1、复数的乘法与除法北京师范大学附属中学 1 2(i)(i)z zabcd？设 ，那么i,i ( , , ,)12Rzab zcda b c d问题1 我们已经学习了复数的加法和减法法则，你认为该如何定义复数的乘法法则呢？设 ，定义i,i ( , , ,)12Rzab zcda b c d问题1 我们已经学习了复数的加法和减法法则，你认为该如何定义复数的乘法法则呢？1 2()()iz zacbdadbc1 2(i)(i)z zabcd2iiiacadbcbd()()iacbdadbc追问 两个复数的乘法运算类似于我们学过的哪种运算？问题2 复数集中规定的乘法运算满足什么运算律呢？1 2(i)(i)
2、()()iz zabcdacbdadbc证明：设 ，那么12ii=zabzcd，2 1(i)(i)()()i()()iz zcdabcadbcbdaacbdadbc所以 1 22 1=z zz z复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律.追问 如何证明呢？问题2 复数集中规定的乘法运算满足什么运算律呢？1 23123()()z zzz z z对任意复数 有123,z zz1231 21 3()z zzz zz z1 22 1z zz z复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律.例1 计算：(2i)(34i).解：原式263i8i4i=典型例题63i8i4 ( 1) 105i按照
3、多项式的乘法展开把 换成-12i把实部与虚部分别合并例2 计算下列各式的值.（1）(32i)(32i);（2）2(1 i) .典型例题例2 计算下列各式的值.（1）解法1：原式2232i 33 2i(2i)= 96i6i4 ( 1) 13解法2：原式223(2i)9413=平方差公式(32i)(32i);典型例题例2 计算下列各式的值.（2）解法1：原式(1 i)(1 i)=2(1 i) .解法2：原式2212ii=完全平方公式221i 1 1 ii 1 ii 1 2i2i12i 1= 典型例题例3 求证：（1）22| ;z zzz（2） 22( ) ;zz（3） 1212.=zzzz典型例题
4、例3 求证：（1）证明：设 ，则izab22| ;z zzz2222(i)(i)( i)z zabababab所以 22| .z zzz两个共轭复数的乘积等于这个复数（或共轭复数）的模的平方.因为 2222|zzab典型例题例3 求证：（2）证明：设 ，则izab222222(i)2i( i)2izabaabbabab从而 2222izabab22( ) ;zz因为 222222( )(i)2i( i)2izabaabbabab所以 22( )zz典型例题例3 求证：（3）证明：设 则12ii,zabzcd，1212.=zzzz12(i)(i)()()izzabcdacbdadbc所以 121
5、2=zzzz从而 12()()izzacbdadbc因为 12(i)(i)()()i=zzabcdacbdadbc典型例题问题3 我们知道，实数的乘方是相同实数的乘积，规定复数的乘方也是相同复数的乘积.那么，复数的乘方满足什么运算律呢？对复数 和自然数 ，有12,z z z,m nmnm nzzz()mnmnzz1212()nnnzzzz例4 计算： .解：222(5i)5i321iii422iii234(5i)ii, ,25 ( 1) 25 ( 1) i i ( 1) ( 1) 1典型例题变式1 计算： .解：194 4 3ii 284 7ii374 9 1ii 19283790i ,i ,
6、i ,i904 22 2ii并总结 的取值规律.i ()Nnni,411,42ii,431,4nnknknknk()Nk 443(i )ii 47(i )14 9(i )ii4222(i )i1 典型例题变式2 计算： .分析：因为4142434iii+ii 1 i+10kkkk 又因为994 243所以原式2324 0iii1 23499iiiii典型例题例5 计算:（1）分析：33223()33abaa babb3322313113133(i)( )3 ( )i3(i)(i)22222222 331313(i)(i) ;2222，1 典型例题例5 计算:（1）分析：33223()33aba
7、a babb3322313113133(i)( )3 ( )i3(i)(i)22222222 331313(i)(i) ;2222， 有几个复数根？31z 1 典型例题例5 计算:（2）解：原式2 1000(1 i) 2000(1 i).1000(2i)100010002i10002110002典型例题问题4 我们已经建立了复数集里的加、减、乘运算，那么，复数的除法该如何定义呢？ zz对于复数 ，如果存在复数 ，使 ，则 叫做 的倒数，记作 .izab z1z z1z复数的倒数：追问1 我们需要把 中的分母由虚数变成实数，以前所学的知识，有没有类似的变形？1iab11izab？112无理数的分
8、母有理化：121(12)12(12)12 追问2 如何把 中的分母由虚数变成实数?1iab1iab分母实数化：分子分母同时乘以分母的共轭复数i) i(i()ababab22i( i)abab22iabab2222iababab11izab？21|zzz追问3 有了倒数的概念，两个复数除法的运算法则可以如何规定？ i1ii(i)abddabcc复数的除法法则：22i(i)cdabcd22()()iacbdbcadcd2222iacbdbcadcdcd追问3 有了倒数的概念，两个复数除法的运算法则可以如何规定？ iiabcd复数的除法法则：iiiiabccdcdd22()()iacbdbcadcd
9、2222iacbdbcadcdcdiiabcd例6 计算:(12i)(34i).解：原式12i34i=(34i)(12i)(34i 34i)(=12i55 5 10i25+=将除式写为分式分母实数化分子、分母分别进行乘法运算典型例题例7 计算:81 i() .1 i解：因为21 i(1 i)1 i(1 i)(1 i)所以881 ii11 i2i2i典型例题例8 在复数范围内解方程:（1）（2） 2230;xx（3） 20(0, ,)Raxbxcaa b c且220;x 典型例题例8 在复数范围内解方程:（1）220;x 解：22x 22(2i)x 122i,2ixx 典型例题例8 在复数范围内
10、解方程:（2） 2230;xx解：2(1)2x 12i12ixx 或22(1)(2i)x 1212i ,12ixx 配方法两个根有什么关系？典型例题例8 在复数范围内解方程:（3） 20(0, ,)Raxbxcaa b c且实数根分析：当 时，240=bac242bbacxa 典型例题例8 在复数范围内解方程:（3） 20(0, ,)Raxbxcaa b c且共轭虚根分析：当 时，0 该方程的根与系数有什么关系？2224()24bbacxaa2224()(i)22bacbxaa 24i22bacbxaa1212bxxacx xa 典型例题练习1 计算：21(1 i)解：原式2112ii12i1
11、i22i2i课堂练习分析：把 代入方程，得到2(1 i)(1 i)20a1 ix 2ii20aa(2)(2)i0aa2a课堂练习练习2 已知 是关于 的方程 的根，则实数 = .1 ia220 xaxx211 ixx 122axx解法2：设 11 ix 课堂练习练习2 已知 是关于 的方程 的根，则实数 = .1 ia220 xaxx思考题 在复数乘法的定义下，复数的乘法运算仍然保持实数乘法的运算律，那么，实数乘法中的所有结论都可以推广到复数中吗？Rx当 时， ;但 时， 与 未必相等.Cz2z2|z22|=xxRx20 x 当 时， ;但 时， 未必成立.Cz20z 课堂练习1.复数的乘法法则及其运算律2.复数的除法法则3.在复数范围内解实系数一元二次方程课堂小结1.计算：（1） （2）（3） （4）（5） （6）(32i)(7i);(1 i)(1 i);(48i)i;i(11 2i);3(34i) ;2(32i)i .2.计算：23352100033331997i ,i,i,i,i.课后作业（1） （2） （3） （4） （5） （6）2i;74i2i;4i2i;1 i1;2i1;i1.1+i3.计算：课后作业
