1、第四章第四章相似三角形复习课相似三角形复习课一、知识梳理一、知识梳理相似图形的有关概念相似图形的有关概念相似图形形状相同的图形称为相似图形来源:学+科+网 Z+X+X+K相似多边形定义来源:学,科,网如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似相似比相似多边形对应边的比称为相似比 k相似三角形两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似当相似比 k1 时，两个三角形全等比例线段比例线段定义防错提醒比例线段对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即_，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段求两条线段的比时，对这两
2、条线段要用同一长度单位黄金分割在线段 AB 上， 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC(ACBC)，如果_，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比，黄金比为_一条线段的黄金分割点有_个平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比_推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比_相似三角形的判定相似三角形的判定判定定理 1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形_判定定理 2如果两个三角形的三组对应边的_相等，那么这两个三角
3、形相似判定定理 3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且_相等，那么这两个三角形相似判定定理 4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的_，那么这两个三角形相似拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似三角形及相似多边形的性质相似三角形及相似多边形的性质三角形(1)相似三角形周长的比等于相似比(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似多边形(1)相似多边形周长的比等于相似比(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方位似位似位似图形定义两个多边形不仅相似， 而且对应顶点间连线相交于一点， 对应边互相平行，像这样
4、的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心位似与相似关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行位似图形的性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于_；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于_点；(3)位似图形对应边_(或在一条直线上)；(4)位似图形对应角相等以坐标原点为中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于_位似作图(1)确定位似中心 O；(2)连接图形各顶点与位似中心 O 的线段(或延长线)；(3)按照相似比取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所
5、求的图形相似三角形的应用相似三角形的应用几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；(2)测量底部可以达到的物体的高度；(3)测量底部不可以到达的物体的高度；(4)测量不可以达到的河的宽度二、题型、技巧归纳二、题型、技巧归纳考点一：考点一：比例线段比例线段例 1 已知直线 abc，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、D、F，AC4，CE6，BD3，则 BF()A7B7.5C8D8.5技巧归纳：技巧归纳：本题考查的是平行线段成
6、比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键考点考点 2 相似三角相似三角形的性质及其应用形的性质及其应用例 2如图ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边 BC 上的高，BC40 cm，AD30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长 H G 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G、H 分别在 AC，AB 上，AD 与 HG 的交点为 M.(1)求证：AMHGADBC(2)求这个矩形 EFGH 的周长技巧归纳：技巧归纳：1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2. 利用相似三角形性质探求比值关系考点考点 3 三角形相似的
7、判定方法及其应用三角形相似的判定方法及其应用例 3、如图在矩形 ABCD中，AB6，AD12，点 E 在 AD 边上，且 AE8，EFBE 交 CD 于 F.(1)求证：ABEDEF；(2)求 EF 的长技巧归纳：技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：先找两对对应角相等；若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”考点考点 4 位似位似例 4如图正方形 ABCD 的两边 BC，AB 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上，正方形 ABCD与正方形 ABCD 是以 A
8、C 的中点 O为中心的位似图形，已知 AC32，若点 A的坐标为(1，2)，则正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是()A、16B、13C、12D、23技巧归纳：技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求得两个正方形的边长。三、随堂检测三、随堂检测1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 AB2 m，它的影子 BC1.6 m，木竿 PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM1.2 m，MN0.8 m，则木竿 PQ 的长度为_m.2、如图，在ABC 中，BAC60，ABC90，直线 l1l2l3，l1与 l2之间距离是 1，l2与l3之间距离是
9、 2，且 l1，l2，l3分别经过点 A，B，C，则边 AC 的长为3、 如图， 将正方形纸片 ABCD 沿 MN 折叠， 使点 D 落在边 AB 上， 对应点为 D， 点 C 落在 C处 若AB6，AD2，则折痕 MN 的长为参考答案参考答案例 1、因为 abc，所以ACCEBDDF，463DF，DF4.5，BF7.5.例 2、解：(1)证明：四边形 EFGH 为矩形，EFGH.AHGABC.又HAGBAC，AHGABC，AMADHGBC.(2)由(1)得AMADHGBC.设 HEx，则 HG2x，AMADDMADHE30 x.可得30 x302x40，解得 x12，2x24.所以矩形 EF
10、GH 的周长为 2(1224)72 (cm)例 3、解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，AD90，AEBABE90.EFBE，AEBDEF90，DEFABE，ABEDEF；(2)ABEDEF，BEEFABDE.AB6，AD12，AE8，BE AB2AE210，DEADAE1284，10EF64，解得 EF203.例 4、 延长 AB交 BC 于点 E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比在正方形 ABCD 中，AC3 2，BCAB3.延长 AB交 BC 于点 E，点 A的坐标为(1，2)，OE1，EC312AE，正方形 ABCD的边长为 1，正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是13.故选 B.随堂检测随堂检测1、 2.32、22133、2 10
