1、高三数学试题参考答案 第1页（共7页） 部分学校高三教学质量摸底检测 数学数学参考答案参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1D；2B；3A；4D；5D；6C；7B；8C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9AC；10AB；11BD；12ABD； 三三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1360；142；152 3；
2、1602a 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）解： （1）根据正弦定理，由sinsinaAbC=可得2=4abc= 2 分 因此ABC的面积113=sin=4= 3222SbcA 4 分 （2）法一：因为点D为边BC的中点，所以1BDCD= 根据余弦定理224 15cos2 2 14ccADB+ = ， 5 分 同理224 15cos2 2 14bbADC+ = ， 6 分 因为ADBADC=， 所以225544bc= ，可得2210bc+=， 8 分 由2210
3、=4bcbc+=可得()222218bbccbc+=+= 解得3 2bc+ = 9 分 所以ABC的周长3 22L=+ 10 分 法二：因为点D为边BC的中点，所以1BDCD= 高三数学试题参考答案 第2页（共7页） 在ABC中，222244cos2 24bcbcACBbb+= ， 5 分 在ACD中，221 43cos2 12bbACDbb+ = ， 6 分 因为ACBACD=， 所以2224342bcbbb+=，整理得2210bc+=， 8 分 由2210=4bcbc+=，可得()222218bbccbc+=+= 解得 3 2bc+ = 9 分 所以ABC的周长3 22L=+ 10 分 1
4、8 （12 分）解： （1）根据男生参加足球训练时间的频率分布直方图可得： (0.030 20.015 0.01 0.005) 101a， 所以0.02a， 2 分 设样本数据的80%分位数为x，则由百分位数的概念可知， 0.05 0.15 0.20 0.30 0.02(70)0.8x， 解得：75x. 4 分 （2）由频率分布直方图可知， 样本中爱好足球的男生人数为：(0.3 0.2 0.1) 10060（人） 所以爱好足球的女生人数为：106 6046（人）6 分 可得22列联表如下： 8 分 零假设为0:H爱好足球与性别无关，由公式可得： 爱好足球 非爱好足球 合计 男生 60 40 1
5、00 女生 46 54 100 合计 106 94 200 高三数学试题参考答案 第3页（共7页） 220.05200(60544640)3.9343106940.84100011x= 10 分 根据小概率值0.05的独立性检验， 我们推断0H不成立， 即爱好足球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 12 分 19 （12 分）解： （1）因为211,01( )(1) ,1xf xxxx=， 所以( )f x在(0,1)上为减函数，在(1,)+上为增函数， 由0ab且( )( )f af b=，可得01ab 且211(1)ba =， 2 分 故22211111baaa+=+( )()
6、( ). 3 分 令1ua=，则1u ，函数21yuu=+在(1,)u+上单调递增，所以1y ， 即2211ba+( )()的取值范围是(1,)+. 5 分 （2）存在满足条件的实数, a b，理由如下： 假设存在满足条件的实数, a b，且0ab. 当,(0,1)a b时，1( )1f xx=在(0,1)上单调递减， 则由( )1( )1f abf ba=，即111111baab = =， 6 分 解得1ab =，因为,(0,1)a b，故此时不存在符合条件的实数, a b. 7 分 当,1,)a b+时，2(1)(f xx=在1,)+上单调递增. 高三数学试题参考答案 第4页（共7页） 则
7、由( )1( )1f aaf bb=，即22(1)1(1)1aabb=， 8 分 所以, a b是方程2320 xx+=得1x =或2x =， 所以，此时存在符合条件的实数1,2ab=. 9 分 当(0,1)a，1,)b+时，由于10a ，而( )01f xa，故此时不存在符合条件的实数, a b. 11 分 综上所述，存在符合条件的实数1,2ab= 12 分 20 （12 分）解： （1）由题设知X的可能取值为0,1,2,3 所以()4311011154240P X=；1 分 ()431431431111111115425425425P X =+= 2 分 ()431431431192111
8、54254254240P X=+=， 3 分 ()4313354210P X =， 4 分 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 140 15 1940 310 4 分（只列表，每列数值正确得 1 分） 数学期望111934101232.05405401020EX =+ + + = 5 分 高三数学试题参考答案 第5页（共7页） 而433,YB，所以3932.2544EY = =， 6 分 所以EXEY，小李的得分能力更强一些 7 分 （2）设“4XY+=”为事件A， “XY”为事件B， 因为()213339114464P YC=； 8 分 ()2233327214464P YC
9、=； 9 分 ()30333327314464P YC=， 10 分 ( )()()()()()()132231P AP XP YP XP YP XP Y=+=+= 1271927399938375644064106464402560=+=， ()()()3927311064640P ABP XP Y=，11 分 所以()()( )4|31P ABP B AP A=， 所以在4XY+=的条件下，XY的概率是43112 分 21 （12 分）解证： （1）由+1132(2,)nnnaaann=+N 可得+1133(2,)nnnnaaaa nn=N 即()111(2,)3nnnnaaaann+=
10、N， 2 分 因此1nnaa+是以213aa= 为首项，13为公比的等比数列4 分 （2） （i）因为1111333nnnnaa+= = 5 分 高三数学试题参考答案 第6页（共7页） 所以由()11nnnnbbaa+=可得2113nnnbb+= 6 分 因此111221()()+nnnnnbbbbbbbb=+ （） 12222111333nn= + + 222211 1331143413nn = 即2231434nnb= + 8 分 （ii）当n为奇数时，2231434nnb=+单调递减，得24nb； 9 分 当n为偶数时，2231434nnb= +单调递增，得2234nb； 10 分 因为
11、0，所以2234， 因此 nb的最大值为1b=，最小值为223b=， 11 分 因为对任意正整数(), i j ij，1ijbb都成立，所以121bb，即213 解得() ()3,00, 3 12 分 22 （12 分）解： （1）( )2(1 ln )afxxx= 2 分 若0a 当(0, )xe时，有( )0fx，( )f x在(0, ) e单调递增；当( ,)xe+高三数学试题参考答案 第7页（共7页） 时，有( )0fx，( )f x在( ,)e +单调递减 3 分 若0a 当(0, )xe时，有( )0fx，( )f x在(0, ) e单调递减；当( ,)xe+时，有( )0fx，(
12、 )f x在( ,)e +单调递增 4 分 （2）( )221212112( )ln1( ln)ag xf xxaxxxexxxexxxe=+= += + 令( )12lnh xaxxxe=+，于是( )0g x 在(0,)+上恒成立等价于( )0h x 在(0,)+上恒成立 5 分 ( )221xaxh xx= ，记2( )1q xxax=，由240a =+，知( )q x必有两个零点，且两个零点之积是1，则两个零点一正一负，设其正零点为0(0,)x +， 则20010 xax =，即001axx= 6 分 由(0)1q= ， 知0(0,)xx时，( )0q x 即( )0h x， ( )h
13、 x在0(0,)x上单调递增；0(,)xx+时，( )0q x 即( )0h x，( )h x在0(,)x +上单调递减， 故原问题等价于()max0( )0hxh x=， 即00000112()ln0 xxxxxe+ 8 分 记000000112()()lnp xxxxxxe=+，则00201()(1)lnp xxx=+当0(0,1)x 时0()0p x，0()p x单调递减；当0(1,)x +时0()0p x，0()p x单调递增，且1()( )0p ep e=，故当10, xee时0()0p x 10 分 又001axx=是 关 于0 x递 增 的 函 数 ， 所 以 亦 即 当11,aee ee时 ，00()()0h xp x= 11 分 结合已知0a ，可得实数a的取值范围为11,0)(0,eeee 12 分
