了表示一下。 （3）刚才大家在发言的时候，我听到了这个词，我们在求木头的 根数，很多同学都说到了这是一个梯形，上底、下底、高，用到了梯 形的面积的计算方法，这木头的根数和面积有什么关系（板书根数、 面积） ，说不清楚。 （ppt 演示拼的过程）就着一个梯形的图说面积同 学们可能还不太白， 但是另一个同学说用推导梯形面积的方法再来一 堆相同的木头， 这样一拼， 把梯形转化成
10、了平行四边形， 每层有 8 根， 有 5 层，再2 就行了。 【设计意图】在学完梯形面积之后，试一试中的圆木根数问题不 管三七二十一就用梯形面积公式计算。 在学生看来这道题似乎没有讲 解的价值，而且还用一节课来学习。在上课开始，出示新问题，把圆 木根数的用磁珠来表示，由“体”变为“形” ，由三维变二维。在记 录时学生学会学会忽略无关、次要的特征，突出重点。为后面的学习 做好铺垫。 （二）总结一般方法 老师觉得这种方法特别巧妙， 每层不一样的一堆木头就变成每层 相同的根数就很好算了。你们怎么那么快就想到了呢？（求梯形面积 时就说这样的。 ） 学了方法还能灵活运用，特别棒。以后我们再有这样堆的木头
11、， 无论多少层，每层有多少根，都可以用什么方法去做？ S=（ab）h2（板书） 对于这堆木头，里面的 a、b、h 分别是什么？ 根数=（上层根数下层根数）层数2（板书） 原来每层根数不同的，我们只好一个一个很麻烦的“”的问题， 转化成了每层根数都一样的“”的简单的问题。 （板书） 【设计意图】 在展示两种方法之后， 学生将两种方法进行对比、 优化。 木头的根数公式中各项分别对应的梯形面积计算公式什么？总结出 木头堆成梯形形状的一般公式。将很麻烦的“”的问题，转化成了 简单的“”的问题，感悟化繁为简的数学思想。 （三）引发新猜想 1.木头堆成别的形状，是否能用相应的面积公式算根数？ 这个问题解决
12、到这是不是就完了，这节课我们就下课了。王老师 觉得咱们班同学都特别棒，都是有想法的同学。既然有想法，肯定不 能满足有了这样一个公式， 这样一堆木头会求了就行了， 就画句号了。 学数学的同学，得到一个结论，通常是不会满足的，肯定会联想。既 然木头堆成梯形的形状，我就能仿照梯形面积公式求它的根数，如果 还能堆成 生：堆成别的图形，就能用别的图形的面积公式来求。 他把我们所有的猜测用一句话都概括了，如果堆成长方形、正方 形、平行四边形、三角形，是不是也可以仿照堆成梯形的方法，用他 们各自的面积公式去求根数。你们觉得是还是不是？ 生：是 2.学生一一验证 这么快就能说是了？这刚刚只是我们的推测， 听上
13、去蛮有道理的， 但是到底对不对，需要我们验证一下。我们放慢脚步，一个一个看。 （1）长方形 如果木头这样摆，可以怎么算？得到什么结论？ 生：长宽。摆成长方形时的根数和对应的面积公式一样的。 （2）平行四边形 成立 （3）三角形 真抱歉， 三角形老师没做课件。 利用刚刚的这个梯形， 想个办法， 做最简单的改动，就能把它变成三角形？ (4)重点研究三角形 如果按照刚刚的方法， 这堆木头的根数怎么算?本上独立计算一下。 （66）2=18 发现什么问题了？ 师：太荒唐了是吧。我们刚刚计算三角形是 18,梯形 201 应该等于 21 啊，怎么可能是 18 呢？显然应该得 21 才是正确的，到底怎么回 事
14、呢？ 师：我们刚刚得出了结论，做出了一个大胆的猜想，也一个一个进行 了验证，前面的也都成立。在我们正要为我们的猜想拍板时，一下子 又不成立了。 怎么回事呢？是我们的猜想有问题吗？到底是什么原因 呢？4 人一个小组商量商量，讨论讨论。 （5）为什么到三角形这里不成立了？ 先找找问题出在哪里？然后再看看以后再遇到这样的问题我们 用什么样的方法解决？ （6）将三角形圆木拼一拼 就着这堆木头，和我们摆的真正的三角形拼在一起有什么不一 样？同样拼成了一个平行四边形，不同的地方在哪？谁发现了？ 新平行四边形的底和原来三角形的底怎样？没有变化。高 呢？（也没有变化）而这堆木头呢？ 原来问题出在这了，这堆木头
15、看着像三角形，但是实际上最上面 还有一个，上底就为 1，实际上是一个梯形。把它调过来，底就不是 6 了，而变成 61，底就是 7 了。而两个真正的三角形一拼底和高都 没有变化，三角形的顶点非要看成有长度的话，它的长度是几？用哪 个数表示？点的长度有大小吗？可以把三角形看成是上底是 0 的三 角形。所以从数量上来看，看起来堆的像三角形的这堆木头，实际上 从数量上看是上底为 1 的梯形。 （7）木头这么堆，看成什么才合适？ 如果说我非要把这堆木头看成三角形，怎么办？不是光加一颗珠 子，顶点为 0，有 0 颗珠子吗？那怎么办？（错一行） 如果说非得看成三角形，可以看成是底是多少高是多少的三角 形？
16、我们来验证一下，6（61）2=21（根） ，成立。 【设计意图】爱因斯坦说过： “提出一个问题，往往比解决一个问题 更重要， 因为解决一个问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而 已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需 要有创新性的想像力，而且标志着科学的真正的进步 ”因此，我们 应当具有良好的发现问题的和提出问题的能力。在本环节中，引导学 生积极联想， 木头堆成梯形的形状， 就能用梯形面积公式求它的根数， 如果堆成别的形状， 是否能用相应的面积公式算根数呢？进而验证自 己的猜想。 在猜想结论几近正确的时候， 到三角形计算却出现了问题， 为什么？引发了学生深深地思考。 通
17、过课件的演示， 撩开神秘的面纱： 看似堆成的三角形的这堆木头，实际上是上底为 1 的梯形。进而再提 出挑战：如果非要看成三角形，可以看成什么样的三角形。找到问题 的根源所在。此时， “数”与“形”完美结合， （四）思考再深入 1.思考为什么求根数、求面积公式相同 通过刚才新的问题的深入讨论， 我们发现任何一堆， 木头求根数， 堆成什么形状，就可以用相应的求面积的方法来计算根数，看来这个 根数和面积之间还真是有很大的相似的地方。 很多同学开始的时候就用梯形面积这种方法求根数， 特别佩服咱 们班同学那种直觉。 学到这， 王老师还想问大家最后一个问题， 好吗？ 这边求的都是根数，面积是面积，根数是根
18、数，完全不一样的两 个概念，怎么算的时候公式就一样了？ 你看堆成木头也有缝隙，跟面积就是不一样的啊。还有木头堆成 梯形时，一个挨着一个都掉下去了，高也变了，怎么就都用面积公式 算呢？想过这个问题吗？能解决吗？这个问题如果就着这个公式去 想，怎么也解决不了，王老师送个大家一个字退（板书） 2.退到原点思考 往前退。我们在学梯形、三角形面积公式时是转化成什么图形来 推导的？平行四边形， 平行四边形又是转化成什么图形呢？ 长方形。 最初第一个学的长方形的面积公式又是怎么来的？摆出 来的、数出来的。这么看，有什么想法？数面积和数根数是一样 的。借着这个机会，王老师送给大家一句话，自由地读一读。 善于“
19、退” ，足够地“退” ，退到最原始而不失去重要的地方，是 学好数学的一个诀窍。 华罗庚 这句话是大数学家华罗庚说的， 最后祝同学在数学的世界里进退 自如。 【设计意图】数学是一门讲道理的学科，数学学科的定理、法则、算 理等知识的产生、发展及每个规则的确定都蕴含着深刻的数学道理。 在本环节中，通过对新的问题的深入讨论，发现任何一堆，木头求根 数，堆成什么形状，就可以用相应的求面积的方法来计算根数。但这 是为什么呢？让孩子回忆以前学习的长、 正方形面积公式的推导过程， 理解了其实数面积和数根数是一样的。在学生经历了整个过程之后， 通过问题引领、对话交流、思辨提升、追根溯源，引导学生挖掘隐藏 在数学
20、知识背后的那些深层次的数学之 “理” ， 从而促进 “数学理解” ， 活化“数学思维” 。沟通已有认知，在辨理中把握本质。 五、设计特点分析 1.抓住重点理解背后的道理。 本节课中，我抓住一个问题进行拓展，发散学生的思维，其目的 是让学生理解为什么摆成什么样的图形就可以用什么面积公式计算 背后的道理，即数根数和数面积是一样的。给学生提供了自主探究和 合作学习的空间，在层层抽丝剥茧中立即所学习的知识，并把这种经 验带到今后的学习中，去解决生活中的数学问题。 2抓住兴趣给学生提供展示的舞台 吴老师说：学生是活生生的人，学生是发展中的人。课堂上教师 的鼓励，引导学生在交流中丰富自己的思维，在课堂展示时张扬自己 的个性， 提升自己的认识， 从而理解了道理， 掌握了数学的思维方式。 3抓住联系感悟数学思想方法 本课中，圆木堆成平行四边形、长方形、正方形、梯形时面积计 算公式适用，而堆成三角形却不适用，为什么？在这里，利用 ppt 中 的课件，将图形移动一行，使顶点变为“0” ，让“数”与“形”完美 结合在一起，很好地突破了教学的难点。通过探究背后的道理，学生 经历猜想与验证的过程，积淀数学活动经验。
