1、信号与系统全册配套精品信号与系统全册配套精品完整课件完整课件3信号与系统信号与系统课程简介课程简介2、课程地位、课程地位信号与系统信号与系统课程是各高等院校电子信息工程及通信工课程是各高等院校电子信息工程及通信工程等专业的一门重要的基础课程和主干课程。程等专业的一门重要的基础课程和主干课程。 对电气工程及自动化专业来说，主要是建立相关的物对电气工程及自动化专业来说，主要是建立相关的物理概念，对电力系统的分析和处理奠定必要的理论基础。理概念，对电力系统的分析和处理奠定必要的理论基础。1、主要研究的内容及课时安排、主要研究的内容及课时安排 该课程主要讨论确定性信号和线性时不变连续时间系该课程主要讨
2、论确定性信号和线性时不变连续时间系统的基本概念与基本理论、信号的频谱分析，以及研究确统的基本概念与基本理论、信号的频谱分析，以及研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本分析方法，定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本分析方法，目的是建立信号和信号处理系统的基本概念。目的是建立信号和信号处理系统的基本概念。课时分配：课时分配：32学时学时4信号与系统信号与系统课程学习方法课程学习方法理解物理概念与物理意义；理解物理概念与物理意义；掌握基本的分析方法掌握基本的分析方法;熟练基本的数学计算熟练基本的数学计算;辅助一些计算机分析工具。辅助一些计算机分析工具。成绩评定：成绩评定：考试考试 + 平
3、时考核平时考核平时考核包括：出勤、作业和课堂提问及练习平时考核包括：出勤、作业和课堂提问及练习5参考教材参考教材1、信号与系统（第二版）上、下册、信号与系统（第二版）上、下册 郑君里郑君里 应启珩应启珩 杨为理杨为理 高等教育出版社高等教育出版社2、Signals & Systems (Second edition) Alanv.Oppenheim Alans.Willsky 清华大学出版社清华大学出版社3、信号与系统重点、难点解析及习题、模拟题精解、信号与系统重点、难点解析及习题、模拟题精解 徐天成编徐天成编 哈尔滨工程大学出版社哈尔滨工程大学出版社教材：教材：徐天成，谷亚林，钱玲徐天成，谷
4、亚林，钱玲 信号与系统（第信号与系统（第3版），电子工业出版社，版），电子工业出版社，20086第第1 1章章 引言引言举例：举例：010002000300040005000600070008000900080901001101201301401501601701807第第1 1章章 引言引言信号：信息：电信号：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。有信息的。一般指载有信息的随时间变化的电流或电压，或一般指载有信息的随时间变化的电流或电压，或电容上的电荷、电感中的磁通甚至电磁波等。电容上的电荷、电感中的磁通甚至电磁波等。一种载有信息的变化
5、着的物理量（电、光、声等）。一种载有信息的变化着的物理量（电、光、声等）。研究信号的目的之一：如何实现信息有效传输研究信号的目的之一：如何实现信息有效传输信号的描述方式：数学函数数学函数数学函数数学函数 = = 信号信号8第第1 1章章 引言引言信号处理实例：信号处理：对信号进行某种加工或变换。加工或变换的目的在于削弱信号中多余的成分，滤除混杂的噪声和干扰；或者将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计或选择它的特征参量。 医学： B 超，CT, 心电图等等指纹打卡，语音识别，互联网的流媒体等020406002468Time index nAmplitudesignal0204060-0.50
6、0.5Time index nAmplitudeNoise020406002468Time index nAmplitudenoise+signal0204060-50510Time index nAmplitudeEnsemble average9系统：系统：一组相互有联系的事物并具有特定功能的整体。一组相互有联系的事物并具有特定功能的整体。 系统可分为物理系统和非物理系统。如：电路系统、通信系统、自动控制系统、机械系统、光学系统等属于物理系统；而生物系统、政治体制系统、经济结构系统、交通系统、气象系统等属于非物理系统 。 第第1 1章章 引言引言例如：例如：一般通信系统的组成可用如下框图来
7、表示：一般通信系统的组成可用如下框图来表示：10系统：系统：一组相互有联系的事物并具有特定功能的整体。一组相互有联系的事物并具有特定功能的整体。 第第1 1章章 引言引言例如：例如：电力系统：电力系统：11系统模型：系统模型：物理模型，数学模型物理模型，数学模型 每个系统都有各自的数学模型。两个不同的系统可能有相同的数学模型，甚至物理系统与非物理系统也可能有相同的数学模型。将数学模型相同的系统称为相似系统。 第第1 1章章 引言引言系统、电路与网络系统、电路与网络系统：系统： 注重功能与特性；注重功能与特性；网络：网络： 注重结构和参数；注重结构和参数；电路：电路： 注重元器件。注重元器件。（
8、整体）（整体）（局部）（局部）（细节）（细节）12如：如：由一个电阻器和一个电容器可以组成微分电路（高通滤波器）或积分电路（低通滤波器）。第第1 1章章 引言引言微分器：微分器：vo(t)vi(t)RC积分器：积分器：vi(t)vo(t)RC13 对于一般系统可用下图所示的方框图表示。 y(t) = Tx(t)输出y(t)与输入x(t)可表示成：第第1 1章章 引言引言14第2章 连续时间信号的时域分析第3章 连续时间信号的变换域分析第4章 连续时间系统的时域分析第5章 连续时间系统的变换域分析第6章 傅里叶变换的应用课程内容课程内容15第2章 连续时间信号的时域分析2.6 MATLAB的操作
9、界面及连续信号的表示 2.5 信号的分解2.4 信号的运算2.3 阶跃信号和冲激信号2.2 常用连续时间信号2.1 信号的分类16 2.1 2.1 信号的分类信号的分类 对于各种信号，可以从不同角度进行分类。1、确定性信号与随机性信号 对于确定的时刻，信号有确定的数值与之对应，这样的信号称为确定性信号(又称规则信号)。不可预知的信号称为随机信号， 如测量误差等。2、连续时间信号与离散时间信号 如果在所讨论的时间间隔内，对于任意时间值（除若干不连续点外），都可给出确定的函数值，这样的信号称为连续时间信号，如气温的变化,一般用x(t)表示。 在时间的离散点上信号才有值与之对应，其它时间无定义，这样
10、的信号称为离散时间信号（也称序列），如股票指数，一般用xn表示。 。172.1 2.1 信号的分类信号的分类3、周期信号与非周期信号 在规则信号中又可分为周期信号与非周期信号。所谓周期信号就是依一定时间间隔周而复始，而且是无始无终的信号。时间上不满足周而复始特性的信号称为非周期信号。 , 2 , 1 , 0)()(nnTtftf，周期信号：T 非周期信号： 上式中 0 , 1 , 2 , f nf nkNk，周期信号： N 非周期信号：上式中N是正整数182.1 2.1 信号的分类信号的分类4、因果信号与非因果信号 将 接入系统的信号（即在 时为函数值为零的信号），称为因果信号。反之，若 时函
11、数值不等于零的信号，则称为非因果信号。0t 0t 0t tf（t）0非因果信号f（t）t0因果信号192.1 2.1 信号的分类信号的分类5、一维（1-D）信号与多维（M-D）信号 如果信号只有一个独立的自变量， 这个信号就是一维信号，如正弦函数等；而如果信号的自变量不止一个，就是多维信号， 如图像信号。6、时域信号与变换域信号 7、能量信号与功率信号 2| ( )| dEf tt 能量信号功率信号2221lim| ( )| dTTTPf ttT 202.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号 1. 指数信号 指数信号的表达式为 ( )(2.21)tftA et0(0)tAe)(tf(0
12、)tAe(0)tAeA特点： 导数或积分仍然是指数函数！212.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号常见的指数信号是单边（因果）指数衰减信号，其表达式为 e0( )(2.22)00tAtf tt式中， 0。其波形如下图所示：1-时间常数222.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号2. 正弦信号 正弦信号和余弦信号二者仅在相位上相差 ，统称为正弦信号，一般写作2( )sin()(2.2 3)f tAtAf(t)tT2特点： 导数或积分仍然是正弦函数！：角频率（rad/sec）A: 振幅（物理量的单位）： 相位T：周期 （sec）fT12f：频率（1/sec或Hz）232.2 2.
13、2 常用连续时间信号常用连续时间信号 在信号与系统分析中，经常要遇到因果指数衰减的正弦信号，其表达式为 esin0( )(2.24)00tAttf tt其波形如下图所示：242.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号3. Sa(t)函数（抽样函数） 所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号Sa(t)表示sinSa( )(2.2 5)ttt（1）偶函数： Sa(t) = Sa(t) （2）极限：000sinSa( )|limSa( )lim1ttttttt（3）衰减：Sa( )|0tt（4）零值点特性：Sa( )|0, 1 , 2 , 3 , tktk252.2 2.2 常
14、用连续时间信号常用连续时间信号3. Sa(t)函数（抽样函数）sinSa( )(2.2 5)ttt波形如图：Sa( )dtt0Sa( )d2tt（5）积分性质：（6）工程应用（辛克函数）：sinsinc( )ttt用途？262.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号4. 复指数信号 如果指数信号的指数因子为复数，则称为复指数信号，其表达式为()( )cossinstjtttf tAeAeAetjAet 复指数信号概括了多种情况，可以利用复指数信号来描述各种基本信号，如直流信号： 指数信号： 正弦或余弦信号： 增长或衰减的正弦与余弦信号： 0,00,00,00,0说明：复指数信号的应用不单
15、于此，在通信系统的设计和分析中占据重要的地位。272.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号复指数信号与正弦信号的关系：jjcosjsincosjsinttettett或：jjjj1cos()21sin()2jttttteetee 欧拉公式（Eula）282.2 2.2 常用连续时间信号常用连续时间信号11t0R(t)1t0t0R(tt0)t0+10( )(2.29)00ttR tt0000()(2.2 10)0ttttR tttt5. 单位斜变信号 斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。其表达式为 292.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号奇异信号：在信号与
16、系统分析中，经常要遇到函数本身有 不连续点或其导数与积分有不连续点的情况， 这类函数统称为奇异函数或奇异信号。1. 单位阶跃信号10( )(2.3 1)00tu tt1t0u(t) 工程中会不会出现 u（t）呢？请看下例：302.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号如果开关S在t = t0 时闭合，则电容上的电压为u（t - t0) 。u（t - t0）波形如下图所示：u（t- t0 ）t01t0解：由于S、E、C 都是理想元件，所以，回路无内阻，当S 闭合后，C上的电压会产生跳变，从而形成阶跃电压。即：)(0100)(tutttvc例：图中假设S、E、C都是理想元件（内阻为0），
17、当 t = 0 时S闭合，求电容C上的电压。CSE=1V+-)(tvc312.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号 u(t)的性质： (1)单边特性，即：0)(00)()(ttfttutf（2）某些脉冲信号或分段信号可以用阶跃信号来表示。 u(t)与R(t)的关系：d ( )( )(2.33)dR tu tt ( )( )d(2.34)tR tu322.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号例1：Et2)(tG212( )( )( ) ()()22G tf tf tE u tu t所以，矩形脉冲G(t)可表示为因为1( )(),2f tEu t),2()(2tEutf2E
18、t)(1tftE)(2tf2332.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号( ) ( )(1)f tt u tu t或： 1)sgn(21)(ttu例2：f(t)011t011t)(1tf011t)(2tf例3：利用阶跃信号来表示“符号函数”（signum）sgn(t)01-1t1 0sgn( )10ttt2 ( ) 1u t342.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号2. 单位冲激信号2t0)(tvc10 我们先从物理概念上理解如何产生冲激函数)(t(1)()(tti0td( )( )dCvti tCt例：图中假设S、E、C都是理 想元件（内阻为0），当 t = 0时S
19、闭合，求回路电流i（t）。C=1Fi(t)SE=1V22t01i(t)Show352.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号（i） 的定义方法( ) t 这种定义方式是狄拉克提出来的，因此， 又称为狄拉克（Dirac）函数。)(t 同理可以定义 ，即)(0tt 000()0 ()(2.3 10)()d1ttttttt0（1）t)(0tt 0t（1）用表达式定义( )0 (0)(2.39)( )d1tttt（1）)(tt0362.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号(t)t(1)t212442001( )lim ()()(2.3 12)22tu tu t(ii) 用极限定义
20、)(t我们可以用各种规则函数系列求极限的方法来定义 。例如:（a）用矩形脉冲取极限定义Show372.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号（b）用三角脉冲取极限定义t(1)(t)001( )lim(1) ()()(2.3 13)ttu tu t222t1Show382.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号（iii） 冲激函数的性质 00() ( )d( ) (2.3 19)ttf ttf t000( ) ()( ) () (2.3 18)f tttf ttt( ) ( )(0) ( ) (2.3 16)f ttft( ) ( )d(0)( )dt f ttftt综合式（
21、2.3-17）和式（2.3-19），可得出如下结论： 冲激函数可以把冲激所在位置处的函数值抽取（筛选）出来。（1）取样特性(0)(2.3 17)f)(tf)0(f)(t) 1 ( ) 1 ()0(f)()0(tf392.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号例：00() (2 )dtt u ttt000010tt0 ( )()djtetttt0001jtjtjttt teee 000(2 )()t tu ttut（2） 是偶函数，即 )(t( )()(2.320)tt（3）( )dt 00()d()ttu tt 0010tt( )(2.321)u t402.3 2.3 阶跃信号和冲激
22、信号阶跃信号和冲激信号d( )( )du ttt00d()()du ttttt（1）)(tt01t0u(t)u(t)与 的关系：)(t)(tu( )dt 00()d()ttu tt 412.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号3. 冲激偶信号 冲激信号的微分（阶跃函数的二阶导数）将呈现 正、负极性的一对冲激，称为冲激偶信号，以 表示。( ) t)(tt0)(tt（1）0t1)(ts0d ( )ds tt21210t00422.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号)()(tt （1）冲激偶是奇函数，即00() ( )d( )t t f t tf t( ) ( )d(0)t
23、 f t tf （3） （4）0)(dtt)() 0()() 0()()(tftfttf(2) 冲激偶的性质432.3 2.3 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号积分积分积分求导求导求导)(tt00)(tt(1)(ttu0t)(tu01t442.4 2.4 信号的运算信号的运算 两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即12( )( )( )f tf tf t12( )( )( )f tf tf t或 两个信号的积仍然是一个信号，它在任意时刻的值等于两信号在该时刻的值之积，即)()()(21tftftf1. 信号的加减2. 信号的乘法和数乘1(
24、 )( )f tKf t 信号的数乘运算是指某信号乘以一实常数K，它是将原信号每一时刻的值都乘以K ，即452.4 2.4 信号的运算信号的运算信号的加法 和数乘00.51-1-0.500.5100.51-4-202400.51-4-202400.51-2-1012x2=cos(20t)x1=cos(2t)x1+x2(x1+x2)/2462.4 2.4 信号的运算信号的运算2. 信号的乘法00.51-4-2024x1x23. 信号的反褶、时移、尺度变换 （1）反褶运算( )( )f tft以 t = 0为轴反褶f(t)t-111f(-t)t-111472.4 2.4 信号的运算信号的运算t0f
25、(t)11t0f(t-t0)1t0t0 +10tf(t+t0)1-t0-t0 +1 （2）时移运算)()(0ttftft00时，f(t)在 t 轴上整体右移t00时，f(t)在 t 轴上整体左移482.4 2.4 信号的运算信号的运算（3）尺度变换运算)2()(tftf 压缩 扩展)2()(tftf-1 0 1tf(t)1f(2t)-1/2 0 1/2t1 -2 0 2t1)2(tf492.4 2.4 信号的运算信号的运算解法一：先求表达式再画波形。241230( 23)1 02310 231231ttftttt 及110( )101011ttf tttt 及例2.4-1(4)：信号如下图所示
26、，求f(-2t+3)，并画出波形。)(tf11t1502.4 2.4 信号的运算信号的运算324223112012ttttt 及( 23)ft132t12241230( 23)1 02310 231231ttftttt 及)(tf11t1512.4 2.4 信号的运算信号的运算3( )()( 2 )( 23) 2()2f tftftftft反褶尺度时移解法二：先画波形再写表达式。)(tf11t1)( tf 11t10)2(tf 1t2112( 23)ft132t12522.4 2.4 信号的运算信号的运算4. 信号的微分与积分运算例2.4-2 求下图所示信号f(t)的微分 ,并画出 的波形。
27、( )f t( )f tf(t)t110（-1）t110)(tf( ) ( )(1) ( )(1)ftu tu tttt 解：f(t) = t u(t) - u(t-1) ( )(1)(1)u tu tt（1）微分运算)(tf 信号的微分 （也可写为 ）表示信号随时间变化的变化率。d ( )df tt532.4 2.4 信号的运算信号的运算(2) 积分运算0)(1tf解 : 1）当 t 1 时，110( )2d2ft 例2.4-3 求下图所示信号f(t)的积分 ，并画出其波形。( 1)( )( )tftfd所以( 1)( )2 ( )(1)2 (1)2( )2(1) (1)ftt u tu t
28、u ttu ttu t542.4 2.4 信号的运算信号的运算5信号的卷积积分（1）卷积积分定义为 1212( )( )( )()d(2.41)f tftfft例2.4-4 已知 ，求 。12( )( ),( )e( )tf ttf tu t12( )( )f tft()0e()e( )ttu tu t ()1212( )( )( )()d( )e()dtf tftfftu t 解：()(1)1e()e(1)ttu tu t12( )(1),( )e( )tf ttf tu t12( )( )f tft例2.4-5 已知，求 。 ()1212( )( )( )()d(1)e()dtf tftf
29、ftu t 解：552.4 2.4 信号的运算信号的运算( )( )( )(2.42)tf tf t00()( )()(2.43)ttf tf tt 由例2.4-4和例2.4-5可以推广出冲激函数与任何函数卷积的性质，即 （2） 卷积积分的图解计算 1212( )( )( )()d(2.41)f tftfft由上述卷积积分的公式可总结出卷积积分计算步骤。首先将x(t)和h(t)的自变量 t 改成 ，即： )()(),()(hthxtx562.4 2.4 信号的运算信号的运算 1212( )( )( )()d(2.41)f tftfft再进行如下运算（即卷积积分的四步曲）： 反褶、时移、相乘、积
30、分。反褶：)()(hh时移：)()(thhttttth右移左移, 0, 0)( 相乘：)()(thx积分：dthxthtx)()()()(计算卷积积分的关键是定积分限。571( )f102( )f102()f t10t1( )f2()f101）当 t 0 时，()0( )1tts ted( )(1) ( )ts teu ts(t) = 0 t10( )s t2()f t10t1( )f 例A： 已知 , 求12( )( ),( )( )tf tu tf te u t12( )( )( )s tf tf t12( )( )()s tff td解：2.4 信号的运算信号的运算 - 卷积积分的计算卷
31、积积分的计算58例B：已知 ，求12( )( )(),( )( )tftu tu tTfte u t12( )( )( )s tf tft解： 1( )f10T2( )f102()f102()f t10t1( )fT1）当 t 0 时，s(t) = 0 2）当 0 t 0) tu tsL1n 当 时 2n 当 时 232( ) ( 0) t u tsL以此类推，得 1!( )nnnt u tsL(0)1683.8 拉普拉斯变换的基本性质1 1线性特性线性特性若 ， ，则11( )( )f tF sL22( )( )ftF sL1 1221122( )( )( )( )K f tK ftK F
32、sK F sL例例3.8-1 求 的拉氏变换。( )sin( )f tt u t解：解： 由于jj1sin(ee)2jttt，所以jj1sin( )(ee) ( )2jttt u tu tLL221111 ( 0) 2jj2jjsss同理22cos( ) ( 0)st u tsL1692 2时域微分和积分时域微分和积分 12(1)d( )( )(0 )(0 )(0 ) dnnnnnnf ts F ssfsfftL11( )0( )(0 )nnn rrrs F ssf 222d( )( )(0 )(0 ) df ts F ssfftL（1）时域微分）时域微分 若 ，则 ( )( )f tF sL
33、d ( )( )(0 )(3.84)df tsF sftL1702 2时域微分和积分时域微分和积分 例例3.8-2 已知 ，求 的像函数。( )e( )tf tu t( )f t解：解：已知1( ) ( )F sf tsL所以( )( )(0 )0ssftsF sfssL（2）时域积分）时域积分 ( 1)( )(0 )( )d (3.86)tF sffssL若 ，则 ( )( )f tF sL式中：0( 1)(0 )( )dff1712 2时域微分和积分时域微分和积分 例例3.8-3 试通过阶跃信号 的积分求 和 的拉氏 变换。( )u t( )tu t( )nt u t解：解：因为1( )=
34、 ( )F su tsL而0( )( )dttu tu所以21( )tu tsL重复应用这个性质，可得 1!( )nnnt u tsL1722 2时域微分和积分时域微分和积分 例例3.8-4 图示电路，在 时开关S闭合，求输出信号 。0t C( )vt解：解：1）列写微分方程 CCd( )( )( )dvtRCvtEu ttC(0 )0v2）将微分方程两边取拉氏变换，得CC( )(0 )( )/CRC sVsvVsE s解此代数方程，求得 C( )1(1)EEVssRCsRCs sRC1732 2时域微分和积分时域微分和积分 3）求 的拉氏逆变换C( )VsC11( )11EVsEssRCs
35、sRCRC1CC( )( )(1e) 0tRCvtVsEtL1743 3位移性位移性 （1）时域位移（延时）时域位移（延时）若 ，则 ( )( )f tF sL000 () ()e( )(3.87)stf tt u ttF sL式中， 。00t 在应用延时特性时，特别要注意它只适用于在应用延时特性时，特别要注意它只适用于 的的情况。因为当情况。因为当 时，信号左移至原点以左部分，不时，信号左移至原点以左部分，不能包含在从能包含在从 到到 的积分中去。的积分中去。00t 00t 0000()sin()f tttt（1） ；（2） ；000() ( )sin()( )f tt u tttu t（3
36、） ；000( ) ()sin()f t u ttt u tt（4） 。00000() ()sin()()f tt u ttttu tt例例3.8-5 已知 的拉氏变换为 ，求 下列信号的拉氏变换（式中 ）。0( )sinf tt00t 0220( )F ss1753 3位移性位移性 四种信号如下图所示。 1763 3位移性位移性 对于（1）和（2）两种信号在 时的波形相同，所以 0t000000 00 000 000 0220()() ( )sin()cossinsincoscossinf ttf tt u ttttstttttsLfLfLL对于信号（3）：00000(j)(j)00000
37、00 02201sin()sinedeed2jcossin estststttstt u ttttttstsL1773 3位移性位移性 对于信号（4）：00000j()j()0001sin()()eeed2jt tt tsttttu tttL0 0000 0000j(j)j(j)0220001eeeee2jjjtsttststsss 可见，在以上四种信号中，只有信号（4），即 是信号 右移了 的结果，才能应用时移性，即 00000() ()sin()()f tt u ttttu tt0( ) ( )sin( )f t u tt u t0t0000000220sin()()esineststtt
38、u tttsLL1783 3位移性位移性 例例3.8-6 求图示矩形脉冲信号的拉氏变换。 解：解： 因为0( )( )()f tEu tEu tt( )EEu tsL由延时特性 可求得00()estEEu ttsL所以 00 ( )( )()(1e)stEf tEu tEu ttsLL1793 3位移性位移性 （2）s 域位移域位移若 ，则 ( )( )f tF sL ( )e()(3.88)tf tF sL例例3.8-7 求 和 的拉氏变换。esinttecostt解：解：已知22sin tsL由s域位移定理，得 22esin()ttsL同理，因为 22cosstsL故有 22ecos()t
39、stsL1804 4尺度变换尺度变换 若 ，则 ( )( )f tF sL1 () (0)(3.89)sf atFaaaL解法一：解法一：先延时：3 (3) (3)( )e sf tu tF sL再尺度：321 (23) (23)e 22ssftutFL解法二：解法二：先尺度：1 (2 ) (2 )22sft utFL再延时：32331 (23) (23) =22e 2222ssftutftutFLLf例例3.8-8 己知 ，求 ( )( )f tF sL (23) (23) ftutL1815 5s s域微分与积分域微分与积分 （1）s域微分域微分 若 ，则 ( )( )f tF sLd (
40、 ) () ( )(3.810)dF st f tsLd( ) ()( ) dnnnF stf tsL（2）s域积分域积分 若 ，则 ( )( )f tF sL( )( )d (3.811)sf tFtL1826 6初值与终值定理初值与终值定理（1）初值定理）初值定理若 ， 且 f(t) 连续可导，则 ( )( )f tF sL0lim( )(0 )lim( )(3.812)stf tfsF s证明：由时域微分特性可知 0d ( )d ( )( )(0 )edddstf tf tsF sftttL000d ( )d ( )ededddststf tf ttttt0d ( )(0 )(0 )ed
41、dstf tfftt所以 0d ( )( )(0 )eddstf tsF sftt1836 6初值定理与终值定初值定理与终值定理理当s 时，上式右端第二项的极限为 00d ( )d ( )limedlimed0ddststssf tf ttttt从而lim( )(0 )ssF sf应用条件应用条件 的初值 ，即( )F s(0 )f0( )ft0(0 )f00(0 )(0 )lim( )sffsF s如果是有理代数式，则必须是真分式；中出现真分式项，而初值等于真分式之逆变换式( )F s( )F s如果不是有理代数式，则应利用长除法，使( )F s0( )F s0( )F s1846 6初值定
42、理与终值定初值定理与终值定理理（2）终值定理）终值定理0lim( )lim( )(3.816)tsf tsF s若 ， 且 f(t) 连续可导，则 ( )( )f tF sL证明：0d ( )( )(0 )eddstf tsF sftt000d ( )lim( )(0 )limed(0 )lim( )(0 )dstsstf tsF sftff tft应用条件应用条件 ( )F s仅当在右半s平面及其s平面的虚轴上为解析时（原点除外），终值定理才可应用。 0lim( )lim( )tsf tsF s所以1856 6初值定理与终值定初值定理与终值定理理例例3.8-9 求下列函数逆变换的初值与终值。
43、32221(1) ( )21sssF sss2223(2) ( )(1)(4)ssF sss解：解：232( )121sF ssss ( )F s（1）不是真分式，利用长除法求得232(0 )lim321ssfsss于是初值 1866 6初值定理与终值定初值定理与终值定理理(0 )lim( )sfsF s(0 )f 如果不用长除法，而直接用，则将得到的错误结论。0lim( )lim( )0tsf tsF s终值2223(0 )lim1(1)(4)sssfsss（2）初值为( )F sjj2s ( )f t0lim( )lim( )tsf tsF slim( )0tf t由于在轴上有一对共轭极点
44、，因此不存在终值。 若不注意终值定理的条件，而直接用，则将得到的错误结论。1877 7卷积定理卷积定理（1）时域卷积）时域卷积 11( )( ),f tF sL22( )( )ftF sL1212( )( )( )( )(3.817)f tftF s F sL若，则（2）s域卷积域卷积 11( )( ),f tF sL22( )( )ftF sL若，则j1212j1( )( )( )()d(3.818)2 jf t ftF z F szz L1887 7卷积定理卷积定理12( )e( ),( )( )tf tu tftu t12( )( )f tft例例3.8-10 已知，求解：解：利用时域卷
45、积定理可以间接地求出两函数的卷积 111( )( )F sf tsL221( )( )F sftsL因为12111 11( )( )F s F sssss而112121( )( )( )( )(1e) ( )tf tftF s F su tL则在课本81页的表3.8-1中给出了拉氏变换的主要性质。1893.9 拉普拉斯逆变换如果F(s)是一个比较简单的函数，就可利用常用函数的拉氏变换表（见表3.7-1），查出对应的原函数。然而，经常遇到的F(s)并非那样简单，不能直接从表中找到。因此，必须研究求逆变换的一般方法。 求复杂拉普拉斯变换式的逆变换通常有两种方法：（1）部分分式展开法（2）留数法 方
46、法一是将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表求取原时间信号； 方法二则是直接进行拉氏逆变换积分。 方法一适用于F(s)为有理函数的情况； 方法二适用范围较广。1903.9.1 部分分式展开法 11101110( )( )( )mmmmnnnna sasa saA sF sB sb sbsb sbiaib式中，系数和都为实数， m和n是正整数。 用部分分式展开法求逆变换时，要求F(s)为有理真分式， 即mn 。当F(s)不是真分式时，可以用长除法把F(s)分解为有理多项式与真分式之和, 如3223271( )1sssF sss24351ssss3 ( ) t5 ( ) t真分式191
47、3.9.1 部分分式展开法 11101110( )( )( )mmmmnnnna sasa saA sF sB sb sbsb sb121110( )()()() =nnnnnnB sb spspspb sbsb sb121110( )()()() =mmmmmmA saszszsza sasa sa为方便，记( )0B s 12,.nsppp从而，当时，( )F s ( )F s所以，12,.nsppp的“极点极点”。称为( )0A s 而当12,.msz zz时，( )0F s ( )F s所以，12,.msz zz的“零点零点”。称为1921 1极点为实数，无重根极点为实数，无重根121
48、212( )( )( )( )()()()nnininA sA sF sB sb spspspKKKKspspspsp1niiiKsp( )F s12,np pp假定的极点均为实数，且无重根，则( )F s可展开为如下的部分分式() ( )iiispKsp F s其中从而1( )( )inp tiif tK e u t1931 1极点为实数，无重根极点为实数，无重根312( )13KKKF ssss1002010( )313(3)F ssss310010( )20ee33ttf t0t 10(2)(5)( )(1)(3)ssF ss ss例例3.9-1 求的拉氏逆变换。解解：将F(s)展开成部
49、分分式形式2110( 12)( 15)(1) ( )20( 1)( 13)sKsF s 3310( 32)( 35)10(3) ( )( 3)( 31)3sKsF s 其中 101025100( )1 33sKsF s 1942.2.包含共轭复数极点包含共轭复数极点 212211( )( )( )( )( )niiiAA sA sAsBAsBF sB sB sspsbscsbsc1122( )()()()nnB sb spspsp21( )( )()B sB s sbsc若其中122,.,np pp240bc是B(s)的不相等的实根。则F(s)可写为2AsBsbsc而的逆变换则可用配方法来求。
50、 1952.2.包含共轭复数极点包含共轭复数极点 23( )(1)(24)sF ssss例例3.9-2 求的拉氏逆变换。223( )1(1)(24)24sABsCF sssssss解：解：21132(1) ( )324sssAsF sss其中2222(24)()(1)2/33( )124(1)(24)ssBsC sBsCF sssssss 于是22(24)()(1)33ssBsC ss从而由方程两端分子的对应项相等，求得1962.2.包含共轭复数极点包含共轭复数极点 2/3B 1/3C 2221333( )124sF ssss222121/233324(1)3sssss 因为22222(1)2
