1、高一年级 数学复数的乘、除运算北京师范大学附属中学平谷第一分校1.复数的加法、减法法则？复习回顾2.复数加法的几何意义？1212i=i ()() ()i za bzc d a b c dzza cb d 设，R 是任意两个复数，则xyo1( , )Za b2( ,)Zc dZ(,)ac bd（平行四边形法则）12()()i OZOZacbd两个向量与的和就是与复数对应的向量。复习回顾3.复数减法的几何意义？1212OZOZzz 两个向量与的差，就是与复数对应的向量xyo1( , )Za b2( ,)Zc dZ(,)ac bd（三角形法则）复习回顾4.共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互
2、为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。i,izabzab如果那么12i=i ()zabzcdabcd设， ， ，R 是任意两个复数，那么它们的积(i)(i)abcd(-)+ ()iac bdadbc我们规定,复数的乘法法则如下:探究一:复数的乘法2i+ i+iacbcadbd复数的乘法法则1 2(i)(i) ( -)+ ()izza b c dacbdad bc12i =i ()za bzcda b c d设， ， ，R，则提出问题：（1）两个复数的积是个什么数?它的值唯一确定吗?两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定。探究一:复数的乘法复数的乘法法则1 2(i)(i) ( -)+ ()izz
3、a b c dacbdad bc提出问题：（2）当 都是实数时,与实数乘法法则一致吗?12,z z探究一:复数的乘法当 时, 都是实数，12,z z0bd复数的乘法与实数乘法法则一致。12i =i ()za bzcda b c d设， ， ，R，则12,za zc120i,0izazc 复数的乘法法则1 2(i)(i) ( -)+ ()izza b c dacbdad bc提出问题：（3）复数的乘法类似于实数的哪种运算方法?探究一:复数的乘法两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把 换成 ，并且把实部与虚部分别合并即可。2i112i =i ()za bzcda b c d设， ，
4、 ，R，则复数的乘法法则通过探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘。复数的乘法满足实数运算中的运算律吗？探究一:复数的乘法1 2(i)(i) ( -)+ ()izza b c dacbdad bc12i =i ()za bzcda b c d设， ， ，R，则123 ,z zz C 对任意复数，有复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律，即探究一:复数的乘法1 22 1z zz z（乘法交换律）1 23123()()z zzz z z（乘法结合律）1231 21 3()z zzz zz z（乘法对加法的分配律）证明：
5、12(i)(i)z zabcd2 1(i)(i)z zcdab1 22 1z zz z1 2312 31231 21 3()()=+z zzz z zz zzz zz z同理可证（），成立。探究一:复数的乘法12i =i ()za bzcda b c d设， ， ，R，2iiiacadbcbd()()iacbdadbc2iiiacbcadbd()()iacbdadbc(11 2i) (-2+i)20 15i 例 计算解：(1 2i) (3+4i)(-2+i)(1 2i) (3+4i)(-2+i)2(34i6i8i ) (-2+i)222 11i+4i-2i (1)(23i) (23i)4(-9
6、)132(2)(1i) 例 计算解法1：(1)(23i) (23i)24 6i 6i (3i) 4(-9)13解法2：(1)(23i) (23i)222(3i)利用实数系中的乘法公式249i249i(1)(23i) (23i)2(2)(1i) 12i 1 2i例 计算解法1：2(2)(1i) (1 i) (1 i) 21iii 212i+i 12i 1 2i解法2：2(2)(1i) 利用实数系中的乘法公式我们规定了复数的乘法法则，复数的除法法则又该如何呢？类比复数的乘法法则,你能试着推导复数除法法则吗?由计算，得(i)(i)icdxyab()()i+ icxdycydxa b由此，得2222,
7、acbdbcadxycdcd所以探究二:复数的除法由复数相等的定义,得,cxdya cydxb2222(i)(i)+ iacbdbcadabcdcdcd(,i0)abcdc d， ， ，R 且 +2iii+ icxcydxdya b探究二:复数的除法2222(i)(i)+ iacbdbcadabcdcdcd由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数。(,i0)abcdc d， ， ，R 且 +探究二:复数的除法(i)(i)abcd2222(i)(i)+ iacbdbcadabcdcdcd这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”。(i)(i)(i
8、)(i)abcdcdcd222iiiacadbcbdcdiiabcd2222+ iacbdbcadcdcd(,i0)abcdc d， ， ，R 且 +例 计算解：(12i)(34i)(1 2i)(34i)(12i)(34i)(34i)(34i)22236i4i+8i345 10i25 12i55 12i=34i220 x 22( 2i)(2i)2 2202ixx 方程的根为例 在复数范围内解下列方程解：2=2x2i = 1借助小 结（1）复数的乘法法则。两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把 换成 ，并且把实部与虚部分别合并即可。 （2）复数的除法法则。先把 写成 的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数 ，分母“实数化”，再把结果整理成的 形式。(i)(i)abcdiiabcdicd2i1iab布置作业 1.计算(1)(7-6i)( 3i) (3) i(2i)(12i) 2.计算(2) (34i)( 23i) (3) (12i) (3-4i)( 2i) 2 (2) (1i) (1) (3 +2i)(3 +2i) 布置作业 3.计算1i (1)1i4.在复数范围内解下列方程29160 x 1(2)i( 1i)(2i)(4)i 7i(3) 34i
