1、高考数学中值域分析高考数学中值域分析. . 1 1 基本原理基本原理. . （1） “存在存在= =存在存在”型型 2211 ,DxDx，使得使得)()( 21 xgxf，等价于函数等价于函数)(xf在在 1 D上的值域上的值域A与函数与函数 )(xg在在 2 D上的值域上的值域B的交集不为空集的交集不为空集, ,即即BA. . 其等价转化的基本思想其等价转化的基本思想: :两个函数有相等的函数值两个函数有相等的函数值, ,即它们的值域有公共部分即它们的值域有公共部分. . （2 2） “任意任意= =存在存在”型型 2211 ,DxDx，使得使得)()( 21 xgxf, ,等价于函数等价于
2、函数)(xf在在 1 D上上的值域上上的值域A是函是函 数数)(xg在在 2 D上的值域上的值域B的子集的子集, ,即即BA. . 其等价转化的基本思想其等价转化的基本思想: :函数函数)(xf的任意一个函数值都与函数的任意一个函数值都与函数)(xg的某一个函的某一个函 数值相等数值相等, ,即即)(xf的函数值都在的函数值都在)(xg的值域之中的值域之中. . （3 3）. .“任意任意( (、 、)任意任意”型型 2211 ,DxDx，使得使得)()( 21 xgxf恒成立等价于恒成立等价于 maxmin )()(xgxf. .其等价转其等价转 化的基本思想是函数化的基本思想是函数)(xf
3、的任何一个函数值均大于函数的任何一个函数值均大于函数)(xg的任何一个函数的任何一个函数 值值. . 同理，可得其他类型同理，可得其他类型. . 2.2.应用应用 例例 1 1 已知曲线已知曲线()yln xm与与x轴交于点轴交于点P， 曲线在点曲线在点P处的切线方程为处的切线方程为( )yf x， 且且f（1 1）2 （1 1）求）求( )yf x的解析式；的解析式； （2 2）求函数）求函数 ( ) ( ) x f x g x e 的极值；的极值； （3 3）设）设 2 (1)1 ( ) ln xa lnx h x x ，若存在实数，若存在实数 1 1x ， e， 1 2 xe，1，使，使
4、 2 122222 2 ( )(1)h xx ln xax lnxx成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围 解解： （1 1）曲线）曲线()yln xm与与x轴交于点轴交于点(1,0)Pm， 1 y xm ， 曲线在点曲线在点P处的切线斜率处的切线斜率 1 1 1 k mm ，可得切线方程为，可得切线方程为0(1)yxm， f（1 1）2，21(1)m ，解得，解得2m ( )(12)yf xx，即，即( )1f xx （2 2）函数）函数 ( )1 ( ) xx f xx g x ee ，( ) x x g x e ， 0 x时时，( )0g x，此时函数此时函数( )g x单调递减
5、单调递减；0 x 时时，( )0g x，此时函数此时函数( )g x 单调递增单调递增0 x是函数是函数( )g x的极大值点，的极大值点，(0)1g （3 3）设）设 2 1 x m ， 1 2 xe，1， 则则1m， e， 2 2 22222 (1)1 (1) ln ma lnm x ln xax lnxx m 2 (1)1 ( ) ln xa lnx h x x ， 2 (1)1 ( ) ln ma lnm h m m 若存在实数若存在实数 1 1x ， e， 1 2 xe，1，使，使 2 122222 2 ( )(1)h xx ln xax lnxx成立，成立， 等价于：等价于： 1
6、2 ()( )h xh m成立，成立，1m， e 即即2 ( )( ) minmax h xh x，1x， e 令令lnxt，1x， e，则，则0t，1 22 (1)1(1)1 ( ) t ln xa lnxta t h x xe ，0t，1，(0)1h，h（1 1） 3a e 2 21(1)1(1)() ( ) tt tata tt ta h t ee ， a的取值范围是的取值范围是(，32 )(3 2 e e，) 例例 2.2.已知函数已知函数 lnf xaxx aR . . （1 1）若）若 1a ，求曲线 ，求曲线 yf x 在在1x 处切线方程；处切线方程； （2 2）讨论）讨论 y
7、f x 的单调性；的单调性； （3 3） 1 2 a 时，设时，设 2 22g xxx ，若对任意，若对任意 1 1,2x ，均存在，均存在 2 0,3x ，使得，使得 12 f xg x ，求实数，求实数a的取值范围的取值范围. . 解析解析： （2 2） fx定义域为 定义域为 0, ， 1 1ax a x f x x ， 当当0a 时，时， 0fx 恒成立，所以恒成立，所以 fx在 在 0, 上单调递增；上单调递增； 当当 0a 时，时， 1 0,x a 时时 0fx 恒成立，恒成立， 1 ,x a 时时 0fx 恒成立，恒成立， 所以所以 fx在 在 1 0, a 上单调递增，在上单调
8、递增，在 1 , a 上单调递减；上单调递减； 综上述，当综上述，当0a 时，时， fx在 在 0, 上单调递增；上单调递增； 当当 0a 时，时， fx在 在 1 0, a 上单调递增，在上单调递增，在 1 , a 上单调递减上单调递减. . （3 3）由已知，转化为）由已知，转化为 fx在 在 1,2x 的值域的值域M和和 g x在 在 0,3x 的值域的值域N满足：满足： MN ，易求，易求 1,5N . . 又又 1 1ax a x f x x 且且 1 2 a ， fx在 在 1,2x 上单调递增，故值域上单调递增，故值域 ,2ln2Maa. . 所以所以 1 52ln2 a a ，解得，解得 5ln2 1 2 a ，即，即 5ln2 1, 2 a . .
