1、教教 案案教学基本信息课题随机事件与概率（第二课时）学科数学学段： 中学年级高一教材书名： 人教 A 版数学必修第二册出版社：人教社出版日期：2019 年6 月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者王燕北京师范大学实验中学丰台学校实施者王燕北京师范大学实验中学丰台学校指导者康舒真北京教育学院丰台分院课件制作者王燕北京师范大学实验中学丰台学校其他参与者无教学目标及教学重点、难点教学目标：1.了解随机事件的包含、并、交、互斥和对立的含义，会进行随机事件的并、交运算；2.结合实例，通过类比集合的关系和运算，认识随机事件关系与运算，发展逻辑推理的数学素养.3.在用简单事件表示复杂事件的过程中，提升提出
2、问题、分析问题、解决问题的能力.教学重点：事件的关系与运算的意义.教学难点：分析具体实例中随机事件的关系，用简单事件表达复杂事件.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入一复习上节课我们学习了利用样本空间来刻画随机试验的结果， 将随机事件看成是样本空间的子集，并学会了用适当的符号表示试验的样本点，下面我们一起来回顾一下：例 掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数.让 学 生 了解 到 随 机现 象 在 我们 身 边 是大 量 存 在的,我们学（1）写出试验的样本空间（2）用集合表示事件iA=“点数为i” ，1,2i ；1B=“点数不大于 3” ；2B= “点数大于 3”；1C=
3、“点数为 1 或 2”；2C=“点数为 2 或 3”；答：11A ,22A ,11,2,3B ,24,5,6B ,11,2C ,22,3C 习 有 关 概率 知 识 的目 的 之 一就 是 要 了解 和 描 述类 似 的 现象； 增加学生 学 习 概率的兴趣,了 解 数 学在 解 决 实际 问 题 中的 广 泛 应用； 提高学生 应 用 数学 知 识 提出问题、 分析 问 题 和解 决 问 题的能力。新课我们还可以定义很多个随机事件，同学们可以尝试着举出一些例子，我们可以看到，这些随机事件有的就是基本事件也就是只包含一个样本点，比如事件iA，也有的包含的样本点多一些，不止一个比如后面这几个事件
4、，也就是有的简单，有的复杂,而我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，那么怎么推算呢？要想解决这个问题，我们首先要清楚复杂的事件是如何用简单的事件表示的， 或者说事件和事件之间有什么样的关系？也就是我们需要研究事件之间的关系和运算.这节课，我们就一起来学习这一内容.问题问题 1： 将事件将事件1A和事件和事件1B用集合的形式表示用集合的形式表示， 这两个集合是什么关系？这两个集合是什么关系？师：两个事件用集合表示为11C ，1,3,5G .这两个集合的关系是1CG,追问追问：借助集合与集合的关系，你能发现这两个事件有什么联系吗？你能发现这两个事件有什么联系吗？回顾前面的学习，如何用集合语
5、言解释一个事件是否发生？在一次试验中，当且仅当掷出骰子的点数属于集合1A时就说事件1A发生，在一次试验中，当且仅当掷出骰子的点数属于集合1B时就说事件1B发生，而因为集合1A是集合1B的子集，也就是事件1A的样本点都在事件1B中，所以可以说如果事件1A发生，那么事件1B总发生.(PPT)因此，我们也可以借助集合的这个包含符号来表达事件的这种关系， 并且也说这两个事件具有包含关系.1.1.事件的包含与相等事件的包含与相等：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含包含事件A(或事件A包含于包含于事件B)，记作BA(或AB)可以用图 1 表示：特别地，特别地，如果事件B包含事件A,
6、事件A也包含事件B,即BA且AB，则称事件A与事件B相等相等，记作AB师：回顾我们刚才学习的过程，我们把它写在表格里事件集合表示集合关系事 件 的 关系1A=“点数为 1”1B=“点数不大于 3”11A 11,2,3B 11AB事件1A发生 则 事 件1B一定发生 ， 记 作11BA（11AB）师：我们先用集合表示事件，然后类比集合的包含关系，得到了事件的包含关系.根据这样的方法， 我们是不是还能定义事件的一些其他的关系呢？下面我们来看下面一个问题问题问题 2. 将事件1B事件1C和事件2C用集合表示，这三个集合之间什么关系呢？【设计意设计意图图】 ：事件之间的关系与运算本质上就是集合之间的关
7、系与运算,因此,借助实例帮助学生理解抽象概念， 并且用类比的学习方法， 从集合的角度、 包含样本点的角度、 逻辑的角度等方面多角度理解事件的包含关系， 体师：由我们学过的集合的知识我们能看出来，集合1B是集合1C和2C的并集，可以表示为集合1B等于集合12CC,什么是并集呢？就是集合1B的所有元素是由集合1C和2C的元素合并在一起构成的，一个元素属于集合1C或集合2C，就说它属于集合1B.追问：借助集合的这种关系，你能说说这三个事件有什么联系吗？从事件的角度说，事件1C的样本点和事件2C的样本点合在一起就构成了事件1B的样本点，还可以这样说，事件1C和事件2C只要有一个发生，或说至少一个发生，
8、就相当于是事件1B发生了，这样，我们仍然可以类比集合的关系来定义事件的这种关系.2. .并事件（或和事件并事件（或和事件） ：一般地，事件A与事件 B 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件 B 中，我们称这个事件为事件A与事件 B 的并事件的并事件 （或和事件或和事件） ， 记作记作AB(或AB).用图中的绿色区域与黄色区域表示这个并事件.这儿还需要再次强调的是，至少有一个发生，什么意思呢？包含两种情况， 第一种就是 A 和 B 这两个事件有一个发生， 也就是 A 发生，B 不发生，或者是 B 发生，A 不发生，不管哪个发生，我们都说 A,B 的和事件发生了.第二
9、种就是这两个事件同时发生， 出现什么结果代表同时发生呢？由韦恩事件集合表示集合关系1B “点数不大于 3”1C “点数为 1 或 2”2C “点数为 2 或 3”11,2,3B 11,2C 22,3C 112BCC现知识间的联系， 为后续事件的运算打下方法的基础.图我们更好理解，它们两个相交的部分，代表它们公共的样本点，如果试验出现的是公共的样本点，那么也说它们的和事件发生了.这自然就让我们想问，公共的样本点构成的集合所代表的事件，与事件 A 和事件 B 有什么关系呢？我们不难联想到可以利用集合的交来定义这种关系3.交事件（或积事件交事件（或积事件） ：一般地，事件A与事件B同时发生同时发生，
10、这样的一个事件中的样本点既在事件A中， 也在事件B中， 我们称这个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件的交事件（或积事件） ，记作，记作AB(或AB).(有时候交集的符号可以省略，记作 AB)用图中的蓝色区域表示这个交事件.师：比如说，事件2A与事件1C和2C，事件1C和2C同时发生这样的一个事件包含的样本点就是掷出 2 点，相当于相当于事件2A发生. 可以表示为212ACC，我们说事件2A是事件1C和事件2C的交事件.说到交事件，我们可以联想到，在学习集合的知识时，有这样一种情况，就是两个集合没有公共的部分，或者说交集是空集，那么对于两个事件来说，这又是一种什么关系呢？还是用刚才的抛掷骰子
11、的随机试验来举例问题问题 3：抛掷质地均匀的骰子一次，借助集合与集合的关系和运算，你能说说事件1A与事件2A有什么联系吗？师： 抛掷质地均匀的骰子一次， 出现点数为 1 和出现点数为 2 这两个事件，如果我们还是用集合来表示它们， 这两个集合之间是不是就是我们刚才说的那种关系， 什么关系？用集合怎么表示？）12AA ，大家想想，我们怎么来定义事件之间的这种关系呢？（停顿）我们知道，这两个集合的交集是空集，从事件的角度说，这两个事件的交事件是不可能事件，也就是说，事件1A与事件2A不可能同时发生(PPT),具有这种关系的两个事件，我们称为是互斥事件或是互不相容事件事件集合表示集合关系1A=“点数
12、为 1” ；2A=“点数为 2” ；1=1A2=2A12AA 4.互斥互斥 （或互不相容或互不相容） 事件事件： 一般地， 如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即=AB ，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）互斥（或互不相容）.用韦恩图表示为：问题问题 4： 事件1B与事件2B互斥么？它们与互斥事件1A= “点数为 1” 与2A=“点数为 2”的关系相比有什么不同？师：我们发现，集合 B1 和 B2 交集为空集，在任何一次试验中,事件1B与事件2B不能同时发生，所以它们是互斥的，再请同学们思考，这两个互斥事件与刚才我们讨论的互斥事件1A=“点数为 1”和2A=“点数为
13、 2“的关系相比有什么不同？大家观察这两幅韦恩图，第一幅图用橙色圈起来的表示的事件1A和2A的集合，第二幅图，样本空间被分成两部分，表示的是事件1B和2B的集合，这两对互斥事件有什么不同？1A,2A的并集并不是样本空间，而事件1B和2B除了满足互斥的条件以外，它们集合的并集就是样本空间，也就是它们的和事件是必然事件，所以我们得到这样的结论，在一次试验中，要么事件1B发生，要么事件2B发生，也就是两者一次试验中必然有一个发一次试验中必然有一个发生，或者说这两个事件有且仅有一个发生生，或者说这两个事件有且仅有一个发生. .我们称事件1B与事件2B互为对立事件.5. .互为对立事件互为对立事件：一般
14、地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生， 即AB，且AB ，那么称事件A与事件B互为对立互为对立.事件A的对立事件记为A,可以用韦恩图表示A与A的关系.师：其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有有且仅有一个发生这里，需要给同学们再一次强调，两个事件 A,B 若想互为对立事件，需要满足两个条件，首先它们是互斥的，也就是在任何一次试验中不能同时发生，并且还要满足一个条件，就是必然有一个发生,具体来说就是如果 A不发生，B 就一定发生，反之 B 不发生，A 就一定发生，必须满足这两个条件才能说明它们是互为对立事件.问题问题 5：一个袋子中有大小和质地相同的 3 个球，颜色分
15、别为红球、黄球、蓝球， 从袋中随机摸出一个球， 事件 A=“摸出红球”， B=“摸出蓝球”， C=“摸出黄球”，D=“摸出蓝球或黄球”.事件 A 与事件 B，事件 B 与事件 C，事件A 与事件 C 之间分别什么关系?答：将红球、黄球、蓝球分别用 1，2，3 表示，则样本空间为=1 2 3 4 5 6，,=1,=2,C=3,D=2,3.事件 A,B,C 两两互斥,事件 A 对事件 D 互为对立.小结：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立.事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生AB并事件（和事件）A与B至少有一个发生AB或AB交事件（积事件）A与B同时发生AB或AB互斥（互不相容）A与
16、B不能同时发生=AB 互为对立A与B有且仅有一个发生AB且=AB 师：类似的，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如，对于事件A，B，C,ABC(或ABC)发生当且仅当A，B，C中至少有一个发生，ABC(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生，这里我们还可以拓展到 n 个事件的积事件和和事件， 同学们可以课下查阅相关资料进行研究.例题三.例题例.如图,由甲、 乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件AB和事件A
17、B,并说明它们的含义及关系.分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成,所以可以用数组12( ,)x x表示样本点.这样,确定事件A,B所包含的样本点时,不仅要考虑甲元件的状态,还要考用乙元件的状态.解：(1)用12,x x分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用12( ,)x x表示这个并联电路的状态,以 1 表示元件正常,0 表示元件失效,则样本空间为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(2)根据题意,可得=(1,0),(1,1)A,(0,1),(1,1)B ,=(0,0),(0,1)AB=(0,0),(1,0).(3)(0,1),(1,0),(1,1)AB ,(0,0)AB ;
18、AB表示电路工作正常,AB表示电路工作不正常；AB和AB互为对立事件.师：根据例 1 和例 2 的研究我们可以总结出判断事件关系的步骤：(1).确定每个事件包含的结果，用集合表示；(2).根据集合的关系判断事件的关系.例.一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球,其中有 2 个红色球(标号为 1和 2),2 个绿色球(标号为 3 和 4),从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球.设事件1R=“第一次摸到红球”,2R=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件R
19、与1R,R与G,M与N之间各有什么关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件1R与事件2R的交事件与事件 R 有什么关系？解：(1)所有的试验结果如图所示.用数组12( ,)x x表示可能的结果,1x是第一次摸到的球的标号,2x是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).事件1R=“第一次摸到红球”,即1x=1 或 2，于是1(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)R ;事件2R=“第二次摸到红球” 即2x=1
20、 或 2,于是2(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)R 同理，有(1,2),(2,1)R ，(3,4),(4,3)G ,(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)M ,(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)(3,1),(3,2)(4,1),(4,2)N .(2)因为1RR所以事件1R包含事件R；因为RG ,所以事件R与事件G互斥；因为MN,MN 所以事件M与事件N互为对立事件.(3)因为RGM所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为12RRR所以事件R是事件1R与事件2R的交事件.练习练习：生产某种产品需要 2 道工序，设事件A=“第一道工序加工合
21、格”，事件B=“第二道工序加工合格”，用A，B，A，B表示下列事件：C=“产品合格”，D=“产品不合格”.解：只有两道工序加工合格，产品才合格，所以C=“产品合格”=AB;至少一道工序加工不合格，产品就不合格，所以D=“产品不合格”=ABABAB=AB=AB.总结三小结师：下面我们一起来回顾这一节课的内容，首先，我们学习了事件的关系或运算的含义，可以用表格表示：1.事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生AB并事件（和事件）A与B至少有一个发生AB或AB交事件（积事件）A与B同时发生AB或AB互斥（互不相容）A与B不能同时发生=AB互为对立A与B有且仅有一个发生AB 且AB这是我们这节
22、课的重要知识， 我们要学会用集合的运算和关系描述事件的关系，判断事件关系的步骤：(1)确定每个事件包含的结果，用集合表示；(2)根据集合的关系判断事件的关系.可以看到借助集合的关系和运算可以很清晰的表示复杂的事件的关系.2.在这个研究的过程中，我们采用了类比的思想方法，通过分析特殊的事件的关系得到一般的结论,体现了特殊到一般的思想方法.有了事件的关系和运算， 我们就具备了用简单事件的概率推算出复杂事件的概率的基础，以后我们会进一步进行研究.作业四作业人教 A 版普通高中数学教科书必修二第 233 页练习：1.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是().(A)至多一
23、次中靶(B)两次都中靶(C)只有一次中靶(D)两次都没有中靶解： “至少一次中靶”的对立事件是“两次都没有中靶” ，所以选 D2.抛挪一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件:iC=“点数为i” ，其中1,2,3,4,5,6i ；1D=“点数不大于 2” ，2D=“点数大于 2” ，3D=“点数大于 4” ；E= “点数为奇数”F= “点数为偶数”.判断下列结论是否正确.（1）1C与2C互斥； （2）2C与3C为对立事件； （3）32CD；（4）32DD;（5）12DD ，12D D； （6）356DCC;（7）135ECCC； （8）E，F为对立事件； （9）232DDD；（10）233DDD.解： （1）正确； （2）错误； （3）正确； （4）正确； （5）正确； （6）正确；（7）正确； （8）正确； （9）正确； （10）正确；
