1、高三复习微专题高三复习微专题 球的考法与教法（一）球的考法与教法（一）2021年10月27日下午2：30-3：10一一、课前、课前复习复习1.圆锥的定义； 2.球的定义. 二、新课引入二、新课引入引例：引例：直角三角形的两直角边的长分别 ， ，现以长为 的边所在为轴旋转所得圆锥的体积为 ，该圆锥外接球的体积比上内切球的体积的比为 .三、新授内容 1331三、新授内容三、新授内容1.1球与球与 直柱体直柱体 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 正方体 , 设正方体的
2、棱长为a ， E、F、H、G棱的中点，0 为球的球心. 常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 EFHG和其内切圆 ,则 ； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则 ； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 ACC1A1和其外接圆，则 通过这三 类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例例 1 棱长为1的正方体 的8个顶点都在球 O的表面上，E，F 分别是棱AA1 ，DD1 的中点，则直线EF被球 O
3、截得的线段长为（ ） A. 解解：由题意有球为正方体的外接球，平面 截面所得圆面的半径 ， 直线 EF 被球O 截得的线段为截面圆的直径 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长a,b,c为 其体对角线为 l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径 1.2球与正棱柱球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法。设正三棱柱 的高为 h，底面边长为 a，如图2所示，D 和 D1分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高
4、D D1 的中点 O， ，借助直角三角形 AOD的勾股定理，可求 例例2 正四棱柱 的各顶点都在半径为 R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值为 . 解解：如图，截面图为长方形 和其外接圆，球心为 EE1的中点O 则 设正四棱柱的侧面棱长为 b，底面边长为 a则 则正四棱柱的侧面积： 所以侧面积有最大值为 当且仅当 取等号.2.球与锥体球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 球与正四面体球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体，它既存在
5、外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系.例例3 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( C )A. 解解: 容器正四面体中的这四个小球，以四个小球的球心为定点构成一个棱长为2的球心四面体，其高为单位正四面体高 的二倍即 球心正四面体的底面到容器正四面体的底面距离是小球的半径 1，而球心四面体的顶点到容器正四面体顶点的距离为3（小球半径的3倍），所以容器正四面体的高为 （提示：做一个小球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍）2 6+3+1.3
6、2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥2.3球与正棱锥球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类： 一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解. 二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.2.4 球与特殊的棱锥球与特殊的棱锥2.5两个共底等腰三角形折叠与球两个共底等腰三角形折叠与球四、课堂小结四、课堂小结1.“切”的解法与球有关的内切问题主要是
7、指球内切于多面体或旋转体，要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作2.“接”的解法把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径3定义定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；直三棱柱的外接球的球心是上、下底面
8、三角形外心连线的中点；正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到4补形定球心正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体；若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体五、巩固训练五、巩固训练六、课后反思六、课后反思1.情景设计如何：2.主题落实情况：3.师生合作效果：4.教育技术应用：5.教师授课遗憾：七、设计说明七、设计说明1.课型模式：题型模式
9、分需要球心和不需要球心两类问题，需要球心的为几何体与球的外切问题，其中两个共底等腰三角形或者全等三角形共变的翻折需要两次使用球心距，方程手段计算球半径;2.传统五环节教学法：组，复，新，巩，布。高中（高三）升级为复，引，新，结，布的五环节教学，本教学设计有“六、课后反思”，是现代教学强调信息反馈，更是教学传播论的实践探索场地;3.文科教学进度刚好到立体几何的归纳整理阶段，工作室的观课议课活动和这次课例展一起构思，同课异构，但时间协调统一不起来，分开进行课例展示。球的考法与学法（二）建议研究球与球的问题；球与几何体的各条棱相切问题；截的问题;4.提供一个可观更可议的课例，不完全等同于自己平常的授课，主动留下了很多议课的切入点：比如容量是是否过大？教学效果？课老师自己的思拷？期盼观课老师有更高更好的教学设计？5.兼顾学生和观课教师，学生需要高质量的教学效果，要让观课客人有话可说，有话愿意说，要给评课专家提供契机，方便从多角度发表意见和建议。教学设计和课堂质量不能太差，也不要太好，课前不演练，课后再反思.谢谢！谢谢！再次谢谢！再次谢谢！
