1、一轮复习大题专练一轮复习大题专练 38数列（恒成立问题数列（恒成立问题 2）1 已知 数 列na和 nb的 前n项 和分 别 是nS，nT， 其中13a ，12nnaa，*231()nnTnN（）求na与nb的值；（）若(41)nnnnbcS，对任意的*nN，均有12524nnccck，求实数k的取值范围解： （）13a ，12nnaa，3(1)221nann，231nnT ，113112bT，当2n时，11231nnT，111222332 3nnnnnnbTT，13(2)nnbn，又11b 适合上式，所以1*3()nnbnN（）由（）知(321)(2)2nnnSn n，1(41)3(2)nn
2、nCn n，1111(41)(41) 3191133() 3()(2)2222nnnnnnnnbncSn nnnnn，112133333153 (45)5(1)()221222142(1)(2)4nnnnnncccnnnnnn，所以由题意知*3( ) (45)2()2(1)(2)nnknNnn，记*3( ) (45)2( )()2(1)(2)nnf nnNnn，则12223( )(49)2(1)3(49)(1)(83430)(453)2(2)(3)13( )2(45)(3)83430( ) (45)22(1)(2)nnnf nnnnnnnnnf nnnnnnnn ，所以(1)( )0f nf
3、n，即( )f n单调递增，故9( )(1)8minfnf，所以98k2已知等差数列 nb满足32b ，251681bbbb，数列na的前n项和2124nnSb，*nN（1）求数列na、 nb的通项公式；（2）记数列nna b的前n项和为nT，若存在正数k，使226936nnkTnann对一切*nN恒成立，求k的取值范围解： （1）数列 nb是等差数列，1845bbbb，45653bbbb，由251681bbbb，得25513bb，53b又32b ，533215322bbd，则112(3)22nnbn；11b，则2212424nnnSb，当1n 时，114aS，当2n时，211124242nn
4、nnnnaSS，验证1n 时成立，12nna；（2）由（1）得，112(1) 22nnnnna bn，123223 242(1)2nnTn ，23412223 242(1)2nnTn ，两式作差可得：2314222(1)2nnnTn1114(12)4(1)2212nnnnn ，12nnTn226936nnkTnann对一切*nN恒成立，26936nknn对一切*nN恒成立，即6369knn对一切*nN恒成立，令6( )369g nnn，则66( )2362 3699g nnn，当且仅当6n 时等号成立2k故实数k的取值范围是(2,)3已知数列na的前n项和为nS，11a ，1(1)(2,*)n
5、nnana nnN，数列 nb满足1211,24bb，对任意*nN，都有212nnnbb b（1）求数列na、 nb的通项公式；（2）令1 122nnnTa ba ba b，若对任意的*nN，不等式22(3)nnnnnTb Snb恒成立，试求实数的取值范围解： （1）1(1)nnnana，(2,*)nnN，11nnaann，(2,*)nnN，数列nan为常数列，又111a，1nan，即*()nan nN；由212nnnbb b，知数列 nb是等比数列，其首项、公比均为12，数列 nb的通项公式1( )2nnb ；（2）依题意，1( )2nnna bn，1231111111 ( )2 ( )3
6、( )(1) ( )( )22222nnnTnn ，则23411111111 ( )2 ( )3 ( )(1) ( )( )222222nnnTnn ，23111111( ) 11111111122( )( )( )( )( )1( )( )122222222212nnnnnnnTnnn ，1112( )( )22nnnTn，不等式22(3)nnnnnTb Snb即为(2)2(3)nnnn TbS，即1111(1) ( )( ) 2 ( )32222nnnn nnn ，亦即2(1)622n nnn，即2(1)(12 )60nn对任意*nN恒成立，设2( )(1)(12 )6()f nnnnN，
7、当1时，( )0f n 恒成立，符合题意；当1时，由二次函数性质知不恒成立，不合题意；当1时，由于对称轴12022x ，故( )f n在1，)单调递减，( )f nf（1）0恒成立，符合题意综上，实数的取值范围为1，)4已知正项数列na的前n项和为nS，数列 nb为等比数列，且满足1111ab ，21441nnaSn，481ba（1）求证：数列na为等差数列；（2）若不等式2(4)(1)nnna bma对于任意*nN恒成立，求实数m的取值范围解： （1）证明：正项数列na的前n项和为nS，数列 nb为等比数列，满足1111ab ，21441nnaSn，481ba21443nnaSn，(2)n，
8、两式相减，得22144nnnaaa，(2)n，221(2)nnaa，0na ，12nnaa，(2)n，当1n 时，221459aa，2132aa，na是首项为 1，公差为 2 的等差数列（2）21nan，48116ba ，12b ，3418bqb，2q ，2nnb ，由2(21) 2(4)(22)nnmn，得22(1)4(21) 2nnmn，设22(1)(21) 2nnnCn，则22321112(1)252(21) 2(21) 22(41)nnnnnnnnnCCnnn，1n，2 时，10nnCC，当3n时，10nnCC，即325nCC ，245m，解得185m 实数m的取值范围是18(,)55
9、已知数列na的前n项和nS满足223nSnn（）求数列na的通项公式；（）数列11nna a的前n项和是nT，若存在*nN，使得10nnTa成立，求实数的取值范围解： （）数列na的前n项和nS满足223nSnn所以当1n 时，解得12a ，当2n时，212(1)3(1)nSnn，得：2223(1)3(1)nannnn，整理得1nan（首项符合通项） ，故1nan（）11111(1)(2)12nnnba annnn，所以1111111123341222nTnnn，若存在*nN，使得10nnTa成立，即11(2) 022nn成立，故(2)2(2)nnn，整理得22(44)nnn，只需满足22(4
10、4)maxnnn即可，设211( )42(44)162(4)ng xnnnn，当且仅当2n 时，等号成立即1166已知点(nP n，*)()nanN在直线:21l yx上，数列 nb的前n项和为nS，已知11b ，*121()nnSSnN（1）求数列na， nb的通项公式；（2） 已知数列nnab的前n项和为nT， 若对任意2n，*nN， 均有2(3)42427nTknn成立，求实数k的取值范围解： （1）由题意21nan，又121nnSS，121(2)nnSSn，两式相减得120nnbb，即12nnbb，又11b ，21123SS ，22b ，212bb， nb是等比数列，12nnb；（2）1(21) 2nnna bn，211 13 25 2(21)2nnTn ，则2121 23 2(23)2(21)2nnnTnn ，得：2111222222(21)2124(21)23(23)2nnnnnnTnnn ，(23)23nnTn对任意2n，*nN，不等式2(3)42427nTknn可化为292nnk，设29( )2nnf n，112729211(1)( )222nnnnnnf nf n，5n时，(1)( )0f nf n，(1)( )f nf n，6n时，(1)( )0f nf n，(1)( )f nf n， ( )f n中f（6）最大，3(6)64f，364k
