第四章 图形的相似-4 探索三角形相似的条件-黄金分割-ppt课件-(含教案+素材)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：90346).zip

黄金分割初三数学组4.4 探索三角形相似的条件之世界艺术珍品世界艺术珍品维纳斯维纳斯女神，她的上女神，她的上半身和下半身的比半身和下半身的比值接近值接近0.6180.618. . 建筑中的黄金分割建筑中的黄金分割古埃及的胡夫金字塔，形似方锥，大古埃及的胡夫金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔高与底面的边小各异。但这些金字塔高与底面的边长的比长的比接近于接近于0.618.0.618. 军事中的黄金分割军事中的黄金分割步枪的枪把和枪身比例符合黄金分割步枪的枪把和枪身比例符合黄金分割. .大炮射击中，最佳射击距离约为最大射程的黄金分割点所在位置大炮射击中，最佳射击距离约为最大射程的黄金分割点所在位置. .人体中的黄金分割人体中的黄金分割 人体结构中有人体结构中有1414个个“黄金点黄金点”（物体短段与长（物体短段与长段之比值为段之比值为 0.6180.618），），1212个个“黄金矩形黄金矩形”（宽与长（宽与长比值为比值为 0.6180.618的长方形）的长方形）和和2 2个个“黄金指数黄金指数”（两（两物体间的比例关系为物体间的比例关系为 0.6180.618）。包括小腿与大）。包括小腿与大腿长度之比，前臂与上臂腿长度之比，前臂与上臂之比等等。之比等等。 黄金黄金分割分割的定的定义义 黄金分割是指将整黄金分割是指将整体一分为二，较大部分体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的较小部分与较大部分的比值，其比值约为比值，其比值约为0.6180.618。这个比例被公。这个比例被公认为是最能引起美感的认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金比例，因此被称为黄金分割。分割。发现美 黄金黄金分割分割的定的定义义在线段在线段ABAB上上, ,点点C C把线段把线段ABAB 分成两条线段分成两条线段ACAC和和BCBC , ,如果如果ACABACBC=点点C C叫做线段叫做线段ABAB的黄金分的黄金分割点割点, , ACAC与与ABAB的比叫做黄金比的比叫做黄金比. .CAB 那么称线段那么称线段 ABAB被点被点C C黄金分割黄金分割. .发现美1234黄金分割点是一个特殊的黄金分割点是一个特殊的点点.一条线段有两个黄金分一条线段有两个黄金分割点割点.黄金分割满足满足 ，这样的点，这样的点C是是线段线段AB的黄金分割点的黄金分割点.黄金比是黄金比是 ，也是，也是 .你能用所学知识求出黄金比是多少吗？你能用所学知识求出黄金比是多少吗？发现美任务一：计算黄金比解得解得 x=5 5 -1-12 2_0.618x1-x1x=ACABBCAC=设设AB=1.AC=x研究美CAB研究美你认为哪张摄影作品更能体现小松你认为哪张摄影作品更能体现小松鼠凝视前方？鼠凝视前方？研究美研究美研究美任务二：利用黄金比计算1.电视主持人在主持节目时电视主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处，站在舞台的黄金分割点处最自然得体最自然得体.若舞台若舞台AB长为长为30m，主持人应走到离，主持人应走到离A点点至少至少 m处，如果他向处，如果他向B点再走点再走 m，也处在比较，也处在比较得体的位置得体的位置.（结果精确到（结果精确到0.1m）自学合作11.57.1研究美研究美研究美有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角满足黄金分割时，更利于植物通风有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角满足黄金分割时，更利于植物通风和采光，使植物生长的更快和采光，使植物生长的更快. .任务二：利用黄金比计算2叶子的叶柄叶子的叶柄PN和主叶和主叶脉脉MP的比符合黄金比，的比符合黄金比，已知主叶脉长已知主叶脉长MP为为2，则，则叶柄长叶柄长PN= ，叶子，叶子长长MN= .研究美叶子中的黄金分割叶子中的黄金分割MNP研究美研究美任务二：利用黄金比计算ABC自学合作 3. 中国的古琴上也处处体现了黄金分割的神奇中国的古琴上也处处体现了黄金分割的神奇.琴弦的两个端点琴弦的两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点是靠近点B的黄金分割点，如果的黄金分割点，如果CB的长为的长为 ，你能求出这个古琴琴弦有多长吗？，你能求出这个古琴琴弦有多长吗？创造美创造美创造美 这是古希腊的巴台农神庙，这是古希腊的巴台农神庙，如果按照它的长和宽画成矩形如果按照它的长和宽画成矩形ABCDABCD，并以矩形，并以矩形ABCDABCD的宽为边的宽为边在内部作正方形在内部作正方形AEFDAEFD，那么我，那么我们可以惊奇地发现们可以惊奇地发现 ， 点点E E是是ABAB的的黄金分割点黄金分割点吗吗? ?1.1. A E BD F C矩形矩形ABCDABCD的宽与长的比是的宽与长的比是黄金比黄金比吗吗? ?创造美1.点点E是是AB的的黄金分割点黄金分割点吗吗?2.2.矩形矩形ABCDABCD宽与长的比是宽与长的比是黄金比黄金比吗吗? ?A E BD F C推证推证BC=AE因此，点因此，点E E是是ABAB的黄金分割点，的黄金分割点，是黄金比是黄金比即宽与长的比是黄金比即宽与长的比是黄金比, ,这样的矩形称之这样的矩形称之为为黄金矩形。黄金矩形。创造美方法总结:证黄金分割点即证创造美如果在黄金矩形里以宽为边剪下一个正如果在黄金矩形里以宽为边剪下一个正方形，那么留下的还是黄金矩形吗？方形，那么留下的还是黄金矩形吗？ABCDEF创造美创造美创造美2.2.作任意线段的黄金分割点作任意线段的黄金分割点 采用如下方法可以得到黄金分割点：如采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设图，设ABAB是已知线段，经过点是已知线段，经过点B B作作BDAB,BDAB,使使 ；连接；连接DA,DA,在在DADA上截取上截取DE=DBDE=DB；在；在ABAB上截取上截取AC=AE.AC=AE.点点C C就是线段就是线段ABAB的黄金分割点的黄金分割点. .你能说说其中的道理吗？你能说说其中的道理吗？本节课你有哪些本节课你有哪些收获？收获？ 黄金分割具有严格的比黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。在生藏着丰富的美学价值。在生产、生活实际、经济和科学产、生活实际、经济和科学实验中都有大量应用。实验中都有大量应用。小结小结作业3 32 21 1必做新课堂新课堂4.44.4 第第4 4节节帮你身边最喜欢的一帮你身边最喜欢的一位女士计算一下她适位女士计算一下她适合穿多高的高跟鞋合穿多高的高跟鞋. .选做动手制作一个金字塔动手制作一个金字塔. .应用美应用美应用美帮老师计算高跟鞋的高度帮老师计算高跟鞋的高度 人体下半身（即脚底到肚人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比越接近脐的长度）与身高的比越接近0.6180.618越给人以美感。越给人以美感。 老师身高老师身高1.61.6米，下半身长米，下半身长0.940.94米，应该穿多高的高跟鞋米，应该穿多高的高跟鞋看起来身材更美丽？（黄金比看起来身材更美丽？（黄金比取取0.60.6）谢谢大家Thanks For Coming【教学目标教学目标】一、知识与技能一、知识与技能(1)掌握黄金分割的定义及黄金分割点的作法(2)会进行黄金分割的有关计算(3)了解黄金分割的作法二、过程与方法二、过程与方法(1)经历黄金分割的引入及寻找黄金分割点的探究过程(2)体会数形结合思想在解决数学问题中的使用三、情感态度和价值观三、情感态度和价值观在现实情境中体会黄金分割的文化价值，感受数学之美【教学重点教学重点】黄金分割的意义及其简单应用【教学难点教学难点】 作一条线段的黄金分割点【核心素养核心素养】 增强学生“科学精神、学会学习、人文底蕴、实践创新”的核心素养.【教学过程教学过程】【感受美感受美】课前课前 2 2 分铃，播放分铃，播放 PPTPPT意犹未尽的黄金分割意犹未尽的黄金分割 （展示黄金分割的图片）（展示黄金分割的图片）伴随着一段优美的莫扎特钢琴协奏曲，我们欣赏了很多图片，这些图片给大家什么感受？（学生齐答：美）这些图片为什么会这么美呢？学完今天的内容，大家就会揭示中其中部分奥秘。其实在这些图片中都蕴含着一个共同的数学原理，那就是（学生齐答：黄金分割）黄金分割的内容，我们在小学已经有所接触，下面请两位同学为我们分享一下他所了解的黄金分割。任务一：学生展示自己了解到的黄金分割任务一：学生展示自己了解到的黄金分割高子航展示。高子航同学为我们展示了黄金分割的来源，生活中、建筑中、艺术中的黄金分割。常旭展示。常旭同学也为我们展示了生活中的黄金分割，重点为我们展示了建筑中的黄金分割。教师分享一些黄金分割的实例教师分享一些黄金分割的实例通过分享让同学们继续感受美，为引出黄金分割的定义做铺垫。这个雕像是？（断臂维纳斯）维纳斯女神中有黄金分割吗？她的上半身与下半身的比符合黄金分割。这是大家熟悉的金字塔，金字塔的高与底边长的比符合黄金分割。军事中也有黄金分割，步枪的枪把与枪身长的比符合黄金分割，同样大炮射击的最佳射击位是最大射程的黄金分割点。最为常见的还是我们人体，人体中具有大量的黄金分割，有 14个“黄金点” ，12 个“黄金矩形”和 2 个“黄金指数” ，我们最为常见的有前臂与上臂的比，小腿与大腿的比。黄金分割有如此多的应用，那么究竟什么是黄金分割呢？【发现美发现美】任务二：黄金分割的定义：任务二：黄金分割的定义：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为 0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。 那么把这个定义数学化，建立数学模型，一条线段 AB 被点 C 分成两条线段 AC 和 BC，如果满足什么条件就能说 C 是 AB 的黄金分割点呢？这个问题我们已经请同学提前预习过，哪位同学来说一下？（生回答，师板书）在线段在线段 ABAB 上，点上，点 C C 把线段把线段 ABAB 分成两条线段分成两条线段 ACAC 和和 BCBC，如果，如果 , ,那么称线段那么称线段 ABAB 被点被点 C C 黄金分割黄金分割, ,点点 C C 叫做线段叫做线段 ABAB 的黄金分割点，的黄金分割点， 与与 的比叫做黄金比的比叫做黄金比. .提炼黄金分割的要点提炼黄金分割的要点通过提炼黄金分割的要点，进一步理解清楚定义说了哪些内容，为后面的黄金分割计算做铺垫。首先，C 是线段 AB 上的一个特殊点。我们之前还学过 AB 上的什么特殊点？(中点)其次，满足怎样的比例关系就能说 C 是 AB 的黄金分割点？（生答）我们能不能用自己的话来理解一下？如果 AC 是长那么 BC 可以叫短，AB可以叫全。就有长：全=短：长.根据定义，我们可以知道一条线段有几个黄金分割点？（生答：2 个）另一个位于？（靠近 A 的位置）它到 A 的距离和这里 C 到 B 的距离相等。什么是黄金比？（AC:AB）也是？(BC:AC)【研究美研究美】 任务一：根据黄金分割的定义，计算黄金比任务一：根据黄金分割的定义，计算黄金比. . 那么这个黄金比是多少呢？你能用所学知识求出来嘛？（有生举手）请同学们小组讨论一下。（讨论后）请同学来说一下思路。 （设 AC=x，AB=1,根据定义 x：1=（1-x）：x）具体的计算由学生在导学案上完成。注意最后求出 x 还要比一下才是黄金比。讨论为什么是讨论为什么是 0.6180.618当时，.那么什么时候我们用 0.618？什么时候用52.2365 10.6182-？一个是近似值，一个是精确值。在比例关系式中，5 12-5 1=2-长短全长已知长可不可以求出全？可不可以求出短？已知短，可以求出其他两个量吗？长呢？在这里，已知一个边，就可以把其他两边求出来。讨论黄金比还能对应哪些相关数值讨论黄金比还能对应哪些相关数值那么如果现在我们如图知道 AB 是 2，AC 是？（）BC 是？（） ，5 1-35-那么我们还能求出，这个值约为多少如何快速计算？（设35=2-短全AB=1）约为 0.382.此外，我们还能求出哪些比？ 25-1=5-13- 5全长长短设 AC=1,BC=0.618,AB=1.618,比值就约为 0.618.此外，我们还能求出这个比值约为 2.618.感兴趣的同学可以课2=3- 5全短后想一想这个比值如何巧妙计算.这些相关数据，我们不要求大家记忆，但是我们见到这些数 0.382 1.628 2.618 仍然符合黄金分割.我们最常用的还是黄金比.揭示课前揭示课前 2 2 分铃给出的黄金分割图形美的奥秘分铃给出的黄金分割图形美的奥秘（与课前（与课前 2 2 分铃内容进行呼应，也为后面的应用做铺垫）分铃内容进行呼应，也为后面的应用做铺垫）那么知道 0.618 是怎么来的以后，聪明的你能不能揭示我们之前展示的图片中的部分奥秘？这三幅摄影作品，哪副更能体现小松鼠凝视前方？（生解释）这幅作品为什么美？（生解释）这幅图呢？（生解释）那么同学们以后一定会知道怎样把风景拍的美，把人拍的漂亮.任务二：利用黄金比计算任务二：利用黄金比计算. . 同学们有没有现场看演出的经历？主持人报幕的时候是站在舞台的正中央吗？（不是，站在黄金分割位）1. 电视主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台 AB 长为 30m，主持人应走到离 A 点至少 m 处，如果他向 B 点再走 m，也处在比较得体的位置.（结果精确到 0.1m） 注意这里结果精确到 0.1，所以我们黄金比可以用 0.618.花瓣中有没有黄金分割？叶子中有没有黄金分割？根据科学调查发现，相邻两片叶子的夹角与圆周的比符合黄金分割时，叶子生长的更快。单片叶子中也有黄金分割。2. 叶子的叶柄 PN 和主叶脉 MP 的比符合黄金比，已知主叶脉长 MP 为2，则叶柄长 PN= ，叶子长 MN= . 这是我们刚才展现的古琴，音乐中也有黄金分割吗？弦乐器在黄金分割点处产生的泛音最为悦耳动听，大家想不想听一听古琴弹奏出的声音？（播放一段古琴的声音）古琴的声音为什么这么优美动听呢？因为琴弦的固定点 C 在琴弦 AB 的黄金分割点处.3. 中国的古琴上也处处体现了黄金分割的神奇.琴弦的两个端点 A、B固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，如果CB 的长为，你能求出这个古琴琴弦有多长吗？()40 35-这个题，先不要着急做，思考用哪种比例最方便.（生展示，讲解）【创造美创造美】研究巴台农神庙中的黄金分割研究巴台农神庙中的黄金分割在刚才展示的图片中还有巴台农神庙，它也符合黄金分割吗？1.1.黄金矩形黄金矩形古希腊时期的巴台农神庙为图中的矩形 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么，我们可以惊奇的发现想一想：点 E 是 AB 的黄金分割点吗？BEBCBCAB=矩形 ABCD 宽与长的比是黄金比吗？（生回答）我们把宽和长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形。总结：求一个点是否是线段的黄金分割点，即判断是否符合. .5 1=2-长短全长如果在黄金矩形里以宽为边剪下一个正方形，那么留下的还是黄金矩形吗？这个操作我们可以无限进行，这样我们就能得到黄金曲线。就可以揭示我们刚才看到的鹦鹉螺曲线怎么得到，我们的宇宙也符合黄金分割。2.2.作任意线段的黄金分割点作任意线段的黄金分割点黄金分割既然如此神奇，我们能不能作出一条线段的黄金分割点呢？老师现在有个办法，你看看能不能解释。小组讨论。采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设 AB 是已知线段，经过点 B 作 BDAB,使；连接 DA,在 DA 上截取 DE=DB；在 AB 上截12BDAB=取 AC=AE.点 C 就是线段 AB 的黄金分割点.你能说说其中的道理吗？（生上台讲解）进一步检测学生对于黄金分割知识的理解和应用。【总结美总结美】1.1.你有哪些收获？你有哪些收获？2.2.你有哪些困惑？你有哪些困惑？学生来总结，教师做结语。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。在生产、生活实际、经济和科学实验中都有大量应用。我国著名的数学家华罗庚致力于黄金分割优选法，为我们节省了大量的财力、物力。黄金分割在经济领域中也有大量应用，可以用于炒股。生活中还有大量的黄金分割，希望同学们学完今天的课程后能够发现生活中更多的黄金分割，让生活更丰富美丽。作业（在实际生活中运动黄金分割创造美）：作业（在实际生活中运动黄金分割创造美）：必做：新课堂 4.4 第 4 节，帮你最喜欢的一位女士计算一下她适合穿多高的高跟鞋.选做：动手制作金字塔.