1、2019-20202019-2020 学年第二学期福州市八县（市、区）适应性考试学年第二学期福州市八县（市、区）适应性考试高中高中 一一 年年数学数学 科科完卷时间：完卷时间：120120 分钟分钟满分：满分：150150 分分第第卷卷一一、选择题选择题（本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分其中其中，1-101-10 为单选题为单选题，1111、1212 为多为多选题，全部选对的得选题，全部选对的得 5 5 分，选对但不全的得分，选对但不全的得 3 3 分，有错选的得分，有错选的得 0 0 分）分）1.在ABC中，已知coscosaCcA，则A
2、BC为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】先根据正弦定理进行边换角，然后结合二倍角公式求解即可.【详解】由coscosaCcA，有coscosaAcC,由正弦定理有sincossincosAACC，即sin2sin2AC所以有22AC或22AC即AC或2AC所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选：D .【点睛】考查三角形形状的判定，正确应用正弦定理进行边化角是解题突破口，属于基础题.2.以下结论，正确的是（）A.44yxxB.12xxeeC.211(1)24xxxx D.2sin(0)sinxxx的最小值是2 2【答案】C【解析
3、】【分析】由均值不等式求最值的步骤“一正，二定，三相等”，对各个选项进行逐一判断，得出正确的选项.【详解】A.4yxx不满足条件“一正”，即当0 x 时，4yxx的值为负，所以 A 不正确.B.12xxee,当0 x 时，12xxee，所以 B 不正确.C.22abab对abR，时都成立， 则211(1)24xxxx 成立(当且仅当12x 时等式成立),所以 C 正确.D在2sin(0)sinxxx中，令sin0,1tx，则化为2ytt ，由2222210tytt 在0,1恒成立，所以2ytt 在0,1单调递减.所以23ytt ，所以 D 不正确.故选：C【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，
4、注意利用均值不等式求最值的步骤“一正，二定，三相等”，属于中档题.3.已知10ab， 且11,1111baMNabab， 则M，N的大小关系是 （）A.MNB.MNC.MN=D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由10ab，所以10,101，abab，然后用作差法22011abMNab，得出答案.【详解】由10ab，所以10,101，abab.所以111122011111111baababMNabababab所以MN故选：A【点睛】本题考查作差法比较大小，属于基础题.4.已知等比数列 na的前n项和为nS， 若24132aaaa， 且1 3 5512a a a ， 则10S（）A.1022B
5、.2046C.2048D.4094【答案】B【解析】【分析】由等比数列的定义可得24132aaqaa,再利用等比数列的性质可得1 3 533512a a aa,进而根据等比数列的前n项和公式求解即可.【详解】由题,因为数列 na是等比数列,24132aaaa,所以24132aaqaa,因为1 3 5512a a a ,所以33512a,即38a ,所以3122aaq,即2nna ,所以12 2122nnnS,则当10n 时,1110222046S,故选:B【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查等比数列定义的应用,考查等比数列的前n项和.5.不等式252(1)xx的解集是（ )A.132，B
6、.132，C.11132，D.11132，【答案】D【解析】试题分析：2252521(1)xxxx且1x 22530 xx且1x ，化简得解集为11132，考点：分式不等式解法6.在等差数列 na中， 若5601aa ， 且它的前n项和nS有最大值， 那么满足0nS 的n的最大值是（）A. 1B. 5C. 9D. 10【答案】C【解析】【分析】根据题设条件，利用等差数列的性质推导出15920aaa，151060aaaa，由此能求出0nS 时，n的最大值【详解】数列 na是等差数列，它的前n项和nS有最大值公差0d ，首项10a ， na为递减数列由560aa，560aa，所以560,0aa由5
7、61aa ，有6560aaa，则560aa由等差数列的性质知：116120aaa，151060aaaa.15920aaa1()2nnaa nS,所以100S，90S 当0nS 时，n的最大值为 9故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前n项和的应用，考查数列的函数特性，解答本题的关键是根据560,0aa，是中档题7.正数, a b满足191ab，若不等式2418abxxm 对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3,)B.(,3C.(,6D.6,)【答案】D【解析】【分析】先用基本不等式求a b的最小值，再根据配方法求二次函数的最大值.【详解】190,0,1abab，1999()1010
8、216babaababababab 当且仅当3ab，即4, 12ab时，“=”成立，若不等式2418abxxm 对任意实数x恒成立，则241816xxm，即242xxm对任意实数x恒成立，2242(2)66xxx 6m实数m的取值范围是6,).故选 D.【点睛】本题考查基本不等式与二次不等式恒成立.8.瑞云塔是福清著名的历史文化古迹 如图， 一研究性小组同学为了估测塔的高度， 在塔底D和,A B（与塔底D同一水平面）处进行测量，在点,A B处测得塔顶C的仰角分别为 45，30，且,A B两点相距91m，由点D看,A B的张角为 150，则瑞云塔的高度CD （）A.91mB.13 21mC.13
9、 7mD.91 3m【答案】C【解析】【分析】设CDh，根据已知将,BD AD用h表示，再利用余弦定理建立h方程，即可得到答案；【详解】设CDh，在点,A B处测得塔顶C的仰角分别为 45，30，3 ,BDh ADh，222222co7s15091713ABBDADBD ADhh，故选：C.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力运算求解能力.9.已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2 coscosbCcB，则111tantantanABC的最小值为（）A.2 73B.5C.73D.2 5【答案】A【解析】【分析】先根据已知条件，把边
10、化成角得到 B,C 关系式，结合均值定理可求.【详解】2 coscosbCcB，2sincossinCcosBCB，tan2tanCB.又ABC，tantantanABCBC 22tantan3tan3tan1tantan12tan2tan1BCBBBCBB ，21112tan111tantantan3tantan2tanBABCBBB27tan36tanBB.又在锐角ABC中,tan0B ,27272 7tan2tan36tan36tan3BBBB，当且仅当7tan2B 时取等号，min1112 7tantantan3ABC，故选 A.【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互
11、化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.10.若首项为23的数列 na满足112(21)nnnnna aaa， 则1232020aaaa（）A.80804041B.40784040C.40404041D.40394040【答案】C【解析】【分析】依题意得0na ,由112(21)nnnnna aaa两边同时除以1nna a，利用累加法求出1na的表达式，再利用裂项相消法对数列 na进行求和即可.【详解】依题意得0na ，由112(21)nnnnna aaa，等式两边同时除以1nna a可得11142nnnaa，则11142nnnaa，121146nnnaa，21116aa，以上式子左右
12、两边分别相加可得111(642)(1)2nnnaa，即211(21)(21)222nnnna，所以2(21)(21)nann112121nn，故1232020aaaaL1111113354039404114040140414041 .故选:C【点睛】本题考查利用累加法求数列通项公式和裂项相消法对数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；对递推式进行变形，利用累加法求出数列 na的通项公式是求解本题的关键；属于中档题.11.（多选题）如图，设ABC的内角、 、ABC所对的边分别为abc、 、，若abc、 、成等比数列，、 、ABC成等差数列，D是ABC外一点，1,3DCDA，下列说法中，正确的是
13、（）A.3BB.ABC是等边三角形C. 若ABCD、 、 、四点共圆，则13AC D. 四边形ABCD面积无最大值【答案】ABC【解析】【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B，根据等比中项和余弦定理可得ac，即ABC是等边三角形，若ABCD、 、 、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D，再利用余弦定理可求13AC ，最后，根据211sinsin223ACDABCSSSAD CDDAC和2222cosACADCDAD CDD=+-可得33 35 35 3sincos3sin()22232SDDD，从而求出最大面积.【详解】由、 、ABC成等差数列可得，2A+C= B，又ABC，则
14、3B，故 A 正确；由abc、 、成等比数列可得，2bac，根据余弦定理，2222cosbacacB，两式相减整理得，2()0ac，即ac，又3B，所以，ABC是等边三角形，故 B 正确；若ABCD、 、 、四点共圆，则BD，所以，23D，ADC中，根据余弦定理，2222cosACADCDAD CDD=+-，解得13AC ，故 C 正确；四边形ABCD面积为：211sinsin223ACDABCSSSAD CDDAC233sin24DAC又2222cos106cosACADCDAD CDDD，所以，33 35 35 3sincos3sin()22232SDDD，因为(0, )D，当四边形面积最
15、大时，sin()13D，此时max5 332S，故 D 错误.故选：ABC【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.12.意大利数学家列昂纳多斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 na满足：11a ，21a ，*123,nnnaaannN.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为 1，记前n项所占的格子的面积之和为nS，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为nc，则下列结论正确的是（）A.2111nnnnSaaaB.12
16、321nnaaaaaC.1352121nnaaaaaD.1214nnnnccaa【答案】ABD【解析】【分析】根据题中递推公式，求出nS，nc，数列的前n项和，数列的奇数项和，与选项对比即可.【详解】对于 A 选项，因为斐波那契数列总满足*123,nnnaaannN，所以2121aa a，22222312321aa aaaaa aa a，23333423432aa aaaaa aa a，类似的有，21111nnnnnnnnnnaa aaaaa aa a，累加得22221231nnnaaaaaa，由题知222222112311211nnnnnnnnSaaaaaaaaaa，故选项 A 正确，对于
17、B 选项，因为11aa，231aaa，342aaa，类似的有11nnnaaa，累加得123122+1nnnnaaaaaaaa，故选项 B 正确，对于 C 选项，因为11aa，342aaa，564aaa，类似的有21222nnnaaa，累加得13211222+nnnaaaaaaa，故选项 C 错误，对于 D 选项，可知扇形面积24nnac，故2222111124444nnnnnnnnccaaaaaa，故选项 D 正确，故选：ABD.【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的性质，属于一般题.第第卷卷二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共
18、 2020 分请把答案填在答题卡相应位置分请把答案填在答题卡相应位置 ）13.在ABC中，边7,3bc，角6B，则边a _【答案】4【解析】【分析】利用余弦定理可得出关于a的方程，即可解出边a的长.【详解】由余弦定理得2222cosbacacB，整理得2340aa，0a ，解得4a .故答案为：4.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，要结合已知角列余弦定理求解，考查计算能力，属于基础题.14.已知数列 na满足121nnaa，且12a ，则7a的值是_【答案】6564【解析】【分析】构造等比数列1na ,进而求得数列 na的通项公式得出7a的值即可.【详解】 因为121nnaa,故11122
19、nnaa,所以11112nnaa ,故数列1na 是以111a 为首项,12为公比的等比数列.故11112nna ,故1112nna.故7 171651264a .故答案为：6564【点睛】本题主要考查了构造等比数列求通项公式的方法,属于基础题.15.在ABC中，2AC ，1AB ，点D为BC边上的点，AD是BAC的角平分线，则:BD DC _，AD的取值范围是_【答案】(1). 1：2(2).40,3【解析】【分析】设0,2，BADCAD ，由正弦定理得：sinsinsinsin，ABBDACCDADBADC，则可得:BD DC；又ABCADBADCSSS得，2sin23sinAD，化简即可
20、得AD的取值范围.【详解】设0,2，BADCAD ，由正弦定理得：sinsinsinsin，ABBDACCDADBADC，又sinsinADBADC，所以:1:2BD DCAB AC；又ABCADBADCSSS得，111sinsinsin2222AB ADAC ADAB AC，所以2sin24cos3sin3AD，又0,2，故403AD.故答案为： （1）1:2； （2）40,3【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，三角形面积公式，二倍角公式，考查了学生的运算求解能力.16.若正整数a、b是函数 2fxxpxq的两个不同的零点，且a、b、r这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数
21、列，若26pq，则r的值等于_【答案】4【解析】【分析】利用韦达定理得出abp，abq，可得出26pqabab ，再由a、b为正整数求得a、b的值，再由题意可求得r的值.【详解】由于正整数a、b是函数 2fxxpxq的两个不同的零点，由韦达定理得abpabq，26pq，则26abab，则27111ababab ，a、b均为正整数，则1a、1b均为不小于2的正整数，1319ab 或1913ab ，解得28ab或82ab，当2a ，8b 时，若r为, a b的等差中项，则=5r，则2、5、8无论怎么排序都不可能组成等比数列；若a为, b r的等差中项，则4r ，则2, 4,8成等比数列；若b为,
22、a r的等差中项，则14r ，则2,8,14无论怎么排序都不可能组成等比数列；所以4r 当8a ，2b 时，同理可得4r .综上所述，4r .故答案为：4.【点睛】本题利用等差数列和等比数列的性质求参数的值，考查分类讨论思想与计算能力，属于中等题.三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知关于x的一元二次不等式2(3)30 xmxm（1）若1m 时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集中恰有三个整数，求实数m的取值范围【答案】 （1） | 13xx ； （2） 1,
23、0)(6,7【解析】【分析】（1）1m 可得不等式为2230 xx，直接利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）不等式2(3)30 xmxm即为()(3)0 xmx，分三种情况讨论，利用一元二次不等式的解法求解不等式，分别求得符合题意的范围即可.【详解】 （1）若1m ，不等式为2230 xx，即(1)(3)0 xx得不等式的解集为 | 13xx （2）不等式2(3)30 xmxm即为()(3)0 xmx当3m时，原不等式解集为( ,3)m，则解集中的三个整数分别为 0、1，2，此时10m ；当3m时，原不等式解集为空集，不符合题意舍去；当3m 时，原不等式解集为(3,)m，则解集中的三个整数
24、分别为 4、5，6，此时67m；综上所述，实数m的取值范围是 1,0)(6,7【点睛】本题考查了求一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想的应用，是基础题目若12xx，则120 xxxx的解集是12,x x；120 xxxx的解集是12,xx.18.在等差数列 na中，已知243,S16a （1）求 na的通项公式；（2）令2nannba，求 nb的前n项和nT【答案】 （1）21nan； （2）22 413nn【解析】【分析】（1）设等差数列 na的首项为1a，公差为d，根据243,S16a 解关于1a和d的方程组即可.（2）先求出2nannba，知21(21)2nnbn是由等差数列和等比数
25、列组成的数列，所以用分组求和的方法求 nb的前n项和nT【详解】解： （1）设等差数列 na的首项为1a，公差为d，则2141134 3446162aadSadad，解得112ad，1 (1) 221nann（2）由（I）得21(21)2nnbn,则32112(12)32(21)2nnnTbbbn3211 3(21)222nn 2 1 41 (21)21 4nnn22 413nn.【点睛】本题考查求等差数列通项公式，分组求和的方法求数列前n项和，属于中档题.19.已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，设7coscosaBbAac，且sin2sinAA.（1）求A及a；（
26、2）若2bc，求BC边上的高.【答案】 （1）7.a .3A（2）3 2114【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得7a ,再利用二倍角公式求得角A；（2）先利用余弦定理求得3bc ,再利用等面积法求解即可.【详解】 （1）因为7coscosaBbAac,根据正弦定理得,7sincossincossin,7ABBAaC7sinsin,7CaC又因为sin0,C 7a,sin2sin ,2sincossin ,AAAAA因为sin0,A 所以1cos2A ,(),0,.3AA（2）由（1）知,7,.3aA由余弦定理得2222cos ,abcbcA2227,7(),bcbcbcbc因为2b
27、c,所以74,bc所以3.bc 设BC边上的高为h.1133 3sin3.2224ABCSbcA 12ABCSah,13 3724h,3 21.14h即BC边上的高为3 2114.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查三角形的面积公式的应用,考查余弦定理的应用.20.在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m的矩形区域（如图所示） ，按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为 200 元/2m，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为 100 元/2m.设矩形的长为 x m.（1）设总造价y（元）表示为长度 x m的函数；
28、（2）当 x m取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.【答案】 （1）20018400400yxx，(4,50)x（2）当10 2x 时，总造价最低为184008000 2元【解析】【分析】（1）根据题意得矩形的长为 x m，则矩形的宽为200( )mx，中间区域的长为 4xm，宽为2004( )mx列出函数即可（2）根据（1）的结果利用基本不等式即可【详解】 （1）由矩形的长为 x m，则矩形的宽为200( )mx，则中间区域的长为 4xm，宽为2004( )mx，则定义域为(4,50)x则200200100(4)4200 200(4)4yxxxx整理得20018400400yxx，(4,
29、50)x（2）200200220 2xxxx当且仅当200 xx时取等号，即10 2(4,50)x 所以当10 2x 时，总造价最低为184008000 2元【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用在利用基本不等式时保证一正二定三相等，属于中等题21.在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, , , sincos6a b c bAaB（1）求角B的大小；（2）设点D是AC的中点，若3BD ，求ac的取值范围【答案】 （1）3； （2）(2 3,4【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得sincos6BB，再结合三角恒等变换的公式，求得tan B的值，即可求得B
30、角的大小；（2）延长BD到E，满足DEBD，连接AECE、，在BAE中，由余弦定理化简整理得到2()12acac，结合基本不等式，求得4ac ，再由三角形的性质，即可求得ac的取值范围.【详解】 （1）在ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由sincos6bAaB，可得sincos6aBaB，即sincos6BB，即31sincossin22BBB=+，可得tan3B ，又因为(0, )B，所以3B（2）如图，延长BD到E，满足DEBD，连接AECE、，则ABCE为平行四边形，且22 3,3BEBAEABc AEBCa，在BAE中，由余弦定理得2222(2 3
31、)2cos3acac，即2212acac，可得2()12acac，即2()12acac，由基本不等式得：22()122acacac，即23()124ac，即2()16ac，可得4ac ， （当且仅当= =2a c取等号号）又由AEABBE，即2 3ac，故ac的取值范围是(2 3,4.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，以及基本不等式求最值的综合应用，其中解答中熟练应用正弦定理、余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题22.已知各项是正数的数列 na的前n项和为nS若212(*,2)3nnnaSSnnN，且12a （1）求数列
32、 na的通项公式；（2）若12nnS对任意*nN恒成立，求实数的取值范围【答案】 （1）31nan； （2）15,)16【解析】【分析】（1）利用数列的通项与前n项和的关系，当2n 时，由2123nnnaSS，得到21123nnnaSS，两式相减化简得到13nnaa，再利用等差数列的定义求解.（2）由（1）知，31nan，232nnnS，将12nnS对任意*nN恒成立，转化为2232nnn对一切*nN恒成立， 记2232nnnnc，利用作差法研究其单调性，求其最大值即可.【详解】 （1）当2n 时，由2123nnnaSS，则21123nnnaSS-得 22111111+()=+33nnnnnn
33、nnaaaaaaaa，又 na各项是正数，得13nnaa，2n 当2n 时，由知2212123aaaa，即2223100aa，解得25a 或22a （舍） ，所以213aa，即数列na为等差数列，且首项13a ，所以数列na的通项公式为31nan（2）由（1）知，31nan，所以2(312)322nnnnnS ，由题意可得212322nnnSnn对一切*nN恒成立，记2232nnnnc，则2113(1)(1)2nnnnc，2n ，所以21231142nnnnncc，2n ，当4n 时，1nncc，当4n 时，41316c ，且31516c ，278c ，112c ，所以当3n 时，2232nnnnc取得最大值1516，所以实数的取值范围为15,)16【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和的关系，等差数列的定义以及数列不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
