1、高考数学中同构型双变量问题高考数学中同构型双变量问题. . 这一部分主要分为两个方面这一部分主要分为两个方面，一是利用单调性同构一是利用单调性同构，另一个是函数结构同构另一个是函数结构同构. .下下 面分别举例说明面分别举例说明. . （1 1）单调性同构单调性同构. . 例例 1.1.若对任意的若对任意的 1 x， ， 2 2,0 x ，1 2 xx ， 12 21 12 xx x ex e a xx 恒成立，则恒成立，则a的最小值为的最小值为 （） A A 2 3 e B B 2 2 e C C 2 1 e D D 1 e 【分析】【分析】将不等式将不等式 12 21 12 xx x ex
2、 e a xx 转化为转化为 12 1122 xx eaea xxxx ，构造函数，构造函数 x ea f x xx ， 只需使只需使 fx在 在 2,0 上递减，则上递减，则 2 1 0 x exa fx x 在在 2,0 恒成立，只需恒成立，只需 1 x exa 恒成立，然后求解恒成立，然后求解a的取值范围的取值范围. . 【详解【详解】因为因为1 2 xx ，所以所以 12 0 xx ，则则 12 21 12 xx x ex e a xx 可化为可化为 12 2112 xx x exea xx ， 整理得整理得 12 2211 xx x eaxxeax ，因为，因为 12 0 x x ，
3、所以，所以 12 1122 xx eaea xxxx ， 令令 x ea f x xx ，则函数，则函数 fx在 在 2,0 上递减，上递减， 则则 2 1 0 x exa fx x 在在 2,0 上恒成立，上恒成立， 所以所以 1 x exa 在在 2,0 上恒成立，上恒成立， 令令 1 x g xex ，则，则 10 xxx gxexexe 在在 2,0 上恒成立，上恒成立， 则则 1 x g xex 在在 2,0 上递减，所以上递减，所以 2 3 2g xg e ， 故只需满足：故只需满足： 2 3 a e . . 故选：故选：A.A. （2 2）结构同构结构同构 主要原理：若主要原理：
4、若0)(xF能够变形成能够变形成)()(xhfxgf，然后利用，然后利用)(xf的单调性，的单调性， 如递增，转化为如递增，转化为)()(xhxg，即为同构变换，即为同构变换. . 例如：例如： x e xxxexxe e x e x e exe x xxx x xx x xxx lnln,lnln, lnlnln . 例例 2.2.已知函数已知函数 ln x fx x ， x g xxe . .若存在若存在 1 0,x ， ， 2 xR 使得使得 12 0f xg xk k 成立，则成立，则 2 2 1 k x e x 的最大值为（的最大值为（） A A 2 eB Be C C 2 4 e
5、D D 2 1 e 【详解】【详解】 ln x fx x ， ln x x xx xe g xf e ee ， 由于由于 1 1 1 ln 0 x fxk x ，则，则 11 ln001xx ，同理可知，同理可知， 2 0 x ， 函数函数 yf x 的定义域为的定义域为 0, ， 2 1 ln 0 x fx x 对对 0,1x 恒成立，所以，函恒成立，所以，函 数数 yf x 在区间在区间 0,1上单调递增 上单调递增，同理可知同理可知，函数函数 yg x 在区间在区间 ,0 上单调上单调 递增，递增， 2 12 x fxg xf e ，则，则 2 1 x xe ， 2 22 2 1 x x
6、x g xk xe ，则，则 2 2 2 1 kk x ek e x ， 构造函数构造函数 2k h kk e ，其中，其中0k ，则，则 2 22 kk h kkk ek ke . . 当当2k 时时， 0h k ，此时函数此时函数 yh k 单调递增单调递增；当当20k 时时， 0h k ，此此 时函数时函数 yh k 单调递减单调递减. .所以，所以， 2max 4 2h kh e . .故选：故选：C.C. 练习题练习题 1.若对若对0 x,恒有恒有x x xea ax ln) 1 (2) 1(，则实数，则实数a的最小值为的最小值为_. 2.已知函数已知函数)0()ln()(aaaax
7、aexf x ，若关于若关于x的不等式的不等式0)(xf恒成立恒成立，则实则实 数数a的取值范围为的取值范围为_. 3.若若0 x，不等式，不等式0lnln2 2 axae x 恒成立，则实数恒成立，则实数a的最小值为的最小值为_. 练习练习.已知函数已知函数33) 1ln()(xxmxf，若不等式若不等式 x emxxf3)(在在), 0( 上恒成立上恒成立， 则实数则实数m的取值范围为的取值范围为_. 4.已知函数已知函数1ln)(xaexf x ，证明：当，证明：当 e a 1 时，时，0)(xf. 5. 已知已知 0 x是函数是函数2ln)( 22 xexxf x 的零点，则的零点，则 0 2 ln 0 xe x _. 6.若函数若函数0,4)(, 1ln)(axaxexgxxxf x ， 证明证明：)2ln(ln2)(2)(axfxg. 6. 已知函数已知函数axxxexf ax ln)( 1 ，若，若0)(, 0 xfx，则实数，则实数a的最小值为的最小值为_.
