1、教教 案案 教学基本信息 课题 复数的几何意义 学科 数学 学段： 高中 年级 高一 教材 书名：普通高中数学教科书 B 版数学必修第四册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019 年 7 月 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 吴照洋 北京市昌平区第二中学 实施者 吴照洋 北京市昌平区第二中学 指导者 高丽娟 北京市昌平区教师进修学校 课件制作者 吴照洋 北京市昌平区第二中学 其他参与者 罗柳英 北京市昌平区第二中学 教学目标及教学重点、难点 本节课主要学习复数的几何意义. 类比实数的几何意义的研究过程，用复平面上的点或向量来描述复数，实现数与形的转化，沟通复数和平面几何的联系
2、，为平面几何问题的求解提供一种新的工具. 在学习过程中，发展直观想象的核心素养，体会数形结合的思想方法. 本节课共涉及2个例题. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 环节 1-1 复习回顾，知识准备. 上节课我们已经学习了复数的概念，这节课我们探寻复数的几何意义，我们先对复数的概念的相关知识知识，进行简单的复习回顾. 21ii0000 xzababbbab= =+= =方程的解，引入虚数单位数系扩充：实数复数复数定义：，其中 是实部, 是虚部.复数复数相等：实部和虚部对应相等实数()复数分类：虚数()纯虚数(且) 环节 1-2 知识类比，问题提出. 我们知道，实数与坐
3、标轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型. 复习旧知，为新知学习做准备. 我们现在学习了一类新的数复数. 请同学们思考： 【问题 1】类比实数，我们能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中的点的一一对应关系？ 类比实数几何意义，引入探寻复数几何意义的课题. 新课 环节环节 2 2- -1 1 复数的几何意义复数的几何意义坐标表示坐标表示. . 根据复数相等的定义， 复数 i ( ,)zaba b=+R由它的实部a和虚部b唯一确定. 因而， 复数 i ( ,)zaba b=+ R一一对应有序实数对( , )a b 一一对应平面直角坐标系中点( , )Z a b.
4、 比如， 复数12i+对应点为(1,2)A，复数3对应的点为(3,0)B，而点(0, 1)C对应的复数为i. 建立直角坐标系来表示复数的平面称为复平面. 在复平面内， x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴； y轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，称y轴为虚轴. 这样，复数 i ( ,)zaba b=+R 一一对应平面直角坐标系中点( , )Z a b. 环节环节 2 2- -2 2 复数的几何意义复数的几何意义向量向量表示表示. . 从向量的角度看，复数 i ( ,)zaba b=+R 一一对应点( , )Z a b 一一对应向量( , )OZa b= 用 对 应 的观点， 结合有 序
5、实 数对 和 点 的对应关系， 讲 解 复 数的 坐 标 表示. 用 对 应 的观点， 结合点 和 平 面向 量 的 对应关系， 讲解 复 数 的向量表示. i31+2iCBAOxy 新课 环节环节 2 2- -3 3 从数学史角度介绍复数几何意义的形成过程从数学史角度介绍复数几何意义的形成过程. . 在复数的发展过程中，为了寻找复数的几何模型，找到复数的几何意义，历史上很多著名数学家做了很多重要的贡献.下面我们追寻数学家们的工作，从数学史的角度回顾一下复数的几何意义的探寻过程. 1685 年，英国数学家，沃利斯（J. Wallis）意识到，在直线上不能找到虚数的几何表示. 1797 年，挪威
6、测量学家，维塞尔（. ）首先提出，把复数用坐标平面上的点来表示，形成了复平面概念，但在当时没有受到人们的重视. 1806 年，德国数学家，阿甘得（R. Argand）公布了复数的图象表示法，即复数能用一个平面上的点来表示. 所以复平面又称“阿甘得平面”. 1796 年，伟大的德国数学家高斯（C.F. Gauss）已经知道了复数的几何表示. 1831 年，高斯在著作中不仅把复数看作是平面上的点，而且还看作是一种向量，建立起了复数的代数运算，系统建立了复数的理论.后来复平面也被称为“高斯平面”. 环节环节 2 2- -4 4 复数的模的定义及其几何意义复数的模的定义及其几何意义. . 下面我们利用
7、平面向量来描述复数. 一般地，向量( , )OZa b=的长度称为复数izab=+的模，用| | z表示，因此22| | zOZab=+， 特别地，当0b =时，2| |=|zaa=，这说明复数的模式实数绝对值概念的推广. 复数izab=+的模的几何意义是点( , )Z a b到原点O的距离. 环节环节 2 2- -5 5 举例说明复数的几何意义举例说明复数的几何意义. . 下面我们举两个例子说明复数的几何意义.比如： 复数13iz =+对应的点是1(3,1)Z，对应的向量是1(3,1)OZ =；2211= 3 +1 = 10zOZ=，复数1z对应的点1(3,1)Z到原点的距离也是10. 介绍
8、数学史，增加学生学习的兴趣，渗透数学文化. 以形助数 利用复数的向量表示描述和研究复数. 举例说明概念，加深对概念的直观理解. 新课 复数23iz =对应的向量是2(3, 1)OZ =，2222= 3 +( 1) = 10.zOZ=复数2z对应的点2(3, 1)Z到原点的距离也是10. 环节环节 2 2- -6 6 共轭复数定义及性质 我们还发现复数13iz =+和复数23iz =，对应的点和向量，都关于实轴对称，而且它们的模也相等.下面请同学们思考: 【问题 2】复数iab+与iab的实部和虚部有什么关系？它们在复平面内对应的点和向量有什么位置关系？ 复数iab+与复数iab的实部相等，而虚
9、部互为相反数；所以，在复平面内，它们对应的点的横坐标相等，而纵坐标互为相反数，根据坐标作出图形， 可以看出复数iab+与复数iab，对应的点和向量，都关于实轴对称. 一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数. 复数z的共轭复数用 z表示. 当i ( ,)zaba b=+R时，有izab=. 我们可以从数和形的角度去理解互为共轭的两个复数. i ( ,),i.zaba bzabzz=+=R共轭复数对应的点和向量关于实轴对称.模相等，即数形 实部相等，虚部互为相反数. 从数和形的两个角度研究具有共轭关系的两个复数，体现数形结合的思想方法. Z23 i3+iZ1-
10、131Oxya bia+bia-bbOxy 例题 例例 1 1 设复数134iz =+在复平面内对应的点为1Z，对应的向量为1OZ；复数2z在复平面内对应的点为2Z，对应的向量为2OZ. 已知1Z与2Z关于虚轴对称， 并判断1OZ与2OZ的大小关系. 分析分析： 本题主要涉及复数几何意义坐标表示和向量表示. 首先要可以根据已知对称关系，作出图形；再根据复数的坐标表示和向量表示，求出对应的点和对应的向量，利用复数的模的公式求解. 解解： 由题意可知1(3,4)Z，又因为1Z与2Z关于虚轴对称，所以2(3,4)Z，从而有234iz = 因此2( 3,4)Z，从而234iz = +， 因此222|(
11、 3)45z =+=. 又因为 2211345OZz=+=，225OZz=. 所以，12OZOZ=. 例例 2 2 设复数z在复平面内的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示. （1）=2z； （2）13z . 分析分析：因为zOZ=，所以z是OZ的模，即z的几何意义是点Z到原点O的距离. 解解： （1）由=2z可知，2OZ =，即点Z到原点O的距离始终等于2， 因此点Z组成的集合是圆心在原点、 半径为2的圆. 如图所示. 例题讲解，巩固知识；体会以形助数 ，以数解形， 数形结合的思想方法. 例题 （2）不等式13z 等价于不等式组3,1.zz 又因为满足3z
12、 的点Z的集合，是圆心在原点、半径为3的圆及其内部，而满足1z 的点Z的集合，是圆心在原点、半径为1的圆的外部，所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括外边界但不包括内边界）.如图所示 总结 【问题 3】本节课我们学了哪些数学知识和用到了哪些思想方法？ 一、一、数学数学知识知识 1 1. .复数的几何意义复数的几何意义 i ( ,)( , )( , )zaba bZ a bOZa b=+ =R一一对应一一对应复数点向量. 2 2. . 复数的模复数的模22| |.( , )zOZabZ a bO=+几何意义：对应点到原点 的定：距离.义 3 3. . 共轭复数共轭复数i ( ,),i.za
13、ba bzabzz=+=R对应的点和向量关于实轴对称.模相等，即数形实部相等，虚部互为相反数. 二、二、 思想方法思想方法 对应的观点，数形结合的思想方法. 课堂小结，知识提升. 作业 作业 1 1. 分别写出下列复数在复平面内对应的点的坐标. （1）25i+； （2）32i +； （3）32i； （4）2i+4； （5）3； （6）3i； （7）4i； （8）2. 2. 已知1 iz = ，求z与| | z. 3. 设复数z在复平面内的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示. （1）=1z； （2）1z； （3）1z ； （4）12z . 【课后作业参考答案】 1.（1）(2,5)； （2）( 3,2)； （3）(3, 2)； （4）(4, 2)； （5）(3,0)； （6）(0, 3)； （7）(0,4)； （8）( 2,0). 2. 1 iz = +，22|( 1)( 1)2z =+ =. 3.（1）以原点为圆心、半径为1的圆； （2）以原点为圆心、半径为1的圆的内部（不包括边界） ； （3）以原点为圆心、半径为1的圆的外部（包括边界） ； （4） 以原点为圆心、 半径为1的圆和半径为2的圆所夹的圆环（不包括内外边界）. （1） （2） （3） （4） 课后作业，知识巩固. O1xy
