1、黄山市普通高中黄山市普通高中 20222022 届高一八校联考届高一八校联考数学试题数学试题第第卷（选择题）卷（选择题）一、单选题（本大题共一、单选题（本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分 ）1.7sin12（）A.624B.6- 24C.6- 2-4D.62-4【答案】A【解析】【分析】化简7sinsin()1234，再利用和角的正弦公式计算得解.【详解】由题得73212sinsin()sincoscossin123434342222624.故选：A.【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.设,0,
2、a b，Aab，Bab，则AB，的大小关系是（）A.ABB.ABC.ABD.AB【答案】B【解析】【分析】根据题意计算22AB，得到答案.【详解】Aab，则22Aabab；Bab，则2Bab，,0,a b，故22AB，AB.故选：B.【点睛】本题考查了代数式的大小比较，意在考查学生的计算能力和推断能力.3.在ABC中， 内角ABC， ，所对的边分别是abc， ， 已知45 ,2 3,3 2Aab，则B的大小为（）A. 30B. 60C. 30或 150D. 60或120【答案】D【解析】【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：sinsinabAB得到23 232sin22
3、3B，0180B ，故60B或120.故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.设等差数列 na的前n项和为nS，若399,81SS，则6S （）A. 27B. 36C. 45D. 54【答案】B【解析】【分析】根据等差数列和性质知36396,S SS SS成等差数列，计算得到答案.【详解】根据等差数列和性质知：36396,S SS SS成等差数列，故396632SSSSS，解得636S .故选：B.【点睛】 本题考查了求等差数列前n项和， 意在考查学生的计算能力， 利用36396,S SS SS成等差数列是解题的关键.5.已知2 53 10cos,cos()
4、510，且02，求的值（）A.6B.4C.3D.512【答案】B【解析】【分析】根 据 角 度 范 围 得 到510sin,sin()510， 利 用 和 差 公 式 展 开sinsin解得答案.【详解】02，故0,2，2 53 10cos,cos()510，故510sin,sin()510，2sinsinsincoscossin2，故4.故选：B.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力，变换sinsin是解题的关键.6.已知ABC中，2 coscbA，则ABC 一定是A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】试 题 分 析
5、 ： 由2 coscbA和 正 弦 定 理 得sin2sincosCBA， 即sin()2sincos,sincossincosABBAABBA因sin0,sin0AB，故,A B不可能为直角，故tantanAB再由,(0, )A B，故AB选 B考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式三角形中的问题，要特别注意角的范围7.记等比数列 na的前n项积为*nTnN，已知1120mmmaaa，且21512mT，则m（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】设11nnaa q，代入化简得到112ma q，计算211212
6、112mmmmTa q，解得答案.【详解】设11nnaa q，1120mmmaaa，则211112mmma qa qa q，10a ，0q ，故112ma q.212111212121122111.2512mmmmmmmmTa aaaqa q，解得5m .故选：C.【点睛】 本题考查了等比数列的前n项积， 意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.8.关于x的不等式210 xaxa的解集中，恰有 2 个整数，则a的取值范围（）A.3， 4B.-2 -1，C.-2 -13,4，D.-2 -13 4，【答案】D【解析】【分析】变换得到10 xax，讨论1a ，1a ，1a 三种情况，计算
7、得到答案.【详解】2110 xaxaxax，当1a 时，不等式解集为1,a，恰有 2 个整数，故34a；当1a 时，无解；当1a 时，不等式解集为,1a，恰有 2 个整数，故21a ；综上所述：213 4a ，-，.故选：D.【点睛】本题考查了根据解集的整数个数求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.9.线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足2ACBC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，在ABC中，,36ABAC A，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos36 （ ）A.514B.514C.512D.512【答案】B【解析】设
8、2AB ，由黄金分割点的定义可得51AD 在ABD中，由余弦定理得222( 51)2( 51)51cos3642 ( 51)2选 B10.若当x时,函数 3sin4cosf xxx取得最大值,则cos()A.35B.45C.35- -D.45【答案】B【解析】【分析】函数 fx解析式提取 5 变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.【详解】 345sincos555f xxxsin x，其中43,cos55sin,当2,2xkkZ，即22xk时， fx取得最大值 5 ,22k，则4coscos 225ksin，故选 B.【点睛】此题考查了两角和与差
9、的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.11.已知nS是等差数列 na的前n项和，且675SSS，给出下列五个命题：公差0d 110S120S数列nS中的最大项为11S67aa其中正确命题的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S，12S的符号由第六项和第七项的正负判定【详解】等差数列 na中，6S最大，且675SSS，10a ，0d ，正确；675SSS，60a ，70a ，670aa，160ad，150ad，6S最大，不正确；1111115511(5 )0
10、Sadad，12111267126612()12()0Sadaaaa，正确，错误.故选：B【点睛】本题考查等差数列的前n项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.12.已知实数, x y满足约束条件38408400,0 xyxyxy， 若(0,0)zaxby ab的最大值为 12，则41ab的最小值为（）A.2512B.4312C.4912D.8512【答案】A【解析】【分析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到412ab，再利用均值不等式计算得到最值.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，(0,0)zaxby ab，则azyxbb ，zb表示直线在y轴的截距
11、，根据图像知，当直线过3840840 xyxy的交点4,1时，z有最大值为412ab.故444172 161725121212112414baabababab，当125ab时等号成立.故选：A.【点睛】本题考查了线性规划问题，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图像是解题的关键.第第卷（非选择题卷（非选择题) )二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分) )13.已知tan和tan是方程2260 xx的两个根，则tan 2=_【答案】1663【解析】【分析】由题得1tantan,tantan32
12、 .再求出tan()，再求出tan 2得解.【详解】由题得1tantan,tantan32 .所以1tantan12tan()1tantan1 38 .所以212tan()164tan 2=11tan ()63164 .故答案为：1663.【点睛】本题主要考查和角的正切公式的应用，考查二倍角的正切公式的应用，意在考查对这些知识的理解掌握水平和计算能力.14.当2x 时，则42yxx的值域是_【答案】 , 26 ,【解析】【分析】首先将函数转化为4222yxx，再分别讨论2x 和2x 时，利用基本不等式求值域即可.【详解】因为442222yxxxx，且2x ，当2x 时，20 x，402x所以4
13、4222 (2)2622yxxxx ，当且仅当422xx，即4x 时，取“”.当2x 时，20 x，402x，所以4422(2)222yxxxx ，因为44(2)2 (2)422xxxx，所以4(2)42xx ，即4(2)222yxx .当且仅当422xx，即0 x 时，取“”.综上所述值域为： , 26 ,.故答案为： , 26 ,【点睛】本题主要考查基本不等式，同时考查了函数的值域问题，属于中档题.15.已知数列 na满足11a ，111nnnna aaan n，2n ，则该数列的通项公式na _【答案】*N21nnn【解析】【分析】变换得到111111nnaann，构造1nnba，利用累
14、加法计算得到nb的通项公式，进而得到答案.【详解】111nnnna aaan n，故11111111nnaan nnn，2n ，设1nnba，则1111nnbbnn，1111ba， 112211.nnnnnbbbbbbbb11111121.1121212nnnnnnn ，故21nnan，当1n 时验证满足，故21nnan.故答案为：*N21nnn.【点睛】本题考查了求数列的通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用，构造数列1nnba是解题的关键.16.在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且满足232cossin23AA，sin()4cossinBCBC，则bc
15、_【答案】16【解析】试题分析：因为232cossin23AA，所以31cossin3AA，化简得3sin()32A.所以23A又因为sin()4cossinBCBC，所以sincoscossin6cossinBCBCBC，所以sin6cossinABC，即22262cabacca，整理得2222330acb.又2222212()2abcbcbcbc ， 所 以22250bbcc， 两 边 除 以2c得22( )50bbcc，解得16bc .考点：余弦定理.【思路点睛】因为232cossin23AA，化简得3sin()32A.所以23A又因为sin()4cossinBCBC，所以sin6cos
16、sinABC，由正弦定理和余弦定理整理得2222330acb.，化简可的22250bbcc，两边除以2c得22( )50bbcc，即可求得bc.三三、解答题解答题（本大题共本大题共 6 6 个小题个小题，满分满分 7070 分分解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算证明过程或演算步骤步骤 ）17.已知344，04，3cos()45，35sin()413，求cos的值【答案】3365【解析】【分析】先求出4sin()45 ，312cos()413 ，再利用诱导公式和差角的正弦公式求解.【详解】因为344，3cos()45，所以024，4sin()45 .3344，35s
17、in()413312cos()413 .cos33cossin4424433sincoscossin4444531243313513565 .【点睛】本题主要考查同角的三角函数平方关系，考查诱导公式和差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.18.在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，coscos ,sinaCBA，coscos,sinsinbCBCA，且ab（）求角B的值；（）若ABC中，9,21acb，求ABC的面积【答案】 （）3B； （）5 3【解析】【分析】（）根据向量垂直数量积为零，结合正弦定理角化边可得2220bcaac，从而配
18、凑出cosB，求得结果；（）利用余弦定理可构造方程求得ac，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】 （）ab，coscoscoscossinsinsina bCBCBACA 222222coscossinsinsin1 sin1 sinsinsinsinCBACACBACA 222sinsinsinsinsin0BCAAC，由正弦定理可得：2220bcaac，2221cos22acbBac，又0,B，3B.（）由（）知：3B，又21b ，2222222cos321bacacBacacacac，又9ac+=，3812160ac，解得：20ac =，113sin205 3222ABCSacB.【点
19、睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到向量垂直的坐标表示、正弦定理边角互化、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用；解题关键是能够利用正弦定理角化边，从而配凑出符合余弦定理的形式.19.已知数列 na的前n项和为Sn,且满足2nnSna*nN.(1)求证：数列1na 是等比数列;(2)若数列 nb满足298Slog1nnnnbaa*nN,试求数列 nb中最小项.【答案】(1)证明见解析；(2)14.【解析】【分析】(1)根据数列通项与前n项和的关系可得数列 na的递推公式,再构造数列1na 证明即可.(2)由第(1)问可求得21nna ,求得Sn,再代入可得492121nnnb ,再利用基本不
20、等式求最小值,以及取得最小值时n的值即可.【详解】(1)由11S12nnna,S2nnna两式相减得11122nnnaaa ,即121nnaa1121nnaa 即1121nnaa当1n 时,1112Sa ,得11a ,即112a 1na 是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列.(2)由第 1 小题可知12nna 即21nna ,*nN12Slog1222nnnnaann1298984921212 4914Slog12221nnnnnnnnbaa当且仅当492 -12 -1nn时,即3n 所以3min14nbb【点睛】本题主要考查了数列通项与前n项和的关系,也考查了根据递推公式构造等比数列求
21、解通项公式的问题.同时也考查了基本不等式求最值的问题.属于中档题.20.在锐角ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且2coscosbcaCA（）求角A的大小；（）若关于角B方程2sinsin-03BC有解，求的范围【答案】 （）3； （）3, 32【解析】【分析】（）根据正弦定理化简整理得到2sincossin()sinBAACB，计算得到答案.（）根据锐角三角形计算62B，化简得到3sin6B，根据范围得到答案.【详解】 （）由2coscosbcaCA，得：2sinsincossincosBCCAA，整理得2sincossincossincosBACAAC即2sinco
22、ssin()sinBAACBB是锐角三角形的内角，sin0B，1cos2A，0,2A，故3A.（）3A，22,33BCCB，故0202BC，62B.由2sinsin03BC有解，得2sinsin3BC，且23CB，得332sinsinsincos3sin3226BBBBB，,6 2B ，2,633B，故33sin, 362B，3, 32.【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，三角函数值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定B的范围是解题的关键.21.已知函数2( )1()f xaxaxaR.(1)若对任意实数x，( )0f x 恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式( )2
23、3f xx.【答案】(1)40a- ;(2)详见解析.【解析】【详解】试题分析： （1）对a讨论，0a 时不合题意；0,a 合题意；0a ，利用判别式小于0解不等式，求交集即可得到所求范围； （2）先将不等式2220axax化为120 xax，再对参数a的取值范围进行讨论，利用一元二次不等式的解法分别解不等式即可.试题解析： （1）当0a 时， 10fx 恒成立；当0a 时，要使对任意实数x， 0f x 恒成立，需满足20410aaa ，解得40a- ，故实数a的取值范围为40a- .（2）由不等式 23f xx得2220axa x，即210axx.方程210axx的两根是11x ，22(0)
24、xaa.当0a 时，20a，不等式的解为2xa或1x ；当0a 时，不等式的解为1x ；当02a时，21a不等式的解为21xa；当2a 时，21a，不等式无解；当2a 时，21a，不等式的解为21xa综上：当0a 时，不等式的解为x2xa或1x ；当0a 时，不等式的解为x1x ；当02a时，不等式的解为21xxa；当2a 时， ，不等式解集为；当2a 时，不等式的解为21xxa【方法点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运
25、用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.22.设数列 na的通项公式是11212nnan*nN,数列 nb中,1nnnbaa.(1)若数列 nb的前n项和Tn对于*nN恒成立,求的最小值;(2)利用裂项相消法求数列 na的前n项和nS,并写出数列nAnBq（0q 且1q )的前n项和nS.【答案】(1)3；(2)125102nnnS,2222-1-11nnAB qBqAB qBqAqSnqqqq,（0q 且1q ）.【解析】【分析】(1)根据1nnnbaa可求得nT,再分析n
26、T随n增大的变化规律,结合恒成立问题求解的最小值即可.(2)根据nAnBq可设2111122nnnax nyxny,再化简对比各项系数可得25xy,进而裂项相消求nS即可.同理可设1AB1nnnnqx nyqxnyq,化简对比各项系数求解得2211AqxqAB qBqyq,再裂项相消求和即可.【详解】(1)因为1nnnbaa,故 1223111.nnnnTaaaaaaaa132332nn.又111112123210222nnnnnnbaannn,故Tn递增.所以3,的最小值为 3.(2)设121111211222nnnnanx nyxny,得111122122nnxnxyn由221xxy知25xy121111212325222nnnnannn123nnSaaaa1002111111157792325222222nnnn 125102nn1AB1nnnnqx nyqxnyq1nq xyxyqnqqq1q xAqyxyqBq解得2211AqxqAB qBqyq22221-11nnAAB qBqAB qBqSnqqqqq,（0q 且1q ）【点睛】本题主要考查了裂项相消求和的方法,需要根据题意将通项写成两项之差,再合并两项分析各项对应的系数,进而求得参数再求和即可.重点在于理解裂项中的两项间的关系.属于难题.
