1、高等数学常微分方程高等数学常微分方程( (本科本科) )全册全册配套精品完整课件配套精品完整课件例例 1 1 一一曲曲线线通通过过点点(1,2),且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点),(yxM处处的的切切线线的的斜斜率率为为x2,求求这这曲曲线线的的方方程程.解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其中其中,2Cxy 即即, 1 C求求得得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为一、问题的提出一、问题的提出例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, ,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速
2、速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 代入条件后知代入条件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0 tdtdsv故故),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005020502 . 02米米 s开始制动到列车完全停住共
3、需开始制动到列车完全停住共需微分方程微分方程: :含有未知函数及其导数方程叫微分方程含有未知函数及其导数方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 实质实质: : 联系自变量联系自变量, ,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数( (或微分或微分) )之间的关系式之间的关系式. .二、微分方程的定义二、微分方程的定义微分方程的阶微分方程的阶: : 微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之. ., 0),( yyxF一阶微分方程);,(yxfy 0),()(nyyyxF),
4、() 1()(nnyyyxfy(n(n阶阶显式显式微分方程微分方程) )或或分类分类2 2: : 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类分类3 3: : 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组. . ,2,23zydxdzzydxdy微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. . ,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：三、主要问题三、主要问题-求方程的解求
5、方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数, ,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同. .(2)(2)特解特解: : 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. ., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .过定点的积分曲线过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyx
6、x一阶一阶:二阶二阶:0001( , ,),x xx xyf x y yyyyy过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .例例 3 3 验证验证:函数函数ktCktCxsincos21 是微分是微分方程方程0222 xkdtxd的解的解. 并求满足初始条件并求满足初始条件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将
7、xdtxd. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件; 特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线;四、小结四、小结思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意
8、常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.三三、设设曲曲线线上上点点),(yxP处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为Q, ,且且线线段段PQ被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin(
9、21cxcy 所含的参数所含的参数, ,使其使其 满足初始条件满足初始条件1 xy, ,0 xy. .练练 习习 题题四四、已已知知函函数数1 xbeaeyxx, ,其其中中ba ,为为任任意意常常 数数, ,试试求求函函数数所所满满足足的的微微分分方方程程 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、3 3； 2 2、2 2； 3 3、1 1； 4 4、2.2.二、二、.2, 121 CC三、三、02 xyy. .四、四、xyy 1. .一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 称为可分离变量的微分方程称为可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如
10、,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(分离变量法分离变量法CxFyG )()(dxxfdyyg)()( yxxy23ddxxyyd3d2xxyyd3d213lnCxyCxylnln313eCxy31eexC3exCy 1eCC令解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰变系数衰变系数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM
11、0衰变规律衰变规律例例 3. 英国人口学家马尔萨斯英国人口学家马尔萨斯(Malthas,1766-1834)根据百余年根据百余年的统计资料，于的统计资料，于1798年提出了闻名于世的所谓马尔萨斯人口年提出了闻名于世的所谓马尔萨斯人口模型，若时刻模型，若时刻 t 时的人口人数为时的人口人数为N(t)，初始时刻，初始时刻(t=0)的人口的人口为为 ，假设人口增长率为常数，假设人口增长率为常数r（即单位时间内人口的增长量（即单位时间内人口的增长量与当时的人口量成正比）。根据马尔萨斯理论，从时刻与当时的人口量成正比）。根据马尔萨斯理论，从时刻t到时到时刻刻t+t的人口增长量是的人口增长量是()( )=
12、( )N ttN trN tt()( )=( )N ttN trN tt从而0N0t 令就得到人口数所应满足的微分方程，0(0)dNrNdtNN即0()( )lim( ),tN ttN trN tt 求解该微分方程得到：显然，如果r0，人口将按指数规律随时间无限增长增长，出现人口爆炸,这个模型虽然与19世纪以前欧洲一些地区的人口数据十分吻合，但它与自那以后的人口资料相比出现较大的偏差，后来，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这一假设，注意到自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，人们将马尔萨斯
13、模型修正为下述阻滞增长模型（Logistic模型）：0=rtN N e0(0)dNrNdtNN00(1)=( )1 (1)mmmrtmdNNrNNNdtNNNN tNeN，（0）其中，表示自然资源和环境条件所容许的最大人口数量，这是一个更为合理的人口模型。求解该模型得到：( )()()(), ,0,=0()0,mmmrN tr Nr NNr NrsN r srNrr NrsNsN将增长率 表示为人口的函数，是 的减函数，并设这里 相当于时的增长率，称为固有增长率(由得)。dNrNdt分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.二、小结二、小结思考
14、题思考题求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考题解答思考题解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 为所求解为所求解.edd的通解求方程yxxyxyxydedeCxyee01e)e(yxC, yxu令yu1则uue1Cxuue1dCxuu)e1 (lnCyyx)e1(ln一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(
15、32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .练练 习习 题题三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开
16、始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二、二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、y
17、excos221 . .三、三、3 .269 v厘米厘米/ /秒秒. .四、取四、取 0 0 为原点为原点, ,河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为轴轴x, ,轴轴y指向对指向对 岸岸, ,则所求航线为则所求航线为)312(32yyhakx . .一、齐次方程一、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos
18、( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 解解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,dyduyuxuxdxdx则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 22222(32),11
19、uuu uuxuuuuuu ( , )( , )( , )( , )0( ,)( , ),( ,)( , )mmdyM x ydxN x yM x yN x yxymtM tx tyt M x yN tx tyt N x y该题属于型的齐次方程，其中函数和都是和 的同次（比如 次）齐次函数，即对有x由光的反射定律由光的反射定律:可得可得 OMA = OAM = 例例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由它的形状由)0()(:yxfyL解解: 将光源所在点取作坐标原点将光源所在点取作坐标原点, 并设并设入射角入射角 = 反射角反射角xycotxyy22y
20、xOMTMAPy能的要求能的要求, 在其旋转轴在其旋转轴 (x 轴轴)上一点上一点O处发出的一切光线处发出的一切光线从而从而 AO = OMOPAP xOy坐标面上的一条曲线坐标面上的一条曲线 L 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成, 按聚光性按聚光性而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 : xyy22yx yO经它反射后都与旋转轴平行经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线求曲线 L 的方程的方程.21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得积分得故有故有1222CvyCy, xvy代入得得)2(22CxCy (抛物线抛物线)
21、221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程) yxAO顶到底的距离为顶到底的距离为 h ,hdC82说明说明:2,2dyhCx则将则将这时旋转曲面方程为这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得代入通解表达式得)0,(2C)2(22CxCy二、可化为齐次的方程二、可化为齐次的方程的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy 为齐次方程为齐次方程. .,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是
22、待定的常数）是待定的常数）dYdydXdx ,否则为非齐次方程否则为非齐次方程. .)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2. 解法解法1.1.定义定义 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一组解有唯一一组解.)(11YbXabYaXfdXdY 得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba11()dyaxcfdxa xc原方程变为, 0, 01 ab若若1()dyaxbycfdxc原方程变为, 0 b若若,byaxz
23、 令令),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb （可分离变量的微分方程）（可分离变量的微分方程）（可分离变量的微分方程）（可分离变量的微分方程）,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方程可化为方程可化为，则则dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb ,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量可分离变量.314的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu ,11uudXduXu 分离
24、变量法得分离变量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程变为方程变为利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解.)(52的通解的通解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21duudx ,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy ()()0.f xy ydxg xy xdy例6求方程通解,xyu 令令,
25、ydxxdydu 则则( )( ) ()0,f u ydxg uduydx, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解) 1(sin2yxy, 1yxuyu1uu2sin1xuuddsec2CxutanCxyx) 1tan(三、小结三、小结齐次方程齐次方程( )( )dyydxxdxxdyy或齐次方程的解法齐次方程的解法yxuvxy令或可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程.,kYyhXx 令令思考题思考题方程方程2202 ( )( )( )xy tty tdtxy x是否为齐次方程是否为
26、齐次方程?思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.一、一、 求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解: : 1 1、0)(22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dyyxedxeyxyx. .二、二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy . .三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程, ,并
27、求出通解并求出通解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0)642()352( dyyxdxyx. .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. .二、二、1 1、322yxy ； 2 2、yxyx 22. .三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、Cxyxy 2)32)(34(. .)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当一、线性方
28、程一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dx
29、xPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()( )( )( )( )( ),P x dxP x dxyu x eu xP x e代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶
30、线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解)()(xQyxPdxdy dxxPexuy)()(.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1例例2 2 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之
31、长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.二、伯努
32、利方程二、伯努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy 1 12dzdydxdxy则,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.
33、224 Cxxy即即解解例例 3例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx ;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ;
34、1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为1.1.一阶线性方程一阶线性方程d( )( )dyP x yQ xx方法方法1 1 先解齐次方程先解齐次方程, ,再用常数变易法再用常数变易法. .方法方法2 2 用通解公式用通解公式三、小结三、小结( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC( )( );P x dxyu x e令( )( );P y
35、 dyxu y e(或( )( )( )P y dyP y dyxeQ y edyC（或）d( )( )dxP y xQ yy或化为线性方程求解化为线性方程求解. .2. 2. 伯努利方程伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n;1zyn 令令d( )( )(0,1)dnxP y xQ y xny(或1);nxz(或思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考题解答思考题解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyy
36、ycoscossin2cos .cos2cosyCy 1.判别下列方程类型判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离变可分离变量方程量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方程221dd2xyxxy线性方程线性方程221dd2yxyyx线性方程线性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方伯努利方程程2. 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0令令txu提示提示:u
37、ufxxfxd)(sin)(0则有则有xxfxfcos)()(0)0(f线性方程线性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出利用公式可求出3. 设有微分方程设有微分方程, )(xfyy其中其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件试求此方程满足初始条件00 xy的连续解的连续解.解解: 1) 先解初值问题先解初值问题10, 2xyy00 xy利用通解公式利用通解公式, 得得xyde1dde2Cxx)e2(e1CxxxCe21利用利用00 xy得得21C故有故有) 10(e22xyx2) 再解初值问题再解初值问题1,0 xyy11e22) 1 ( yyx此齐次线性方程
38、的通解为此齐次线性方程的通解为) 1(e2xCyx利用衔接条件得利用衔接条件得) 1(e22C因此有因此有) 1(e) 1(e2xyx3) 原问题的解为原问题的解为y10),e1 (2xx1,e) 1(e2xx) 10(e22xyx一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxd
39、y练练 习习 题题三、设有一质三、设有一质的的量为量为m质点作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正比一与速度成正比(比例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系 .四、四、 求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.五、五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当
40、的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其中其中 0,010,2)(xxxg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满足条件足条件0)0( y, ,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCxysin)( ； 2 2、Cyyx 2lnln2； 3 3、2321yCyx . .二、二、1 1、1
41、5sincos xexy； 2 2、113322 xexxy. .三、三、)1(022121tmkekmktkkv . .四、四、1 1、Cxxy ； 2 2、)32(ln32322 xxCyx. .五、五、1 1、Cxyx 2)(2； 2 2、Cxxy 1sin1； 3 3、Cxxyxy 4)2sin(2. .六、六、 1,)1(210, )1(2)(xeexexyyxx. .一、全微分方程及其求法一、全微分方程及其求法;),(Cyxu 1.定义:0),(),( dyyxQdxyxP则dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式例如, 0 ydyxdx221( , )(),
42、2u x yxy称为全微分方程或恰当方程是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程全微分方程的通解即为221()2xyC其通解为2.解法:0),(),( dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关.xQyP yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy 用直接凑全微分的方法.是全微分方程( , )uP x yx( , )( , )( )u x yP x y dxC y再由( , )uQ x yy( )C y（不定积分法)（曲线积分法)（凑微分法).0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解,6xQxy
43、yP 是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为,42344224yyxx 例1.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解,64xQyxyP 是全微分方程,将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为),1(32yxyd 例2二、积分因子法二、积分因子法定义: 0),( yx 连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全微分方程微分方程. .则称则称),(yx 为方程的为方程的
44、积分因子积分因子. .问题: 如何求方程的积分因子?1.公式法:,)()(xQyP xQxQyPyP ，两边同除两边同除 xQyPyPxQ lnln求解不容易特殊地:;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y ,dxdx ;.有关时有关时只与只与当当yb ln1()dPQdxQyx( )f x.)()( dxxfex , 0 x ,dydy ln1()dQPdyPxy( )g y.)()( dyygey 2.观察法:凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(21
45、2222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx .0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( .x 例3则原方程为, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd , 0 原方程的通解为.)(2123Cxyyx .0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解将方程左端重新组合,有例4 求微分方程, 02222
46、dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为.)(322322Cyxx .0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解将方程左端重新组合,有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx 例5 求微分方程.132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解1整理得,112xyxdxdy A 常数变易法:B 公式法:.4343Cx
47、xxyy 通解为通解为.1xCy 对应齐方通解对应齐方通解.1)(xxCy 设设.43)(43CxxxC ,11211Cdxexeydxxdxx 例6解2整理得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A 用曲线积分法:,)1()(),(0032 yxdyxdxxxyxuB 凑微分法:, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyydC 不定积分法:,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx , 1)( yC,)(yyC 原方
48、程的通解为.4343Cxxxyy 三、一阶微分方程小结三、一阶微分方程小结分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程一、一、 判别下列方程中哪些是全微分方程判别下列方程中哪些是全微分方程, ,并求全微分方并求全微分方程的通解程的通解: :1 1、0)2( dyyxedxeyy；2 2、0)(22 xydydxyx；3 3、02)1(22 dede. .二、二、 利用观察法求出下列方程的积分因子利用观察法求出下列方程的积分因子, ,并求其通并求其通解解: :1 1、02 xdxyxdyydx；2 2、dxyxydyxdx)(22 ； 3 3、0)1()1
49、( xdyxyydxxy. .练 习 题三、三、 验证验证)()(1xygxyfxy 是微分方程是微分方程 0)()( dyxyxgdxxyyf的积分因子的积分因子, ,并求方程并求方程0)22()2(2222 dyyxxdxyxy的通解的通解 . .四、四、 已知已知21)0( f, ,试确定试确定)(xf, ,使使0)()( dyxfydxxfex为全微分方程为全微分方程, ,并求此并求此全微分方程的通解全微分方程的通解 . .练习题答案一、一、1 1、Cyxey 2； 2 2、不是全微分方程；、不是全微分方程； 3 3、Ce )1(2 . .二、二、1 1、Cxyx 22； 2 2、xC
50、eyx222 ； 3 3、xyCeyx1 . .三、三、2212yxeCyx . .( (或或Cyxyx 22211ln) )四、四、Cyxexexfxx )21(, )21()(. .),(yxfy 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、 型的微分方程 一、一、令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过n次积分, 可得含n个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程 ( )( )nyf x例例1.1. .cose2xyx 求解解
