1、2019201920202020 学年度第一学期期末考试学年度第一学期期末考试高一数学高一数学一一、选择题选择题（本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是正确的是正确的. .）1.下列函数中，周期为的函数是（）A.2sinyxB.cosyxC.1sin23yxD.cos23yx【答案】D【解析】【分析】由函数的最小正周期为2T，逐个选项运算即可得解.【详解】根据公式2|T，对于选项 A,2sinyx的最小正周期为2,对于选项 B,cosyx的最小正周期为2,对于选项 C,1sin
2、23yx的最小正周期为4,对于选项 D,cos23yx的最小正周期为2| 2|T,故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的最小正周期，属基础题.2.已知的终边经过点( 4,3)，则cos （）A.15B.45C.35D.35- -【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的基本定义求解即可.【 详 解 】22( 4)35r ， 由 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 可 得2244cos543xr .故选:B.【点睛】本题考查三角函数的基本定义，属于基础题.3.下列各组中的两个向量，共线的是（）A.1( 2,3),a 1(4,6)b B.2(1, 2),a 2(7,14)b C.3(2,3)
3、,a 3(3,2)b D.4( 3,2),a 4(6, 4)b 【答案】D【解析】【分析】当11,ax y，22,bxy，则1221/ /0abx yx y，根据公式依次判断四个选项.【详解】对于A，26430 ；对于B，1 147 ( 2)0 ；对于C，223 30 ；对于D，3 ( 4)6 20 .所以4a与4b共线，其余三组不共线.故选：D.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于简单题型.4.若1cos3 ，则cos的值为（ ）A.13B.13C.2 23D.2 23【答案】A【解析】试题分析：由coscos ，所以1cos3，故选 A.考点：诱导公式.5.已知是第二象限角，且12co
4、s13 ，则tan的值是（）A.1213B.1213C.512D.512【答案】D【解析】【分析】由条件先计算sin，再根据sintancos求值.【详解】因为是第二象限角，所以2sin1 cos212511313 ，所以5sin513tan12cos1213 .故选：D【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，重点考查基本公式和计算，属于基础题型.6.向量(1, 1),a ( 1,2)b ，则(2)aba（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】首先计算a b和2a的值，再按照向量数量积的运算律展开计算.【详解】由题意可得222112a ， 11123a b ，所以2(2
5、)2431abaaa b .故选：C【点睛】本题考查向量数量积的公式，运算律，属于基础计算题型.7.函数 f（x）=2xex 的零点所在的一个区间是A. （-2,-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】C【解析】试题分析： 2102220,1120,002 0,112 0fefefefe 100ff，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存在性定理8.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB A.3144ABAC B.1344ABAC C.3144ABAC D.1344ABAC 【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得11
6、22BEBABC ，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到BCBAAC ，之后将其合并，得到3144BEBAAC ，下一步应用相反向量，求得3144EBABAC ，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得111111222424BEBABDBABCBABAAC 1113124444BABAACBAAC ，所以3144EBABAC ，故选 A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.9.设非零向量a，b满足abab，则（）A.abB.abC.a/b
7、D.ab【答案】A【解析】【分析】根据ab与ab的几何意义可以判断.【详解】由abab的几何意义知，以向量a，b为邻边的平行四边形为矩形，所以ab.故选：A.【点睛】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.10.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角形中较小的锐角为，则tan等于（）A.34B.38C. 5D.15【答案】A【解析】【分析】先 得到 大 正 方形 的 边 长为 10 ， 小正 方 形 的边 长 为 2 ， 根据 三 角 函
8、数 的 定 义得 到210cos10sin，再利用三角函数基本关系式求解.【详解】由题意得，大正方形的边长为 10，小正方形的边长为 2，210cos10sin，即1cossin5，又22cossin1，且为锐角，解得43cos,sin55，所以3tan4.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.已知函数e0( )ln0 xxf xxx，( )( )g xf xxa若g（x）存在 2 个零点，则a的取值范围是A. 1，0）B. 0，+）C. 1，+）D. 1，+）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在 2 个零点，
9、得到方程( )0f xxa有两个解，将其转化为( )f xxa 有两个解，即直线yxa 与曲线( )yf x有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数( )f x的图像（将(0)xex 去掉） ，再画出直线yx，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a 时， 满足yxa 与曲线( )yf x有两个交点， 从而求得结果.详解：画出函数( )f x的图像，xye在 y 轴右侧的去掉，再画出直线yx，之后上下移动，可以发现当直线过点 A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程( )f xxa 有两个解，也就是函数( )g x有两个零点，此时
10、满足1a ，即1a ，故选 C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.12.设函数 f x的定义域为R，若存在常数m0，使 f xm x对一切实数x均成立，则称 f x为“倍约束函数”.现给出下列函数： f x0； 2f xx； 2xf xxx1； f x是定义在实数集R上的奇函数，且对一切1x，2x均有1212f xf x2 xx .其中是“倍约束函数”的序号是()A.B.
11、C.D.【答案】D【解析】【分析】本题考查阅读题意的能力，根据倍约束函数的定义对各选项进行判定.比较各个选项，发现只有选项，根据单调性可求出存在正常数m满足条件；而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数m使之满足条件，由此即可得到正确答案【详解】对于，m是任意正数时都有0m x， 0f x 是倍约束函数，故正确；对于， 2f xx， 2fxxm x，即xm，不存在这样的m对一切实数x均成立，故错误；对于， 要使 fxm x成立， 即21xm xxx， 当0 x 时，m可取任意正数； 当0 x 时，只须2max11mxx，因为2314xx ，所以43m 故正确对于， f x是定义在实数
12、集R上的奇函数，故 f x是偶函数，因而由12122f xf xxx得到， 2fxx成立，存在20m，使 fxm x对一切实数x均成立，符合题意，故x正确本题正确选项：D【点睛】本题重点考查了函数的最值及其性质，对各项逐个加以分析变形，利用函数、不等式进行检验， 方可得出正确结论.深刻理解题中倍约束函数的定义， 用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在，属于难题二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 4 4 小题，小题，2020 分）分）13.设向量,1ax x，1,2b ，且ab，则x _.【答案】23【解析】【分析】根据向量垂直的充
13、要条件得出0a b，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值【详解】ab；0a b；即x+2（x+1）0；23x 故答案为：23【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题14.已知向量( ,4),(3, 2)amb，且ab，则m_.【答案】6【解析】【分析】由向量平行的坐标表示得出24 30m ，求解即可得出答案.【详解】因为ab，所以24 30m ，解得6m .故答案为：6【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.15.已知R R，函数f(x)=24,43,xxxxx，当=2 时，不等式f(x)0 的解集是_若函数f(x
14、)恰有 2 个零点，则的取值范围是_【答案】(1). (1,4)(2).(1,3(4,)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得240 xx或22430 xxx，所以24x或12x，即14x，不等式f(x)，可令=390，=30，则 sin=sin，所以错误；对于，函数y=sin2x=-cos x，f(- -x)=-cos(- -x)=f(x)，则为偶函数，所以正确；对于，令 2x-3=k，解得x=26k(kZ)，所以函数y=sin2 -3x的对称中心为026k，当k=0 时
15、，可得对称中心为06，所以正确；对于，函数5sin25sin 233yxx ，当5,12 12x 时， 2,32 2x ，所以函数5sin23yx在区间5,12 12上单调递减，所以不正确综上，命题正确【点睛】本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，小题，7070 分）分）17.已知( 2,4), (3, 1), ( 3, 4)ABC 设,ABa BCb CAc .(1)求3ab；(2)求满足ambnc的实数,m n【答案】 （1）(9, 18
16、)； （2）1,1mn .【解析】【详解】 （1）依据题设运用向量的坐标运算求解； （2）借助题设条件运用向量的坐标形式相等建立方程组求解：解：由已知得(5, 5),( 6, 3),(1,8)abc ，(1)33(5, 5)( 6, 3)(9, 18)ab (2)( 6, 38 )mbncmnmn ，65385mnmn 解得11mn ,1,1mn .18.设平面三点()1,0A、0,1B、2,5C.（1）试求向量2ABAC 的模；（2）若向量AB 与AC的夹角为，求cos；（3）求向量AB 在AC上的投影【答案】 （1）5 2； （2）2 1313； （3）2 2613.【解析】【分析】（1）
17、计算出AB 、AC的坐标，可计算出2ABACuuu ruuu r的坐标，再利用平面向量模长的坐标表示可计算出向量2ABACuuu ruuu r的模；（2）由cosAB ACABACuuu r uuu ruuu ruuu r可计算出cos的值；（3）由投影的定义得出向量AB 在AC上的投影为cosABuu u r可计算出结果.【详解】 （1）1,0AQ、0,1B、2,5C， 0,11,01,1AB uuu r， 2,51,01,5ACuuu r，因此，222175 2ABACuuu ruuu r；（2）由（1）知，1,1AB uuu r，1,5AC uuu r，所以 22221,11,542 1
18、3cos=132261115AB ACABACuuu r uuu ruuu ruuu r；（3）由（2）知向量与的夹角的余弦为2 13cos13，且2AB uuu r.所以向量AB 在AC上的投影为2 132 26cos21313ABuuu r.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量夹角的坐标表示、以及向量投影的计算，解题时要熟悉平面向量坐标的运算律以及平面向量数量积、模、夹角的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.19.已知tan2,计算：（1）4sin2cos5cos3sin；（2）sincos；（3）若是第三象限角,求sin、cos.【答案】 （1）611； （2）25； （3）2
19、 55,55【解析】【分析】(1)分子分母同时除以cos再代入tan2计算即可.(2)根据22sincossincossincos,再分子分母同时除以2cos再代入tan2计算即可.(3)根据同角三角函数关系求解即可.【详解】由已知条件可知tan2,（1）sincos424sin2coscoscoscossin5cos3sin53coscos4tan253tan4 22653 211 .（2）sincos222222sincossincoscossincossincoscos22tan22tan1215.（3）tan2,sin2cos,代入22sincos1中可得224coscos1.215c
20、oscos55 .又Q是第三象限角,5cos5 .代入式得52 5sin255 .【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系的运用求解.属于基础题.20.已知函数( )sin 21,6f xxxR.（1）求出( )f x的单调递减区间（2）当0,4x时，求函数( )f x的值域【答案】 （1）2,63kk，kZ； （2）3,22【解析】【分析】（1）根据三角函数图象与性质可求得函数单调增区间（2）由x的范围，得 2x+6的范围，根据正弦函数的性质求得函数的值域即可【详解】 （1）设26Xx，则26Xx在R内是单调递增函数.sinyX的单调递减区间为32k,2k22，由32222kXk，即32222
21、62kxk，得2,63kxkkZ，所以( )sin 21,6f xx的单调递减区间为2,63kk，kZ.（2）当0,4x时，22,663x，所以当262x，即6x时，sin 26x骣琪 +琪桫p取得最大值为 1， 所以，6x时，函数( )sin 216f xx的最大值为 2.当266x，即0 x 时，sin 26x骣琪 +琪桫p取得最小值为12.所以函数( )sin 216f xx的最小值为32.综上可知，函数( )f x的值域为3,22.【点睛】本题主要考查三角函数图象与性质与正弦函数的值域，属于中档题21.如图为函数( )sin()f xAxb（0,A 0,02）图象的一部分.（1）求函数
22、( )f x的解析式，并写出( )f x的振幅、周期、初相.（2）求使得5( )2f x 的x的集合.（3）两数( )f x的图象可由两数sinyx的图象经过怎样的变换而得到？【答案】 （1）33sin1164yx，振幅 3，周期323T ，初相4； （2）4322832,()9393kkkZ； （3）见解析【解析】【分析】（1）由图象可知42AbAb，解得,A b，再根据周期求，最后根据点12,4在图象上，求； （2）由（1）可知353sin11642x ，解不等式； （3）根据函数解析式，按照先平 移 ， 再 伸 缩 ， 得 到 函 数3sin164yx， 再 纵 向 伸 缩 ， 最 后
23、平 移 得 到 函 数33sin1164yx.【详解】 （1）由函数图象可知函数的最大值为4Ab，最小值为2Ab .所以1b ，3A ，因为312484T ，所以函数的周期323T .由2323得，316，所以33sin116yx，因为(12,4)在函数图象上，所以343sin12116，即9sin14，所以9242k，kZ，得724k ，kZ，因为02，所以4，所以函数解析式为33sin1164yx，振幅 3，周期323T ，初相4.（2）因为5( )2f x ，所以353sin11642x .则31sin1642x3522,61646kxkkZ解得：43228329393kkx，kZ所以5
24、( )2f x 的x的集合为4322832,()9393kkkZ.（3）先将函数sinyx的图象向左平移4个单位，然后将所得图象横坐标伸长到原来的163倍，然后，再将所得图象纵坐标伸长到原来的 3 倍，最后，再将所得函数图象上所有各点图象向上平移 1 个单位，即得所求函数的图象.【点睛】本题考查由函数sinyAxb的图象求函数的解析式，解不等式，图象变换，意在考查函数图象的应用，属于基础题型.22.对于函数 fx，若存在0Rx ，使00f xx成立，则称0 x为 fx的不动点.已知函数 211f xaxbxb0a .（1）当1a ，3b 时，求函数 fx的不动点；（2）若对任意实数b，函数 f
25、x恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若 fx的两个不动点为1x，2x，且121af xxa，求实数b的取值范围.【答案】 （1）1、4 为( )f x的不动点； （2）01a； （3）10b2.【解析】【分析】（1）根据不动点定义得到方程，解方程求得结果； （2）将问题转化为210axbxb恒有两个不等实根，利用判别式 得到, a b满足的不等式，将其看做关于b的二次函数，可知当2ba时，函数取最小值，从而得到关于a的不等式，求解得到结果； （3）利用已知得到211211abaaa ，根据对号函数的性质求得最值即可得到所求范围.【详解】 （1）由题意知： 224f
26、xxx设0 x为不动点，因此200024xxx解得：01x 或04x 所以1、4为 fx的不动点.（2）因为 fx恒有两个不动点即 211f xaxbxbx恒有两个不等实根整理为：210axbxb2410ba b 恒成立即对于任意Rb，2440baba恒成立令 244g bbaba，则 min2g bga224240aaaa，解得：01a（3）12121baf xxxxaa 221211112111aaabaaaa 01a112a 1101212aa ，102b 【点睛】本题考查函数问题中新定义问题，关键是能够充分理解不动点的定义，从而构造方程.在求解参数范围过程中，要根据不同的函数模型，利用二次函数、对号函数求解对应模型的最值，对于学生转化与化归的思想要求较高.
