1、工程测试与信号分析工程测试与信号分析(研究生研究生)全册配套课件全册配套课件321:2721:272一、课程简介q名称：名称：机械工程测试机械工程测试 信息信息 信号分析信号分析 测试测试 具有试验性质的测量具有试验性质的测量 工程测试工程测试 工程中物理量为研究对象的测试工程中物理量为研究对象的测试 机械工程测试机械工程测试 应用背景广泛的机械领域应用背景广泛的机械领域 信息信息 事物运动的状态和方式事物运动的状态和方式 信号信号 信息的载体信息的载体 信号分析信号分析 研究信号的构成和特征研究信号的构成和特征q以以信息信息为核心，研究工程中信息的获取。为核心，研究工程中信息的获取。q课程的
2、课程的理论基础理论基础：信息理论信息理论。q主要研究内容：工程信息的主要研究内容：工程信息的获取、传输、转换、分获取、传输、转换、分析、变换、处理、显示及应用析、变换、处理、显示及应用。21:273教材q教材教材 1 卢文祥，杜润生卢文祥，杜润生 .机械工程机械工程测试测试 信息信息 信号分析（第二信号分析（第二版）版）.武汉：华中科技大学出版武汉：华中科技大学出版社，社，1999.8。 2 卢文祥，杜润生卢文祥，杜润生 .机械工程机械工程测试测试 信息信息 信号分析习题例信号分析习题例解解.华中科技大学教材科，华中科技大学教材科，2003。21:274参考资料及相关数学知识q 参考资料参考资
3、料TP 14 信息、信号类信息、信号类TN 911 信号系统类信号系统类q 相关的数学知识相关的数学知识1. 积分变换积分变换2. 概率论与数理统计概率论与数理统计3. 随机过程随机过程q 联系地址电话：联系地址电话：轩建平轩建平 新大楼新大楼B303 87557415 13886035139李锡文李锡文 新大楼新大楼C306 87559004 1897107279921:275内容安排（一）信息论基础（一）信息论基础 第三章第三章 第四章第四章 51 61（二）信号分析（二）信号分析 第二章第二章 52 53 62 65 第七章第七章 第八章第八章 第九章第九章 第十章第十章（三）信号分析设
4、备（三）信号分析设备 第十一章第十一章（四）机械工程中的信号分析技术（四）机械工程中的信号分析技术 第十二章第十二章（五）实验（五）实验 Matlab MiniDRVI 何岭松教授何岭松教授q 专题：高阶统计分析；非线性、非平稳信号处理（时频、小专题：高阶统计分析；非线性、非平稳信号处理（时频、小波分析、波分析、Hilbert-Huang变换）变换）q 测量控制实践：抗干扰、接地、传感器、调理、信号处理测量控制实践：抗干扰、接地、传感器、调理、信号处理21:276考核评分标准q考核评分标准考核评分标准 平时成绩平时成绩 20% 作业作业 20% 实验实验 ？ 期末考试期末考试 60% 考试方式
5、待定考试方式待定21:277二、工程测试方法q测试对象的特征测试对象的特征 动态动态 被测量是时间被测量是时间 t 的函数的函数 f (t )q测试方法测试方法 非电量电测法非电量电测法信源信源被测对象被测对象力力声音声音温度温度位移位移速度速度加速度加速度应用应用被控对象被控对象控制控制控制算法控制算法传感器传感器一次仪表一次仪表压力传感器压力传感器话筒话筒热电阻热电阻涡流传感器涡流传感器磁电传感器磁电传感器压电传感器压电传感器传输变换传输变换二次仪表二次仪表传递信号传递信号电压电压电阻电阻电流电流电感电感电荷电荷信号分析信号分析预处理及处理预处理及处理 提取信息提取信息 时域时域 频域频域
6、幅值域幅值域高阶统计分析高阶统计分析非线性、非平稳非线性、非平稳21:278例：电机振动测量及频谱分析21:279图图 电动机在线识别电动机在线识别在某电动机生产线上，利用频谱诊断技术实现电动在某电动机生产线上，利用频谱诊断技术实现电动机在线自动识别、分类的过程。机在线自动识别、分类的过程。例：电机故障诊断21:2710例：电机故障诊断实验步骤q具体检测步骤如下：具体检测步骤如下： （1）将装有微型加速度计的测头接触传送带上运）将装有微型加速度计的测头接触传送带上运送的电动机；送的电动机； （2）检测电动机的振动信号，经放大器后输入）检测电动机的振动信号，经放大器后输入FFT分析仪；分析仪；
7、（3）将检测得的振动频谱与预先在分析仪中设定）将检测得的振动频谱与预先在分析仪中设定的判别谱进行比较；的判别谱进行比较； （4） 进行合格与否判断，输出判断信号。进行合格与否判断，输出判断信号。21:2711例：电机故障诊断实验结果q上图分别为典型合格品与废品的振动频谱。上图分别为典型合格品与废品的振动频谱。q图中可看出，废品的频谱图中往往在某一频图中可看出，废品的频谱图中往往在某一频率有较大的幅值。率有较大的幅值。21:2712第二章 信号分析基础q主要内容主要内容 一、信号的概念一、信号的概念 二、信号的描述二、信号的描述 三、信号的分类三、信号的分类 四、信号处理的目的、步骤四、信号处理
8、的目的、步骤 五、典型信号介绍五、典型信号介绍 六、信号的基本运算六、信号的基本运算 七、信号的分解七、信号的分解21:2713一、信号的概念 信号是反映（或载有）信息的各种物理量，信号是反映（或载有）信息的各种物理量，是系统直接进行加工、变换以实现通信的对是系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。象。 信号是信息的表现形式，信息则是信号的具信号是信息的表现形式，信息则是信号的具体体内容。传输信息的载体称为信号传输信息的载体称为信号q自然和物理信号自然和物理信号 例如：语音、图象、地震信号、生理信号等例如：语音、图象、地震信号、生理信号等 实例：实例：雨声、地震信号雨声、地震信号21:2714
9、一、信号的概念q自然和物理信号自然和物理信号 例如：语音、图象、地震信号、例如：语音、图象、地震信号、生理信号生理信号等等 实例：人的心音实例：人的心音图图 正常心音时域波形图正常心音时域波形图图图 房室隔缺损病人心音时域波形图房室隔缺损病人心音时域波形图 21:2715一、信号的概念q人工产生的信号人工产生的信号 例如：雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信例如：雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信号等号等 实例：实例：雷达信号、机械声音雷达信号、机械声音21:2716二、信号描述方法-数学q数学描述数学描述 使用具体的数学表达式，把信号描述为一个或若使用具体的数学表达式，把信
10、号描述为一个或若干个自变量的函数或序列的形式。干个自变量的函数或序列的形式。)sin()(ttftttf)sin()()()(nuanxn因此，常可将因此，常可将“信号信号”与与“函数函数”和和“序列序列”等同起来等同起来21:2717信号描述方法-时域波形q波形描述波形描述 函数的图象称为波形函数的图象称为波形 用被测物理量的强度作为纵坐标作为纵坐标，用时间做横坐时间做横坐标标，记录被测物理量随时间的变化情况。横坐标横坐标为时间或整数。为时间或整数。0At21:2718信号描述方法-波形绘制波形波形( )cosx tt( )cos(2/12)x nn21:2719信号描述方法-频谱图横坐标为
11、频率：横坐标为频率：( (),),f f tF0cos tjF0sin () () () -0 -0 0 0 0 0 (-)21:2720信号描述方法-时频分析00.20.40.60.8102004006008001000050100150t / sf / HzPower Spectrum时间时间频率频率能量能量STFTSTFTT The instantaneous frequency increases linearly with time21:2721信号描述方法-时频分析1信号由三个不同频率的正弦波组成，但频率在不同的时候存在时间时间频率频率21:2722信号描述方法-时频分析弓头鲸发出
12、声音的联合时频分布曲线时间时间频率频率能量能量http:/www.birds.cornell.edu/brp/listen-to-project-sounds/soundfiles/BowSong2000.au21:2723三、信号的分类1. 按能否用明确的数学关系式描述分类按能否用明确的数学关系式描述分类 确定性信号确定性信号 非确定性信号非确定性信号 2. 按信号的功率和能量是否有限分类按信号的功率和能量是否有限分类 功率信号功率信号 能量信号能量信号3. 按函数的自变量存在范围分类按函数的自变量存在范围分类 时限信号时限信号 频限信号频限信号 物理可实现信号物理可实现信号4. 按自变量是
13、否连续分类按自变量是否连续分类 连续信号连续信号 离散信号离散信号21:2724三、信号的分类FSFT功率谱信号信号确定性信号确定性信号非确定性信号非确定性信号周期信号周期信号非周期信号非周期信号简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号准周期信号准周期信号瞬态信号瞬态信号平稳随机信号平稳随机信号非平稳随机信号非平稳随机信号各态历经信号各态历经信号非各态历经信号非各态历经信号一般非平稳信号一般非平稳信号瞬态随机信号瞬态随机信号按能否用明确的数学关系式描述分类21:2725三、信号的分类q确定信号与非确定性信号确定信号与非确定性信号 要点：要点：给定的自变量的值，是否可以唯一确定信号的取值
14、。 区分方法：区分方法：任意给定一个自变量的值，如果可以唯一确定其信号和取值，则该信号是确定信号，否则，如果取值是确定的随机值，则是随机信号。 非平稳随机信号是非确定性信号。21:2726三、信号的分类q周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号 经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件 T周期，周期，T2 / 0, 0基频基频; n0，土，土l，. 周期周期T(正值正值)，最小，最小T值。值。 非周期信号可以视为是周期非周期信号可以视为是周期T无穷大。无穷大。 例，机械系统回转体不平衡引起的振动信号是周期性的。例，机械系统回转体不平衡引起的振动信号是周期
15、性的。( )(),f tf tnTtR 简单周期信号简单周期信号:正余弦信号正余弦信号复杂周期信号复杂周期信号21:2727三、信号的分类q非周期信号非周期信号 瞬变非周期信号瞬变非周期信号 非周期信号往往具有瞬变性。非周期信号往往具有瞬变性。( )sinsin 2 ,x ttttR 准周期信号准周期信号 组成信号的各频率相互间不是公倍关系，组成信号的各频率相互间不是公倍关系，合成信号不满足周期条件合成信号不满足周期条件21:2728三、信号的分类瞬态信号瞬态信号:持续时间有限的信号，如持续时间有限的信号，如( ). sin(2)Btx teAft21:2729三、信号的分类q非确定性信号非确
16、定性信号噪声信号噪声信号(平稳平稳)统计特性变异统计特性变异噪声信号噪声信号(非平稳非平稳)21:2730三、信号的分类q非确定性信号非确定性信号-平稳随机信号平稳随机信号 统计特征参数不随时间变化的随机信号，概率密度函数为统计特征参数不随时间变化的随机信号，概率密度函数为正态分布正态分布 集平均与子集平均集平均与子集平均111 lim( )NiNiE xx tN11 lim( )1,2,NijNiE xx tNj21:2731三、信号的分类q 平稳随机信号平稳随机信号-各态历经信号各态历经信号 若一个平稳随机信号的若一个平稳随机信号的集平均集平均等于任一子集的时等于任一子集的时间平均值，则称
17、为各态历经信号。间平均值，则称为各态历经信号。121 ( )lim ( )( )()iNNE x tx tx tx tN1111lim( )lim( )NNiiNNiix tx tNN集平均集平均21:2732三、信号的分类q时间连续信号与时间离散信号时间连续信号与时间离散信号 信号的自变量是否在整个连续区间内都有定义信号的自变量是否在整个连续区间内都有定义?定义域连续？定义域连续？时间离散信号时间连续信号通常被称为通常被称为“序列序列”时间离散信号时间离散信号: :在若干时间点上有定义在若干时间点上有定义采样采样信号信号时间连续信号时间连续信号: :在所有时间点上有定义在所有时间点上有定义2
18、1:2733三、信号的分类q模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号 模拟信号模拟信号的定义域和值域都有是连续的；的定义域和值域都有是连续的； 数字信号数字信号在定义域和值域都是离散的。在定义域和值域都是离散的。适合于计算机处理适合于计算机处理21:2734三、信号的分类q因果信号因果信号与非因果信号与非因果信号 如果信号在时间零点之前，取值为零，则称为如果信号在时间零点之前，取值为零，则称为因果信号因果信号，为物理可实现信号，又称为单边信号，满足条件：为物理可实现信号，又称为单边信号，满足条件：t0时，时，x(t) = 0，即在时刻小于零的一侧全为零。，即在时刻小于零的一侧全为零。 表示信号不能
19、在过去存在(有值)！也表示信号的产生是符合逻辑的！21:2735三、信号的分类q因果信号与因果信号与非因果信号非因果信号 不是因果信号，就是不是因果信号，就是非因果信号非因果信号。在时间零点之前信号有。在时间零点之前信号有值（或存在），则称为值（或存在），则称为反因果信号反因果信号，是，是物理不可实现信号物理不可实现信号：在事件发生前在事件发生前(t0：右移b1：压缩0：不需反褶能量能量功率信号功率信号功率功率相关函数21:27228波形的相关程度分析波形的相关程度分析时域波形相关程度分析-例21:27229算法：算法：令令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差二个信号之间产生时差，再相乘和积
20、分，再相乘和积分，就可以得到就可以得到时刻二个信号的相关性。时刻二个信号的相关性。 x(t)y(t)时时延延器器 乘乘法法器器 y(t - )X(t)y(t -)积积分分 器器 Rxy()*图图例例自相关函数：自相关函数：x(t)=y(t)x(t)=y(t)相关计算21:27230自相关计算自相关计算-例例21:27231互相关计算-例21:27232互相关计算-例21:27233相关函数的性质 相关函数描述了两个信号间或信号自身相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻不同时刻的相似的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。 （
21、1）自相关函数是）自相关函数是 的偶函数，的偶函数，RX( )=Rx(- )； （2）当）当 =0 时，时，自相关函数具有最大值。自相关函数具有最大值。（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号， 但不保留原信号的相位信息。但不保留原信号的相位信息。（4）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信 号，且保留原了信号的相位信息。号，且保留原了信号的相位信息。（5）两个非同频率的周期信号互不相关。）两个非同频率的周期信号互不相关。 （6）随机信号的自相关函数将随）随机信号的自相关函数将随 的增大快速衰
22、减。的增大快速衰减。21:27234典型信号相关分析实验21:2723521:27236案例：案例：机械加工表面粗糙度自相关分析机械加工表面粗糙度自相关分析 被测工件被测工件相关分析相关分析性质性质3,3,性质性质4:4:提取出回转误差等周期性的故障源。提取出回转误差等周期性的故障源。相关分析工程应用-粗糙度分析21:27237相关分析工程应用-粗糙度分析性质性质3,4:3,4:提取出回转误差等周期性的故障源。提取出回转误差等周期性的故障源。原因不明原因不明粗糙度分析粗糙度分析21:27238相关分析工程应用-轴心轨迹测量轴心轨迹测量相关相关信号信号T/4（4 4）随机噪声信号的自相关函数将随
23、）随机噪声信号的自相关函数将随 的增大快的增大快速衰减。速衰减。（5 5）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留了原信号的相位信息。期信号，且保留了原信号的相位信息。21:27239理想信理想信号号干扰信干扰信号号实测信实测信号号自相关系自相关系数数性质性质3 3，性质，性质4 4：提取周期性转速成分。提取周期性转速成分。案例：自相关测转速21:272400240480720960120014409409901040(a)Speed (r/min)0240480720960120014409409901040(b)Speed (r/min)
24、0240480720960120014409409901040(c)Crank Angle (degCA)Speed (r/min)每周采样每周采样43个点。每循环采样个点。每循环采样86个点。显示个点。显示2个循环的数据。个循环的数据。循环周循环周期期发火周发火周期期案例：案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断21:27241020406080100120140160180-1-0.500.51020406080100120140160180-0.500.51020406080100120140160180-0.500.51每周采样每周
25、采样43个点。每循环采样个点。每循环采样86个点。显示个点。显示2个循环的数据。个循环的数据。自相关函数自相关函数案例：案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断21:272420120240360480600720-1-0.500.51Crank Angle (degCA)CorrelationHealthy#1 Misfire#1&2 Misfire作一个循环内转速信号的的自相关函数，其周期为发火周期。作一个循环内转速信号的的自相关函数，其周期为发火周期。240degCA时的相关系数可用作诊断特征。时的相关系数可用作诊断特征。发火周发火周
26、期期自相关分析的主要应用：自相关分析的主要应用：用来检测混肴在干扰信用来检测混肴在干扰信号中的确定性周期信号号中的确定性周期信号成分。成分。案例：案例：基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断基于转速测量和自相关分析的发动机失火故障诊断21:27243案例：案例：地下输油管道漏损位置的探测地下输油管道漏损位置的探测X1X2互相关分析的主要应用：互相关分析的主要应用：滞后时间确定滞后时间确定信号源定位信号源定位测速测速测距离测距离vS2121:27244案例：案例：地震位置测量地震位置测量21:272451m1m声源声源传感器传感器传感器传感器声波传播速度测量声波传播速度测量 3ms1/0.
27、003=333m/s案例：案例：地震位置测量地震位置测量21:27246声源位置测量声源位置测量 6m？传感器传感器传感器传感器声源声源案例：案例：地震位置测量地震位置测量21:27247相关函数总结：相关函数总结：xyx t y tdtxt dtyt dt( )( ) ()( )( )/221 21 1、数学公式：、数学公式：2 2、特性：、特性：（1）自相关函数是）自相关函数是 的偶函数，的偶函数，RX( )=Rx(- )；（2）当）当 =0 时，时，自相关函数具有最大值。自相关函数具有最大值。（3）周期信号的自相关函数仍然是同频周期信号，）周期信号的自相关函数仍然是同频周期信号，但不保留
28、相位信息。但不保留相位信息。（5）两周期信号互相关仍然是同频率周期信号，）两周期信号互相关仍然是同频率周期信号，且保留相位信息。且保留相位信息。（6）两个非同频率的周期信号互不相关。）两个非同频率的周期信号互不相关。（4）随机噪声信号的自相关函数将随）随机噪声信号的自相关函数将随 的增大快的增大快速衰减。速衰减。3 3、工程应用、工程应用相关函数总结21:272481 1、如何在噪声背景下提取信号中的周期信息，、如何在噪声背景下提取信号中的周期信息，简述其原理？简述其原理？2 2、简述相关测速、相关测距的原理？、简述相关测速、相关测距的原理？3 3、求周期为、求周期为T T，幅值为，幅值为A
29、A的方波的自相关函数？的方波的自相关函数？tAT相关分析思考题4、已知两个同频正弦信号，求其互相关函数，并、已知两个同频正弦信号，求其互相关函数，并画出图形画出图形x(t)Asin(t+ )y(t)Bsin(t+)21:27249作业q已知两个同频正弦信号，求其互相关函数，已知两个同频正弦信号，求其互相关函数，并画出图形并画出图形x(t)Asin(t+ )y(t)Bsin(t+)两个同频正弦信号的互相关函数两个同频正弦信号的互相关函数21:27250动手做：动手做：用计算机上的双声道声卡用计算机上的双声道声卡进行相关分析实验。进行相关分析实验。动手做实验21:27251FT的性质-卷积定理-补
30、充知识补充：时域相关与卷积相关方面的知识补充：时域相关与卷积相关方面的知识1、时差域相关分析概念、时差域相关分析概念2、相关系数及其性质、相关系数及其性质4、相关分析的工程应用、相关分析的工程应用5、卷积定义、卷积定义6、卷积的性质、卷积的性质7、卷积与相关、卷积与相关8、卷积定理、卷积定理21:272525、卷积积分信号的时域分解与卷积积分信号的时域分解与卷积积分5.1、信号的时域分解、信号的时域分解(1) (1) 预备知识预备知识p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)问问 f1(t) = ? p(t)直观看出直观看出)(A)(1tptf21:272535、卷积积分(2) (2)
31、 任意信号分解任意信号分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为宽度为，用，用p(t)表示为表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f() ,宽度宽度为，用为，用p(t - - )表示为：表示为： f() p(t - - )“- -1”号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为，用、宽度为，用p(t + +)表示表示为为： f ( - - ) p(t + + )nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftf21:272545、卷积积分5.2、任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应
32、LTI系统LTI系统零状态零状态yf(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t) h(t) 由时不变性：由时不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齐次性：由齐次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性：d)()(tfd)()(thff (t)yf(t)d)()()(thftyf卷积积分卷积积分21:272555、卷积运算-定义与物理意义q5.3、卷积定义：、卷积定义：q 物理意义：描述线性时不变系统的输入与输出关系，即系统物理意义：描述线性时不变系统的输入与输出关系，即系统的输出的输出y(t)是任意输入是任意输入x(t)与系统脉冲响应函数与系统脉冲响应
33、函数h(t)的卷积。的卷积。q 运算过程：运算过程： x(t)为多个宽度为为多个宽度为t的窄条面积之和；的窄条面积之和； 线性系统齐次性与时不变性；线性系统齐次性与时不变性； 叠加：叠加：( )( ) ()( )( )y txh tdx th t)()(lim0tntthtnxt00)()(lim)(nttntthtnxty21:272565、卷积运算几何作图法5.4、卷积运算的几何作图法、卷积运算的几何作图法q任意给定某个任意给定某个t0，卷积运算图解步骤为：卷积运算图解步骤为： 第一步第一步 换元换元先把两个信号的自变量变为先把两个信号的自变量变为 ，即两个信号变即两个信号变为为x( )与
34、与h( )。 第二步第二步 反折反折将将h( )以纵轴为中心轴翻转以纵轴为中心轴翻转180 , h(- )； 第三步平移第三步平移给定一个给定一个t0值，将值，将h(- )波形沿波形沿 轴平移轴平移|t0|。在。在t00时，波形往右移。这样就得到了时，波形往右移。这样就得到了h(t0 - )的波形；的波形； 第四步第四步 相乘相乘将将x( )和和h(t0- )相乘，得到卷积积分式中的被相乘，得到卷积积分式中的被积函数积函数x( )h(t0 - ) ；21:272575、卷积运算几何作图法 第五步第五步 叠加叠加(积分积分)计算乘积信号计算乘积信号x( )h(t0- )波形与波形与 轴之间轴之间
35、包含的净面积，便是式包含的净面积，便是式 卷积在卷积在t0时刻的值时刻的值y(t0)。 第六步第六步 重复重复 令变量令变量t0在在(-，)范围内变化，重复第三、四、范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号五步操作，最终得到卷积信号x( ) *h( )。dthx )()(0换积分变量换积分变量 反折反折平移平移相乘相乘叠加（积分）叠加（积分）21:272585、卷积运算几何作图法-例换元、换元、反折反折积分积分平移相乘平移相乘平移相乘平移相乘21:272595、举例：图解法求卷积、举例：图解法求卷积图解法图解法一般比较繁琐，一般比较繁琐，确定积分的上下限是关键。确定积分的上下限是关
36、键。q举例)()(ete或01211或t)(h021（）变量替换后，将其中一信号反折（）变量替换后，将其中一信号反折（）平移（左移到与另一信号没有重合后（）平移（左移到与另一信号没有重合后,再右移再右移)*解解:)()(hth或021或tt-221:272605、举例：图解法求卷积、举例：图解法求卷积( )121bt )(e0t1)(th211231)(tc16343)(211)(*)(121tdtthte1( )12bt 16144)(211)(*)(221tdtthtet)(e0t1)(th211231)(tc（）相乘（）相乘1( )2at 0)(*)(thte)(e0t1)(th2112
37、1)(ta21:272615、举例：图解法求卷积、举例：图解法求卷积)(e0t1te3)()(th211323)(td)(e0t1)(th211323)(td4324)(211)(*)(212ttdtthtette3)(0)(*)(thte（）相乘（）相乘21:272625、举例：图解法求卷积、举例：图解法求卷积（4）相加：）相加：以上各图中的以上各图中的阴影面积阴影面积，即为，即为相乘积分的结果相乘积分的结果 若以若以t为横坐标，将与为横坐标，将与t对应积分值描成曲线，就是卷积对应积分值描成曲线，就是卷积积分积分e(t)*h(t)函数图像。函数图像。)(*)(thte023169t)(th2
38、11161523卷积积分结果21:272635、举例：求某一时刻卷积值图解法图解法一般比较繁琐，一般比较繁琐，确定积分确定积分的上下限是关键。的上下限是关键。但若只求某一但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。时刻卷积值时还是比较方便的。例：例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)解解：d)2()()2(12fff（1）换元）换元（2） f1( )得得f1( )（3） f1( )右移右移2得得f1(2 )（4） f1(2 )乘乘f2
39、( )（5）积分，得）积分，得f(2) = 0（面积为（面积为0）21:27264f ( t )t0211th ( t )2205、举例：图解法计算卷积f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1h( )f (t - )2013例例 f (t) ,h(t) 如图所示，求如图所示，求yzs(t)= h(t) * f (t) 。解：解：采用图形卷积采用图形卷积 。 f ( t - -)f ()反反折折 f (- -)平平移移t t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yzs(t)
40、= 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytzs 1t 2时，时， f ( t -)向右移向右移4121d21)(1ttyttzs 3t 时时f ( t - -) h() = 0，故故 yzs(t) = 0 2t 3 时时432141d21)(221tttytzsh(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f ()21:27265例：例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yzs(t)。解：解： yzs(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt当当t t
41、时，时，(t -) = 0ttttzstyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e3232325、举例：定义计算卷积21:272665、卷积的几何作图法解释q求求x(t)与与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数的卷积，实质上是求一个新函数x( )h(t)在在 由由0到到t的区间内的定积分。根据定积分的几何意的区间内的定积分。根据定积分的几何意义，函数在义，函数在0到到t区间内的定积分值，决定于被积函数区间内的定积分值，决定于被积函数x( )h(t)的曲线在该区间内与的曲线在该区间内与 轴之间所限定的面积。轴之间所限定的面积。q在上述一个信号
42、的反褶信号的滑动过程中，它与另在上述一个信号的反褶信号的滑动过程中，它与另外一个信号的重合面积随外一个信号的重合面积随t的变化曲线就是所求的两的变化曲线就是所求的两个信号的卷积的波形。个信号的卷积的波形。可以根据上面的几何解释来估计或求出可以根据上面的几何解释来估计或求出两个信号卷积运算结果。两个信号卷积运算结果。21:272675、附：卷积表121:272685、附：卷积表221:272696.1 卷积代数性质卷积代数性质 作为一种数学运算，卷积运算遵守代数（乘法）运算的某些规律作为一种数学运算，卷积运算遵守代数（乘法）运算的某些规律（1）互换律互换律 设有设有f1(t)、 f2(t)两函数
43、，则两函数，则 表明表明卷积结果与两函数的次序无关卷积结果与两函数的次序无关 tftftftf221（2）分配律：设有分配律：设有f1(t)、 f2(t) 、f3(t)三函数，则三函数，则 实际上这个结果也是线性系统实际上这个结果也是线性系统叠加特性叠加特性的体现的体现（3）结合律：设有）结合律：设有f1(t)、 f2(t) 、f3(t)三函数，则三函数，则 )()(3121321tftftftftftftf )()(321321tftftftftftf 卷积的计算类似于函数的乘法计算。它的很多性质卷积的计算类似于函数的乘法计算。它的很多性质与乘法运算性质相同，但是也有一些不同。通过这些性与乘
44、法运算性质相同，但是也有一些不同。通过这些性质，可以方便卷积的计算。质，可以方便卷积的计算。 6、卷积的性质21:27270 卷积代数运算与乘法运算的规律相同，但卷积的卷积代数运算与乘法运算的规律相同，但卷积的微分或积分微分或积分却与函数相乘的微分或积分性质不同。却与函数相乘的微分或积分性质不同。(1) 函数相卷积后的微分函数相卷积后的微分 两个函数卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函两个函数卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函数的卷积。数的卷积。其表示式为：其表示式为： )()()()()()(212121tfdttdfdttdftftftfdtd(2) 函数相卷积后的积分函
45、数相卷积后的积分 两个函数相卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个两个函数相卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个函数的卷积。函数的卷积。 其表示式为：其表示式为：6.2、卷积的微分和积分性质)(*)()(*)()(*)(212121tfdfdftfdffttt(3) 在在f1() = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)21:272716.2、举例：卷积的微积分例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et (t)，求求f1(t)* f2(t) 解：通常复杂函数放前面，代入定义式得解：通常复杂函数放前面，
46、代入定义式得 1eded)(e)()(0120tftf注意：套用注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显显然是错误的然是错误的。例例2：f1(t) 如图，如图， f2(t) = et (t)，求，求f1(t)* f2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解：解： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et) (t) 1- e(t-2) (t-2) 21:272726.2、举
47、例：卷积的微积分例例3：已知已知f (t)，h(t)，求，求g(t)=f1(t)* h(t) )()()()1(thtftg 323212310tttttt11111 )(tf)(thtt2OO1tO11t2 )(1tf )(th O)1()1( f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)21:27273卷积的时移特性卷积的时移特性两函数经延时后的卷积等于两函数卷积后延时，其延时量为两两函数经延时后的卷积等于两函数卷积后延时，其延时量为两函数分别延时量的和。函数分别延时量的和。如果如果则有则有)()()(21tftftf)()()()()()()(21212122112211
48、tttftttftftftttfttfttf6.3、卷积的时移特性21:272746.3、举例：卷积的时移特性例：例：f1(t)， f2(t)如图，求如图，求f1(t)* f2(t)t11-1f 1(t)t102f 2(t)0解：解：f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t)=2 (t)* (t+1)2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) +2 (t 1)* (t 1) 由于由于 (t)* (t) = t (t)，据时移特性，有：，据时移特性，有：f1(t)* f2(t) = 2(t+1) (t+1) - 2(t
49、 1) (t 1)2t (t) +2(t 2) (t 2)21:272756.4、脉冲函数的卷积运算q函数与单位冲激函数的卷积函数与单位冲激函数的卷积q一个函数与单位冲激函数的卷积，等价于把该函数一个函数与单位冲激函数的卷积，等价于把该函数平移到单位冲激函数的冲激点位置。亦称单位冲激平移到单位冲激函数的冲激点位置。亦称单位冲激函数的函数的搬移特性搬移特性)()()(00ttxtttx21:27276)()(*)(tfttf)()(*)(00ttftttf)( )( *)(tfttf)( )( *)(00ttftttf)()(*)(0)(0)(ttftttfnntdfttf)()(*)( (t)
50、 (t) =t (t) ，e t (t) e t (t)=t e t (t) 若若f(t)=fa(t)*fb(t)，fa(t)定义在定义在(ta1，ta2)， fb(t)定义在定义在(tb1，tb2)，则则f(t)的定义范围为：的定义范围为：(ta1 +tb1， ta2 + tb2)6.4、几个特殊函数的卷积21:272776.5、求解卷积的方法求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。图解法。特别适用于求
