1、21世纪是信息数字化的时代，世纪是信息数字化的时代，“数字逻辑设计数字逻辑设计”是数字技是数字技术的基础，是电子信息类各专业的主要技术基础课程之一。术的基础，是电子信息类各专业的主要技术基础课程之一。脉冲与数字电子技术的应用非常广泛。脉冲与数字电子技术的应用非常广泛。电视技术电视技术雷达技术雷达技术通信技术通信技术计算机、自动控制计算机、自动控制航空航天航空航天1.1.1数字信号数字信号1.1.2数制及其转换数制及其转换1.1.3二十进制代码（二十进制代码（BCD代码）代码）1.1.4算术运算与逻辑运算算术运算与逻辑运算1.1.5数字电路数字电路Introduction1.1.1数字信号数字信
2、号概念概念在时间上和数量上都不连续，变化总是发生在一系列离散在时间上和数量上都不连续，变化总是发生在一系列离散的瞬间，数量大小和每次的增减变化都是某一个最小单位的整的瞬间，数量大小和每次的增减变化都是某一个最小单位的整数倍，这一类物理量叫做数倍，这一类物理量叫做数字量数字量。表示数字量的信号称为。表示数字量的信号称为数字数字信号信号。工作在数字信号下的电路叫做。工作在数字信号下的电路叫做数字电路数字电路。数字电路中采用只有数字电路中采用只有0、1两种数值组成的数字信号。两种数值组成的数字信号。？回顾与思考：回顾与思考：数字信号与模拟信号有何区别？数字信号与模拟信号有何区别？模拟信号在时间上和数
3、值上都具有连续变化的特点。在某模拟信号在时间上和数值上都具有连续变化的特点。在某一瞬间的值可以是一个数值区间内的任何值。一瞬间的值可以是一个数值区间内的任何值。(b)(c)tt为一拍为一拍图1-1 数字信号(a)1110110001表示方法表示方法(1) 用用0、1数值表示数值表示(2) 用用低低和和高高电位表示电位表示(3) 用脉冲信号的用脉冲信号的无无和和有有表示表示高电位高电位低电位低电位脉冲脉冲演演 示示演演 示示式中，式中，ai为十进制数的任意一个数码；为十进制数的任意一个数码；n、m为正整数，为正整数，n表示表示整数部分数位，整数部分数位，m表示小数部分数位。表示小数部分数位。1.
4、1.2数制及其转换数制及其转换十进制数采用十进制数采用0 0、1 1、9 9十个不同的数码；在计数时，十个不同的数码；在计数时，采用采用“逢十进一逢十进一”及及“借一当十借一当十”。各个数码处于十进制数的。各个数码处于十进制数的不同数位时，代表的数值是不同的，这些数值称为不同数位时，代表的数值是不同的，这些数值称为位权位权。对于。对于任意一个十进制数都可以按位权展开：任意一个十进制数都可以按位权展开：十进制数十进制数mmnnnnmnnaaaaaaaaaaaaaaN 101010 10101010 .)(22110011221121012110 110nmiiia上述十进制数按位权展开的方法，可
5、以推广到任意进制的上述十进制数按位权展开的方法，可以推广到任意进制的计数制。对于一个基数为计数制。对于一个基数为R( (R2)2)的的R进制计数制，共有进制计数制，共有0 0、1 1、( (R-1)-1)个不同的数码，则一个个不同的数码，则一个R进制的数按位权可展开进制的数按位权可展开为：为：mmnnnnmnnRRaRaRaRaRaRaRaaaaaaaaN 221100112211210121 .)( 1nmiiiRa这种计数法叫做这种计数法叫做“R进制进制”计数法，计数法，R称为计数制的称为计数制的基数基数或或称为计数的称为计数的模模( (mod) )。在数。在数N的表示中，用下角标或的表示
6、中，用下角标或( (mod= =R) )来来标明模。标明模。二进制数二进制数二进制数只有二进制数只有0和和1两个数码，在计数时两个数码，在计数时“逢二进一逢二进一”及及“借一当二借一当二”。二进制的基数是。二进制的基数是2 2，每个数位和位权值为，每个数位和位权值为2 2的幂。的幂。二进制数可以按位权展开为：二进制数可以按位权展开为：mmnnnnmnnaaaaaaaaaaaaaaN 222 2222 .)(2211001122112101212 12nmiiia式中，式中，ai为为0或或1数码；数码；n、m为正整数，为正整数，2i为为i位的位权值。位的位权值。21012322120212021
7、21(1101.01) 例如：例如：八进制和十六进制八进制和十六进制八进制数有八进制数有07八个数码，基数为八个数码，基数为8，八进制数表示为：，八进制数表示为： 188)(nmiiiaN十六进制数有十六进制数有09、AF十六个数码符号，其中十六个数码符号，其中AF六六个符号依次表示个符号依次表示1015。 11616)(nmiiiaN1018848681(16.4) 例如：例如：1011616121661610(A6.C) 例如：例如：十进制十进制二进制二进制八进制八进制十六进制十六进制十进制十进制二进制二进制八进制八进制十六进制十六进制000012110014C111113110115D2
8、102214111016E3113315111117F4100441610000201051015517100012111611066181001022127111771910011231381000108201010024149100111932100000402010101012A10011001001446411101113B1000111110100017503E8表1-1 二、八、十、十六进制的对照关系 不同进制数的转换不同进制数的转换(1) 将将R进制数转换成十进制数进制数转换成十进制数将将R R进制数转换为等值的十进制数，只要进制数转换为等值的十进制数，只要将将R进制数按位权进制
9、数按位权展开，再按十进制运算规则运算展开，再按十进制运算规则运算即可。即可。转换成十进制数。转换成十进制数。将二进制数将二进制数例例201111010 11 . 3210123422121 202021202121011.11010解解 10375260.1250.250020816 . 按位权展开按位权展开按十进制运算规则运算按十进制运算规则运算 4B.AF12 31 16转转换换成成十十进进制制数数。将将十十六六进进制制数数例例 1021012316703125.4783 0.0156250.6875516011254096 1641611 161516101621614B.AF12 解解
10、 504.137 21 8转换成十进制数。转换成十进制数。将八进制数将八进制数例例 1032101286328125.95 0078125. 00625. 074264 848085878381504.137 解解(2) 将十进制数转换成将十进制数转换成R进制数进制数将十进制数的整数部分和小数部分分别进行转换，然后合将十进制数的整数部分和小数部分分别进行转换，然后合并起来。并起来。a) 将给定的十进制数除以将给定的十进制数除以R，余数作为，余数作为R进制数的最低位进制数的最低位( (Least Significant Bit, LSB) )。b) 把前一步的商再除以把前一步的商再除以R，余数作
11、为次低位。，余数作为次低位。c) 重复重复b b步骤，记下余数，直至最后商为步骤，记下余数，直至最后商为0 0，最后的余数即，最后的余数即为为R进制的最高位进制的最高位( (Most Significant Bit, MSB) )。十进制数十进制数整数整数转换成转换成R进制数，采用进制数，采用逐次除以基数逐次除以基数R取余数取余数的方法，其步骤如下：的方法，其步骤如下： 53 41 10转转换换成成二二进进制制数数。将将十十进进制制数数例例 解由于二进制数基数为解由于二进制数基数为2，所以逐次除以，所以逐次除以2，取其余数（，取其余数（0或或1）：）：6 6 商商余数余数101011LSBMS
12、B所以所以 21011010153 53 51 10转转换换成成八八进进制制数数。将将十十进进制制数数例例 解由于八进制数基数为解由于八进制数基数为8，所以逐次除以，所以逐次除以8取其余数：取其余数：8 88 8商商余数余数所以所以 810 6553 十进制数十进制数纯小数纯小数转换成转换成R进制数，采用进制数，采用将小数部分逐次乘以将小数部分逐次乘以R，取乘积的整数部分作为取乘积的整数部分作为R进制的各有关数位，乘积的小数部进制的各有关数位，乘积的小数部分继续乘以分继续乘以R, ,直至最后乘积为直至最后乘积为0 0或达到一定的精度为止。或达到一定的精度为止。 375. 0 61 10转转换换
13、成成二二进进制制数数。将将十十进进制制小小数数例例 解解0.3750.3752 2750750 0 0.2 2500500 1 1.2 2000000 1 1.b-1= = 0b-2= = 1b-3= = 1所以所以 210 011. 0375. 0 %1 . 039. 0 71 10 。到到精精度度达达转转换换成成二二进进制制数数，要要求求将将十十进进制制小小数数例例 解由于精度要求达到解由于精度要求达到0.1%，需要精确到二进制小数，需要精确到二进制小数10位，位，即即1/210=1/1024。0.392 = 0.78 b-1= 00.782 = 1.56 b-2= 10.562 = 1.
14、12 b-3= 10.122 = 0.24 b-4= 00.242 = 0.48 b-5= 00.482 = 0.96 b-6 = 00.962 = 1.92 b-7 = 10.922 = 1.84 b-8 = 10.842 = 1.68 b-9 = 10.682 = 1.36 b-10= 1所以所以 210 0110001111. 039. 0 %1 . 039. 0 81 10 。精精确确到到转转换换成成八八进进制制数数，要要求求将将例例 解由于解由于 83 = 512，所以需精确到八进制小数的，所以需精确到八进制小数的4位，则位，则0.398 = 3.12 a-1= 30.128 = 0
15、.96 a-2= 00.968 = 7.68 a-3= 70.688 = 5.44 a-4= 5所以所以 (0.39)10=(0.3075)8综合整数和纯小数的转换方法，是将整数部分和小数部分综合整数和纯小数的转换方法，是将整数部分和小数部分分别进行转换，然后合并起来。例如分别进行转换，然后合并起来。例如(53.375)10转换成二进制数，转换成二进制数，按例按例1- -4和例和例1- -6的结果，得：的结果，得： 210 011.11010375.53 (3)基数基数R为为2k各各进制之间的互相转换进制之间的互相转换由于由于3 3位二进制数构成位二进制数构成1 1位八进制数，位八进制数，4
16、4位二进制数构成位二进制数构成1 1位位十六进制数，以二进制数为桥梁，即可方便地完成基数十六进制数，以二进制数为桥梁，即可方便地完成基数R为为2k各各进制之间的互相转换。进制之间的互相转换。 29D BE 91 16 转转换换成成八八进进制制数数。将将例例. 816 853216722D92EB16 276.123529D BE )1011 0110 0001 .1101 1110( )1101 1001 0010 .1110 1011(29D) (BE 即即：解解. 1.1.3二十进制代码（二十进制代码（BCD代码）代码）表示某一特定信息的数码代号叫做表示某一特定信息的数码代号叫做代码代码。
17、数字系统中常用。数字系统中常用与二进制数码相对应的与二进制数码相对应的0、1作为代码的符号，叫做作为代码的符号，叫做二进制码二进制码。以二进制以二进制码码表示一个十进制表示一个十进制数数的代码，称为的代码，称为二十进制码，二十进制码，即即BCD（Binary Code Decimal）码码。由于十进制数共有由于十进制数共有09十个数码，因此需要十个数码，因此需要4位二进制代位二进制代码来表示码来表示1位十进制数。位十进制数。二进制代码的二进制代码的位数位数n与需要编码的数（或信息）的与需要编码的数（或信息）的个数个数N之之间应满足以下关系：间应满足以下关系：2n-1N2nBCD码十码十进制数码
18、进制数码8421码码余余3码码2421码码5121码码6311码码单位间单位间距码距码余余3循环循环码码移存码移存码00000001100000000001100000010000110001010000010001001000010110001020010010100100010010100110111010030011011000110011011100100101100140100011101000111011001100100001150101100010111000100101111100011160110100111001100100001011101111170111101011
19、0111011010010011111110810001011111011101101110011101100910011100111111111100111010101000表1-3 常用BCD代码 有权有权BCD码码即代码中的每位二进制数码都有确定的位权值。如表即代码中的每位二进制数码都有确定的位权值。如表1- -3中的中的8421码、码、2421码、码、5121码、码、631- -1码等。码等。对于有权对于有权BCD码，可以根据位权展开求得所代表的十进制码，可以根据位权展开求得所代表的十进制数。例如：数。例如： 10 BCD1-316 10 BCD2421 10 BCD8421 8)1(
20、1103161110171120412111017112141800111 无权无权BCD码码即代码没有确定的位权值，不能按照位权展开求解所代表即代码没有确定的位权值，不能按照位权展开求解所代表的十进制数。如表的十进制数。如表1- -3中的余码、单位间距码、余循环码中的余码、单位间距码、余循环码等。这些代码都有其特点，适用于不同的场合。等。这些代码都有其特点，适用于不同的场合。用用BCD代码表示十进制数代码表示十进制数对于一个多位的十进制数，需要有与十进制位数相同的几对于一个多位的十进制数，需要有与十进制位数相同的几组组BCD代码来表示。例如：代码来表示。例如： BCD2421 236810
21、BCD8421 536410 0010 .0011 1100 11102 .8630101 .0011 0110 01005 .463 不能省略！不能省略！不能省略！不能省略！1.1.4算术运算与逻辑运算算术运算与逻辑运算当两个二进制数码表示数量大小时，它们之间可以进行数当两个二进制数码表示数量大小时，它们之间可以进行数值运算，称这种运算为值运算，称这种运算为算术运算算术运算。二进制数的算术运算法则和。二进制数的算术运算法则和十进制数的运算法则基本相同，只是相邻两位之间的关系是十进制数的运算法则基本相同，只是相邻两位之间的关系是“逢二进一逢二进一”及及“借一当二借一当二”。位二进制数码位二进制
22、数码0和和1，还可表示两种不同的状态，即数字，还可表示两种不同的状态，即数字电路中的逻辑状态。此时，二进制数码电路中的逻辑状态。此时，二进制数码0和和1之间将按照某种逻之间将按照某种逻辑关系进行辑关系进行逻辑运算逻辑运算。1.1.5数字电路数字电路对数字信号进行算术运算和逻辑运算的电路称为对数字信号进行算术运算和逻辑运算的电路称为数字电路数字电路。将众多的数字电路基本单元制作在一块半导体基片上，称为将众多的数字电路基本单元制作在一块半导体基片上，称为集集成电路成电路。集成电路集成电路包含基本元件的数目包含基本元件的数目小规模集成电路（小规模集成电路（SSIC）10100中规模集成电路（中规模集
23、成电路（MSIC）1001 000大规模集成电路（大规模集成电路（LSIC）1 00010 000超大规模集成电路（超大规模集成电路（VLSIC）10 000以上以上2.1逻辑代数逻辑代数2.1.1基本逻辑基本逻辑2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算2.1.3真值表与逻辑函数真值表与逻辑函数2.1.4逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律2.1.5三个规则三个规则2.1.6常用公式常用公式2.1.7逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式表2-1-1 与逻辑举例状态表开关开关S1开关开关S2灯灯断断断断灭灭断断合合灭灭合合合合断断灭灭合合亮亮2.1.1基本逻辑基本逻辑S1S2图2-1-1 与逻辑举例灯
24、灯电源电源与与、或或、非非三种基本逻辑关系三种基本逻辑关系(1)与与逻辑关系逻辑关系只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。这种因果关系称为生。这种因果关系称为与与逻辑关系。逻辑关系。演演 示示表2-1-2 或逻辑举例状态表开关开关S1开关开关S2灯灯断断断断灭灭断断合合亮亮合合合合断断亮亮合合亮亮(2)或或逻辑关系逻辑关系只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或或逻辑关系。逻辑关系。S1灯
25、灯电源电源图2-1-2 或逻辑举例S2演演 示示表2-1-3 非逻辑举例状态表开关开关S灯灯断断亮亮合合灭灭灯灯S图2-1-3 非逻辑举例电源电源(3)非非逻辑关系逻辑关系事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称为不具备时，事件发生。这种因果关系称为非非逻辑关系。逻辑关系。演演 示示表2-1-4 与逻辑真值表表2-1-5 或逻辑真值表表2-1-6 非逻辑真值表ABP001010110001ABP001010110111AP0110基本逻辑关系在逻辑代数中的描述基本逻辑关系在逻辑代数中的描述(1)真值表
26、描述法真值表描述法在逻辑代数中用字母表示逻辑变量，逻辑变量在二值逻辑在逻辑代数中用字母表示逻辑变量，逻辑变量在二值逻辑中只有中只有0和和1两种取值，以代表两种不同的逻辑状态。两种取值，以代表两种不同的逻辑状态。用状态变量和取值可以列出表示三种基本逻辑关系的图表，用状态变量和取值可以列出表示三种基本逻辑关系的图表，称为称为逻辑真值表逻辑真值表，或简称，或简称真值表真值表。(2)数学表达式描述法数学表达式描述法与与逻辑：逻辑：P = A 又称为又称为与与运算运算或或逻辑乘逻辑乘。运算符。若不致混淆，可省略。运算符。若不致混淆，可省略。或或逻辑：逻辑：P = A + 又称为又称为或或运算运算或或逻辑
27、加逻辑加。非非逻辑：逻辑：P = A 读作读作“A非非” 或或“非非A” 。(1)(2)(3)AB+PABP11APABPABPAP&ABPAP图2-1-4 基本逻辑的逻辑符号与逻辑符号与逻辑符号或逻辑符号或逻辑符号非逻辑符号非逻辑符号ABP(3)(3)逻辑符号描述法逻辑符号描述法现行国家标准现行国家标准过去适用的符号过去适用的符号国外常用的符号国外常用的符号能实现基本逻辑关系的基本单元电路称为能实现基本逻辑关系的基本单元电路称为逻辑门电路逻辑门电路。如。如与与门门、或或门门、非非门门（反相器）等。（反相器）等。2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算逻辑加（逻辑加（或或运算）运算）P = A +运
28、算规则：运算规则：0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1一般形式：一般形式：A + 0 = AA + 1 = 1A + A = A逻辑乘（逻辑乘（与与运算）运算）P = A 运算规则：运算规则：0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1一般形式：一般形式：A 1 = AA 0 = 0A A = A逻辑逻辑非非（非非运算）运算）P = A运算规则：运算规则：0 = 11 = 0一般形式：一般形式：A = AA + A = 1A A = 0复合逻辑运算复合逻辑运算表2-1-7 两输入变量与非逻辑真值表ABP001010111110(1)(1)(2)(
29、2)(3)(3)ABPAB&ABPP(a)与非逻辑与非逻辑图2-1-5 复合逻辑符号(1)与非与非逻辑逻辑 P = A B表2-1-8 两输入变量或非逻辑真值表ABP001010111000(2)或非或非逻辑逻辑P = A+B(1)(2)(3)图2-1-5 复合逻辑符号+B1AABABPPP(b)或非逻辑或非逻辑(3)与或非与或非逻辑逻辑 P = A B + C D (1)(2)(3)图2-1-5 复合逻辑符号&1PBADCPBADC+PBADC(c)与或非逻辑与或非逻辑表2-1-9 2-2输入变量与或非逻辑真值表ABP000000001110C0011D0101011110001110001
30、101011000011111100011010111111111000000110101(4)同或同或逻辑逻辑ABBABAP 若两个输入变量的值若两个输入变量的值相同相同，输出为，输出为1，否则为，否则为0。(1)(2)(3)图2-1-5 复合逻辑符号B=1APBAPABP(e)同或逻辑同或逻辑表2-1-10 同或逻辑真值表ABP001010111001运算规则：运算规则：0 0 = 10 1 = 01 0 = 01 1 = 1一般形式：一般形式：A 0 = AA 1 = AA A = 0A A = 1(5)(5)异或异或逻辑逻辑BABABAP 若两个输入变量的值若两个输入变量的值相异相异，
31、输出为，输出为1，否则为，否则为0。运算规则：运算规则：0 0 = 00 1 = 11 0 = 11 1 = 0+一般形式：一般形式：A 0 = AA 1 = AA A = 1A A = 0+B=1APBAPABP(d)异或逻辑异或逻辑(1)(2)(3)图2-1-5 复合逻辑符号表2-1-11 异或逻辑真值表ABP001010110110几种常用逻辑运算的比较几种常用逻辑运算的比较同或同或与与异或异或逻辑的关系：逻辑的关系：+A B = A B A B = A B根据运算规则和真值表可知：根据运算规则和真值表可知：A B = A B A B = A B+若两个变量的原变量相同，则取非后的反变量
32、也相同；反之若两个变量的原变量相同，则取非后的反变量也相同；反之亦然。因此有：亦然。因此有：A B = A B = A B A B = A B = A B+若变量若变量A和变量和变量B相相同同，则，则A必与必与B相相异异或或A与与B相相异异；反之亦；反之亦然。因此有：然。因此有：表2-1-12 楼道灯开关状态表和真值表ABP001010111001开关开关 A灯灯cdbdbcaa亮亮灭灭灭灭亮亮(a)(b)开关开关 B2.1.3真值表与逻辑函数真值表与逻辑函数abcdAB图2-1-6 楼道灯开关示意图求解给定逻辑命题的逻辑函数求解给定逻辑命题的逻辑函数表达式。表达式。第一步：消化逻辑命题并列写
33、第一步：消化逻辑命题并列写真值表。真值表。第二步：由真值表写逻辑函数表达式。第二步：由真值表写逻辑函数表达式。方法一：方法一：把每个输出为把每个输出为1的一组输入变量组合状态以的一组输入变量组合状态以逻辑乘逻辑乘形式表示（原变量表示取值形式表示（原变量表示取值1，反变量表示取值，反变量表示取值0），再将所有），再将所有的这些逻辑乘进行的这些逻辑乘进行逻辑加逻辑加。这种表达式称为。这种表达式称为与或与或表达式表达式，或，或称为称为“积之和积之和”式。式。ABBAP 方法二：方法二：把每个输出为把每个输出为0的一组输入变量组合状态以的一组输入变量组合状态以逻辑加逻辑加形式表示（原变量表示取值形式表
34、示（原变量表示取值0，反变量表示取值，反变量表示取值1），再将所有），再将所有的这些逻辑加进行的这些逻辑加进行逻辑乘逻辑乘。这种表达式称为。这种表达式称为或与或与表达式表达式，或，或称为称为“和之积和之积”式。式。)()(BABAP 例例2- -1列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表达式。数表达式。有有A、B、C个输入信号，当个输入信号中有两个或两个个输入信号，当个输入信号中有两个或两个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。表2-1-13 例 2-1 真值表1111
35、1011110100011110001001000000PCBA解解根据题意可得到如表根据题意可得到如表2- -1- -13所示的真值表：所示的真值表：“积之和积之和”式：式：ABCCABCBABCAP “和之积和之积”式：式：)( )(CBACBACBACBAP 2.1.4逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律假设假设F和和G都是变量都是变量A1、A2、An的逻辑函数，如果对应的逻辑函数，如果对应于于A1、A2、An的任一组状态组合，的任一组状态组合，F和和G的值都相同，则的值都相同，则F和和G是相等的，记作是相等的，记作FG。若若FG，则它们具有相同的真值表；反之，若，则它们具有相同的真值表
36、；反之，若F和和G的真值的真值表相同，则表相同，则FG 。例例2- -2 设设F(A,B,C)=A(B+C)，G(A,B,C)=AB+AC，请证明：，请证明：F = G。解解列写函数列写函数F和和G的真值表，如果二者的真值表完全一致，的真值表，如果二者的真值表完全一致，则说明则说明FG。逻辑函数相等逻辑函数相等表2-1-14 例2-2真值表1111111011111010000100110000100010000000G=AB+ACF=A(B+C)CBA由真值表可见，对于任何一组变量的取值，由真值表可见，对于任何一组变量的取值， F和和G的值完全的值完全相同，所以相同，所以FG。(1)关于变量
37、和常量关系的公式关于变量和常量关系的公式逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律+A 1 = AA 0 = AA A = 1+A 0 = AA 1 = AA A = 0A 1 = AA 0 = 0A A = 0A + 0 = AA + 1 = 1A + A = 1(2)交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律交换律：交换律：A + B = B + AA B = B AA B = B AA B = B A+A B C = (A B) C 结合律：结合律：A + B + C = (A + B) + C A B C = (A B) C A B C = (A B) C +A ( B C ) = AB
38、AC 分配律：分配律：A ( B + C ) = AB + AC +A + BC = ( A + B )( A + C )A + ( B C ) = (A + B ) (A + C ) +(3)特殊规律特殊规律重叠律：重叠律：A + A = AA A = AA A = 1A A = 0+反演律：反演律：A + B = A BAB = A + B A B = A B A B = A B +调换律：调换律：若若A B = C，则必有：，则必有： A C = B， B C = A。若若A B = C，则必有：，则必有： A C = B， B C = A。+A B = A B (A + B )A +
39、B = A B (A B )A + B = A B (A B )A B = A B (A + B )+推论：推论：2.1.5三个规则三个规则代入规则代入规则任何一个含有变量任何一个含有变量A的等式，如果将的等式，如果将所有所有出现变量出现变量A的地方的地方都代之以一个逻辑函数都代之以一个逻辑函数F，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。例2- -3已知等式已知等式A(B+E)=AB+AE，试证明将所有出现试证明将所有出现E的的地方代之以地方代之以(C+D) ，等式仍成立。，等式仍成立。解解 原式左边原式左边AB+ (C+D) AB+A(C+D) AB+AC +AD原式右边原式右边 AB+A(C+D
40、) AB+AC +AD所以等式仍然成立。所以等式仍然成立。反演规则反演规则设设F是一个逻辑函数表达式，如果将是一个逻辑函数表达式，如果将F中中所有所有的的与运算与运算和和或或运算运算互换；互换；常量常量0和和常量常量1互换；互换；原变量原变量和和反变量反变量互换，这样得互换，这样得到的新函数式就是到的新函数式就是F 。 F 称为原函数称为原函数F的反函数。的反函数。，求，求已知已知例例FCDBAF 42解解由反演规则，可得由反演规则，可得 DCBAF DCBACDBACDBAF 若用若用反演律反演律求解，则求解，则。，求，求已知已知例例FEDCBAF 52解解由反演规则，可得由反演规则，可得)
41、 (EDCBAF 注意运算的先后顺序注意运算的先后顺序对偶规则对偶规则设设F是一个逻辑函数表达式，如果将是一个逻辑函数表达式，如果将F中中所有所有的的与与运算和运算和或或运算互换运算互换；常量常量0和常量和常量1互换互换，则可得到一个新函数式，则可得到一个新函数式F。F称为称为F的对偶式。的对偶式。 1* 0 * CABAFCABAFCBAFCBAF例如：例如：推论：推论：等式的对偶式也是等式，即：等式的对偶式也是等式，即： 。则则如果如果*,GFCBAGCBAF 2.1.6常用公式常用公式（吸收律）（吸收律） . 1ABAAB ABABA 对偶式：对偶式： . 2AABA ABAA 对偶式：
42、对偶式： . 3BABAA BABABAAABAA 1 证明：证明： ABBAA 对偶式：对偶式：CAABBCCAAB . 4 CAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAAB 证明：证明： CABACBCABA 对偶式：对偶式： BACACAAB . 5 BAACCABA 对偶式：对偶式：CAABBCDECAAB 推论：推论：2.1.7逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式最小项表达式最小项表达式(1)最小项最小项设有设有n个变量的逻辑函数，在由此个变量的逻辑函数，在由此n个变量组成的个变量组成的乘积项乘积项（与与项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，项）中，若每个变量都
43、以原变量或反变量的形式出现一次，而且仅出现一次，则这样的而且仅出现一次，则这样的乘积项乘积项称为称为n变量逻辑函数的变量逻辑函数的最小项最小项。最小项可用符号最小项可用符号mi 表示，下标表示，下标 i 的确定方法是：对于最小的确定方法是：对于最小项中的各变量，用项中的各变量，用1代替其中的代替其中的原变量原变量，用，用0代替其中的代替其中的反变量反变量，得到一个二进制数，下标得到一个二进制数，下标 i 就是与此二进制数等值的十进制数。就是与此二进制数等值的十进制数。例如三变量逻辑函数的最小项：例如三变量逻辑函数的最小项： 30mBCAmCBA最小项的性质：最小项的性质： 对于任意一个最小项，
44、只有一组变量的取值可以使其值对于任意一个最小项，只有一组变量的取值可以使其值为为1，其余均为，其余均为0；任意两个最小项任意两个最小项mi 和和mj 之积为之积为0（ij）；）；n个变量的所有最小项（个变量的所有最小项（2n个）之和为个）之和为1。表2-1-15(a) 3变量最小项AB00011000C0101100111110101对应最小项对应最小项(m i)A B C = m0A B C = m1A B C = m2A B C = m3A B C = m4A B C = m5A B C = m6A B C = m7最小项表达式的书写形式：最小项表达式的书写形式： mCBAFmmmmCBA
45、FCBABCACABABCF7 , 6 , 3 , 1,1367或写成：或写成：可以简写成：可以简写成：对于逻辑函数对于逻辑函数(2)最小项表达式最小项表达式全部由最小项全部由最小项相加相加而构成的而构成的与或与或表达式表达式称为称为最小项表达最小项表达式式，又称为，又称为标准标准与或与或式式，或，或标准积之和式标准积之和式。(3)逻辑函数展开成逻辑函数展开成最小项表达式最小项表达式方法：方法：先变换成先变换成与或与或表达式表达式，然后将各与项中所缺的变，然后将各与项中所缺的变量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟一一的最小项表达式。的最小项表达式。展开成最小项表达式。展
46、开成最小项表达式。将将例例 62DCCDAABCF DCBBAACDBBADDABCDCCDAABCF 解解DCBADCBADCBADCABCDBACDBADABCABCD 04812371415, mmmmmmmmDCBAF 或写成：或写成： mDCBAF15141287430,，最大项表达式最大项表达式(1)最大项最大项设有设有n个变量的逻辑函数，在由此个变量的逻辑函数，在由此n个变量组成的个变量组成的和项和项（或或项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，而项）中，若每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，而且仅出现一次，则这样的且仅出现一次，则这样的和项和项称为称为n变量逻
47、辑函数的变量逻辑函数的最大项最大项。最大项可用符号最大项可用符号Mi 表示，下标表示，下标 i 的确定方法是：对于最大的确定方法是：对于最大项中的各变量，用项中的各变量，用0代替其中的代替其中的原变量原变量，用，用1代替其中的代替其中的反变量反变量，得到一个二进制数，下标得到一个二进制数，下标 i 就是与此二进制数等值的十进制数。就是与此二进制数等值的十进制数。例如三变量逻辑函数的最大项：例如三变量逻辑函数的最大项： 47MCBAMCBA最大项的性质：最大项的性质：对于任意一个最大项，只有一组变量的取值可以使其对于任意一个最大项，只有一组变量的取值可以使其值为值为0，其余均为，其余均为1；任意
48、两个最大项任意两个最大项Mi 和和Mj 之和为之和为1（ij）；）；n个变量的所有最大项（个变量的所有最大项（2n个）之个）之积积为为0。表2-1-15 (b) 3变量的最大项AB00011000A+B+C=M0C0101100111110101对应最大项对应最大项(M i)A+B+C=M1A+B+C=M2A+B+C=M3A+B+C=M4A+B+C=M5A+B+C=M6A+B+C=M7最大项表达式的书写形式：最大项表达式的书写形式： 410,410，或写成：或写成：可以简写成：可以简写成：对于逻辑函数对于逻辑函数MCBAFMMMCBAFCBACBACBAF(2)最大项表达式最大项表达式全部由最
49、大项全部由最大项相相与与而构成的而构成的或与或与表达式表达式称为称为最大项表达最大项表达式式，又称为，又称为标准标准或与或与式式，或，或标准和之积式标准和之积式。(3)逻辑函数展开成逻辑函数展开成最大项表达式最大项表达式方法：反复利用分配律方法：反复利用分配律A+BC=(A+B)(A+C)进行变换。任何进行变换。任何逻辑函数都有逻辑函数都有惟一惟一的最大项表达式。的最大项表达式。展开成最大项表达式。展开成最大项表达式。将将例例 72BCAAF CABABCABCAAF解解 )(CBBACCBA )( )( )(CBACBACBA 210MMM 210 ，M表2-1-16 4变量最小项和最大项A
50、 B00000000C0011011110000011对应最大项对应最大项(M i)D01010101对应最小项对应最小项(m i)A B C D = m0A B C D = m1A B C D = m2A B C D = m3A B C D = m4A B C D= m5A B C D= m6A B C D= m7A+B+C+D=M0对应最大项对应最大项(M i)A+B+C+D=M1A+B+C+D =M2A+B+C+D =M3A+B+C+D =M4A+B+C+D =M5A+B+C+D =M6A+B+C+D =M7对应最小项对应最小项(m i)A B C D = m8A B C D = m9A
