1、教教 案案 教学基本信息 课题 复数的除法 学科 数学 学段：高中 年级 高一 教材 书名：普通高中教科书数学（B 版）必修第四册 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 7 月 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 石静 首都师范大学附属回龙观育新学校 实施者 石静 首都师范大学附属回龙观育新学校 指导者 高丽娟 北京市昌平教师进修学校 课件制作者 石静 首都师范大学附属回龙观育新学校 其他参与者 无 教学目标及教学重点、难点 运用类比方法， 经历由实数系中的除法到复数系中除法的推广， 体会运算的发展规律和连续性。使学生理解复数的除法是乘法的逆运算，掌握复数的除法运算实质
2、是“分母实数化” ，并探究实系数一元二次方程在复数范围内的解集问题。培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。本节课共设计两道例题. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 （一） 复习引入 复习回顾：复习回顾： 在学习减法时，我们利用减法是加法的逆运算，得到了减法法则： ()1212.zzzz=+ 我们是否可以用同样的方法研究除法呢？ 首先我们来复习一下复数的乘法运算. 通过复习，使学生回顾本章学习的主要内容，并通过复习复数减法的研究过程来引导学生思考复数的除法如何研究. 问题 1 设复数()i,zaba b=+R满足()()i2i8i,ab+=你会求 z 的值吗？ 分析：
3、等式的左边是两个复数的乘积，其结果是一个复数，且含有两个未知数, a b，等式的右边是复数8i，可以利用复数相等的定义得到关于, a b的两个方程，联立方程，就可以解得, a b的值. 解：根据复数的乘法法则，等式可变形为：() ()22i8i,abab+= 再根据复数相等的定义，可得： 28,3,21,2.i32i.abaabbab=+= = +=解得 实质上，问题 1 等价于已知两个复数的乘积及其中一个复数，求另一个复数的问题.我们是否可以从复数乘法的逆运算的角度来思考这个问题呢？ 本节课将继续学习复数的除法运算. 通过问题 1，复习复数的乘法法则及复数相等的定义，引导学生进行计算，体验计
4、算过程，并思考是否有其他简单方法. （二） 探究新知 回顾实数的除法定义： 在实数中，除法是乘法的逆运算， 如果0aaxb=且，那么(),bxxbaa=或 xbab称为 除以 的商，称为被除数，a称为除数. 利用除法定义可以得到分数的基本性质： 当0c 时，有,.bbc ababaacccc+=+ 类比实数除法的定义，你能试着给出复数除法的定义吗？ 复数的除法定义：复数的除法定义：如果复数2210zzzz=，则满足的复数12zzz称为 除以的商，并记作：()1122,zzzzzz=或 1z称为被除数，2z称为除数. 同样，利用复数的除法定义可以得到复数除法运算的基本性质. 通过类比实数的除法定
5、义得到复数的除法定义. ()()1122121210 .20 .zzzzzzzz=+=+性质：性质 ： 例如，根据性质 1： ()()() ()() ()() ()8i3i8i,2i2i3i8i2i8i2i8i=.2i2i2i5=+=+ 发现：依据共轭复数的乘积为一个实数，可让分子分母同乘分母的共轭复数实现分母实数化. 例如，根据性质 2： 8i8i+,2i2i2i8i8i21+=,4i4i4ii48i8i1+=2+i.4444+=+=+= 第三个式子的分母是实数，利用性质 2 可整理为复数的一般形式. 再回想问题 1，你能写出 a+bi 的另一种形式了吗？ 8ii,2iab+=+ i8 i2
6、iab+即：求求与的商. 分母为复数，可看成一个分式. ()()()()8i2i8i2i2i2i=+ 15 10i5= 32i.= 复数除法的核心思路：分母实数化复数除法的核心思路：分母实数化. 方法：利用性质 1，分子分母同乘分母的共轭复数实现分母实数化后，再利用性质 2，将结果化为 iab+ 的形式. 随着数系的扩充，实数集是复数集的真子集，为了保持一致性，我们规定： 通过对两个性质的分析与举例，使学生理解两条性质的作用,为后面讲解复数的除法法则做好铺垫. 通过由果索因的分析方法，引导学生探索并发现复数除法运算的核心是分母实数化.并理解实现分母实数化的依据是复数的除法的运算性质. 非零复数
7、的 0 次幂：()010 .zz= 负整数次幂的定义：()10.nnzznz+=N且 例如：()()()02212i1, 2i,2i=()()()022134i1, 34i.34i= 当()111,0nzzz=时，称1zz为的倒数. 例如：2i的倒数是()()2i11i,2i2i2i2= 34i的倒数是()()()34i134+i.34i34i34i2525+=+ 所以()8i1= 8i.2i2i+ 其中12i2i+是的倒数，利用“分母实数化”可以求出12i+的值. 因此，12zz也可以看成是12zz与的倒数之积. 小结：利用“分母实数化”可以求出任意两个复数的商,以及任意一个非零复数的倒数（
8、除数不能为 0）. 类比复数的正整数指数幂的定义以及实数的的负整数指数米的的定义得到复数的负整数指数幂. 在定义了复数的倒数后，给出复数的除法的另一种理解，让学生体会通过分母实数化也能够求解一个复数的倒数. （三） 典例精讲 例 1 求() ()12i34i+的值. 方法一：根据复数除法的定义() ()1 2i1 2i34i34i+=，利用分母实数化，分子分母需同乘分母的共轭复数. 方法二：根据倒数的定义，() ()12i34i+也就是()()112i34i+，利用分母实数化，可先求出()134i的值，再与()12i+相乘. 小结：复数除法运算的基本思路分母实数化 例 2 求()21 i+的值
9、. 分析：此题考查的是非零复数的负整数指数幂的运算，可以将其转化为商的形式，再利用复数的除法法则求解. 通过前面的学习，我们已经理解了复数的概念与性质，掌握了四则运算的方法，利用这些知识，能否解决本章一开始提出的一元二次方程在复数范围内解的问题呢？ 问题 2 我们已经知道，虚数单位 i 是方程21x = 的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？ 因为 ( )22ii1,= = 所以方程21x = 在复数范围内的解集为ii .,- 类似地，如果实数0a ，方程2xa= 在复数范围内的解集是什么？ ()()()2222iii,aaaa= = 因为 所以，方程2xa= 在复数范围内的解集为i,i .
10、aa 方程2230 xx+ =在复数范围内的解集是什么？ 通过例 1， 帮助学生巩固除法的运算法则，并梳理解题的基本思路. 通过例2， 巩固复数的负整数指数幂的定义及除法运算法则. 从最简单的一元二次方程出发，逐步推广到一般，研究复数集内一元二次方程根的问题. 分析：通过配方将方程转化为()20 xa a= 的形式，即可求解. 发现：这三个问题中的一元二次方程在复数范围内的两个解是互为共轭的虚数. 小结：当, ,0,a b ca 都是实数且时关于x的方程20axbxc+=称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的. （四） 课堂小结 1复数的除法运算 2.实系数一元二次方程()20
11、0axbxca+=在复数范围内解得情况： 通过对本节课学习过程和思路方法的总结，加强学生对本节课整体的认识. （五） 课后作业 【课后作业】 1.计算下列各式的值. （1）12i； （2）1 i1 i+； 通过作业使学生及时巩固本节课所学知识，可以让学生自检学习效果并反（3）2i4i； （4）2i74i+. 2.已知12121115 10i34i,.zzzzzz= += =+，求 3.在复数范围内求方程210400 xx+=的解集. 4. 证 明 ： 如 果12,x x为 实 系 数 一 元 二 次 方 程()200axbxca+=的解，那么 1212,.bxxacx xa+= = 【参考答案
12、】 1. （1）12=i22i. （2）1 ii1 i= +. （3）2i92i4i1717=. （4）. 2i181i74i6565+=+ 2. 125 10i3 4i,zz= += ， 1211142i25zzz+=+=， 故2555i.42i2z =+ 3. 因为()221040515,xxx+=+ 所以原方程可化为()2515,x+= 从而可知 515i515i,xx+ =+ = 或从而可得 515i515i,xx= += 或所求解集为 515i515i + ， 4. 证：12,x x为实系数一元二次方程 ()200axbxca+=的解，那么 思反馈. 22122212221244,2244,2244.22bbacbbacxxaabbacbbacbxxaaabbacbbaccx xaaa + = + +=+= + =且
