1、教 学 设 计本节课设计了四个教学环节：第一环节：问题导学，分享交流；第二环节：问题拓广，证明猜想；第三环节：问题拓广，自主探究；第四环节：总结反思，方法提炼第一环节：问题导学、分享交流问题：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的 2 倍？（教学策略： 课前提出问题后， 学生出现了三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。3、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为2. 因此这样的正
2、方形不存在. 这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。 ）第二环节：问题拓广，证明猜想根据学生提出的“拓广”问题，想办法解决（教学策略：课前，学生仿照老师的问题提出了新的问题，一类是将问题中的“2 倍”替换成“3 倍n 倍” ，另一类是将“正方形”替换成“正三角形正 n 边形、圆形等相似图形”或替换成“矩形、菱形、三角形等非相似图形” ，针对学生提出的问题，引导学生能用相似解决第一类问题和第二类问题中的相似图形问题，方法优化、类比归一。 对于 “不相似图形” 问题该如何解决呢？从而引出第三环节）第三环节：问题拓广，自主探究问题： 任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知
3、矩形周长和面积的 2 倍?（教学策略： 由问题一的研究学生能够顺理成章的从两个角度来进行思考，一个是从特殊到一般的思想，一个是直接对一般情况进行证明的思想，但是较问题（1）直接证明难度较大，所以引导学生先从特殊情况入手，得到一个猜想后，再进行一般情况的证明会更好一些。这样在具体问题的解决过程中，会给学生一些启示，有助于学生一般情况下的证明思路的形成。 ）（1）如果已知矩形的长和宽分别为 2 和 1,结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.总结如下:有三种思路可以选择:先固定所求矩形的周长, 设另一个矩形的长为 x，将问题化为方程 x(6x)=4 是否有解的问题.先固定所求矩形的面积, 设另一个
4、矩形的长为 x，将问题转化为方程 x+4/x=6 是否有解的问题.也可以根据已知矩形的长和宽分别为 2 和 1,那么其周长和面积分别为6 和 2,所求矩形的周长和面积同时扩大 2 倍后应分别为 12 和 4,设其长和宽分别为 x 和 y,则得方程组 x+y=6 ，xy=4 然后讨论它的解是否符合题意.(2)然后引导学生再通过几组特例的研究，结果都发现存在这样的矩形，于是得到一个猜想。从而将探究活动推向一般情况，将学生的思维逐渐引向高潮。(3)当已知矩形的长和宽分别为 n 和 1 时，是否仍然有相同的结论？解:当已知矩形的长和宽分别为n和1时,那么其周长和面积分别为2(1+n),和n,所求的矩形
5、周长和面积为4(1+n)和2n.设所求矩形的长为 x,那么宽为2(1+n)x,根据题意,得 x2(1+n)x=2n.整理得2x2(1+n)x+2n=0，求出=4n2+4,解得经检验 x1x2 符合题意,所以存在这样一个矩形。(教学策略：经历了几个特例的探究，学生能比较轻松的设列方程，困难是字母系数的一元二次方程如何判断根的情况、如何求解。鉴于此，让班里最优秀的学生板书，其他学生可以有所借鉴，从而顺利解决困难)(4)引导学生继续将问题向最一般的情况拓展：当已知矩形的长和宽分别为 n 和 m 时，是否仍然有相同的结论？于是得到结论： 任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍。第四环节：总结反思，方法提炼；（1） 本节课的问题解决综合运用了所学知识,体会知识之间的内在联系.（2） 本节课学习的数学方法:猜想、 证明、 拓广、 感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种1121nnx1122nnx列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的视野.
