1、课题：一元二次方程实数根错例剖析课【教学目的】 精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。【课前练习】1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_时，方程为一元一次方程；当a_时，方程为一元二次方程。2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=_，当_时，方程有两个相等的实数根，当_时，方程有两个不相等的实数根，当_时，方程没有实数根。【典型例题】例 1下列方程中两实数根之和为 2 的方程是（）(A)x2+2x+30(B) x2-2x+30(c) x2-2x-30
2、(D) x2+2x+30错答：B正解：C错因剖析：由根与系数的关系得x1+x22，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由可知，方程B无实数根，方程C合适。例 2若关于x的方程x2+2(k+2)x+k20两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（）(A)k-1(B) k0(c) -1 k0(D) -1k0错解 ：B正解：D错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是0例 3（2000 广西中考题） 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-10有两个不相等的实根，求k的取值范围。错解: 由(-2)2-4(1-2k)(-1)-4k+80 得 k2 又k+10k -1。即k的取值范围是-1k2错因剖析
3、：漏掉了二次项系数1-2k0这个前提。事实上，当1-2k0即k时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。正解：-1k2且k例 4（2002 山东太原中考题） 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+10的两个实数根，当x12+x22=15 时，求m的值。错解：由根与系数的关系得x1+x2-（2m+1）,x1x2m2+1,x12+x22(x1+x2)2-2 x1x2-（2m+1）2-2（m2+1）2 m2+4 m-1又x12+x22=152 m2+4 m-1=15m1-4m22错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式0。因为当m -4时，方程为x2-7x+
4、170，此时（-7）2-4171 -190，方程无实数根，不符合题意。正解：m 2例 5若关于x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+10有实数根，求m的取值范围。错解：-2(m+2)2-4(m2-1)16 m+200 16 m+200， m -5/4又 m2-10， m1 m的取值范围是m1且m -错因剖析：此题只说(m2-1)x2-2 (m+2)x+10是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑 m2-10 和 m2-10 两种情况。当m2-10 时，即m1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。正解：m的取值范围是m-例 6 已知二次方程x2+3 x+a0有整数根
5、，a是非负数，求方程的整数根。错解：方程有整数根，9-4a0，则a2.25又a是非负数，a1或a2令a1，则x -3，舍去；令a2，则x1 -1、 x2 -2方程的整数根是x1 -1， x2 -2错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a0时，还可以求出方程的另两个整数根，x30， x4 -3正解：方程的整数根是x1 -1， x2 -2 ，x30， x4 -3【练习】练习 1、（01 济南中考题）已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值
6、；如果不存在，请说明理由。解：（1）根据题意，得(2k-1)2-4 k20解得k当k时，方程有两个不相等的实数根。（2）存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1+ x2= -=0，解得k。经检验k是方程-的解。当k时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。解：上面解法错在如下两个方面：（1）漏掉k0，正确答案为：当k时且k0时，方程有两个不相等的实数根。（2）k。不满足0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数练习 2（02 广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax2+4x-10 只
7、有正实数根 ?解：（1）当a0 时，方程为 4x-10，x（2）当a0时，16+4a0a -4当a -4且a0时，方程有实数根。又因为方程只有正实数根，设为x1，x2，则：x1+x2-0；x1. x2-0解得 ：a0综上所述，当a0、a -4、a0时，即当-4a0时，原方程只有正实数根。【小结】 以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“”之间的关系。1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。2、运用根与系数关系时，0是前提条件。3、条件多面时（如例 5、例 6）考虑要周全。【布置作业】1、当 m 为何值时，关于x的方程x2+
8、2（m-1）x+ m2-90 有两个正根？2、已知，关于x的方程mx2-2（m+2）x+ m+50（m0）没有实数根。求证：关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x + m0 一定有一个或两个实数根。考题汇编1、（2000 年广东省中考题）设x1、 x2是方程x2-5x+30 的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x1-x2）2的值。2、（2001 年广东省中考题）已知关于x的方程x2-2x+m-10（1）若方程的一个根为 1，求m的值。（2）m5 时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。3、（2002 年广东省中考题）已知关于x的方程x2+2（m-2）x+ m20 有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大 33，求m的值。4、（2003 年广东省中考题）已知x1、x2为方程x2+px+q0 的两个根，且x1+x26，x12+x2220，求p和q的值。
