1、第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.5 用拉氏法分析电路、S域元件模型第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.5.1. 4.5.1. 用拉氏变换法分析电路的步骤用拉氏变换法分析电路的步骤1)1)列列s域方程（可以从两方面入手）域方程（可以从两方面入手） 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； 直接按电路的直接按电路的s域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。2) 求解求解s域方程。域方程。3) 由由F(S)求求f(t)得到时域解答。得到时域解答。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.5.2 4.5.2 KCL、KVL
2、的复频域形式的复频域形式 KCL和KVL的时域形式分别为 0)(0)(tuti 设RLC系统(电路)中支路电流i(t)和支路电压u(t)的单边拉普拉斯变换分别为I(s)和U(s)，对上式取单边拉普拉斯变换，根据线性性质， 得到 0)(0)(sUsI第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.5.3 4.5.3 系统元件的复频域模型系统元件的复频域模型 1. 电阻元件电阻元件(R) 设线性时不变电阻R上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 则R上电流和电压关系(VAR)的时域形式为 )()(tRitu电阻R的时域模型如图 4.5-1(a)所示。设u(t)和i(t)的象函数分别为U(s
3、)和I(s)，对式(4.5-1)取单边拉普拉斯变换， 得 )()(sRIsU(4.5-1) (4.5-2) (a)i(t)Ru(t)(b)I(s)RU(s)第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 2. 电感元件电感元件(L) 设线性时不变电感L上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 则电感元件VAR的时域形式为 0)(1)0()()()(0tduLitidttdiLtut(4.5-3) 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 电感L的时域模型如图所示。设i(t)的初始值i(0-)=0(零状态)，u(t)和i(t)的单边拉普拉斯变换分别为U(s)和I(s)， 对式(4.5-3)
4、取单边拉普拉斯变换，根据时域微分、积分性质， 得 )()(ssLIsU(4.5-4) (a)i(t)Lu(t)(b)I(s)sLU(s)图 4.5-2 电感L的时域和零状态S域模型(a) 时域模型； (b) 零状态S域模型 ( )( )di tu tLdt第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 图 4.5-3 电感元件的非零状态S域模型(a) 串联模型； (b) 并联模型 (a)I(s)U(s)sLLi(0)(b)I(s)U(s)sLiL(0-)s 若电感L的电流i(t)的初始值i(0-)不等于零，对式(4.5-3)取单边拉普拉斯变换，可得 ( )( )(0 )U ssLI sLi1(0
5、 )( )( )iI sU ssLs(4.5-5) (4.5-6) ( )( )di tu tLdt第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 3. 电容元件电容元件(C) 设线性时不变电容元件C上电压u(t)和电流i(t)的参考方向关联， 则电容元件VAR的时域形式为 dttduCtitdiCutut)()(0)(1)0()(0(4.5-7) 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 电容元件的时域模型如图所示。若u(t)的初始值u(0-)=0(零状态)，u(t)和i(t)的单边拉普拉斯变换分别为U(s)和I(s)， 对式(4.5-7)取单边拉普拉斯变换，得 )(1)(sIsCsU(4
6、.5-8) (b)I(s)U(s)(a)i(t)Cu(t)sC1图 4.5-4 电容元件的时域和零状态S域模型(a) 时域模型； (b) 零状态S域模型 ( )( )du ti tCdt第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 若电容元件C上电压u(t)的初始值u(0-)不等于零，对式(4.5-7)取单边拉普拉斯变换， 得 1(0 )( )( )uU sI ssCs( )( )(0 )I ssCU sCu(4.5-9) (4.5-10) (b)I(s)U(s)C uC(0)(a)I(s)U(s)sC1u(0)ssC1图 4.5-5 电容元件的非零状态S域模型(a) 串联模型； (b) 并联
7、模型 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.5.4 RLC系统的复频域模型及分析方法系统的复频域模型及分析方法 例例4.5.1 如图所示RLC系统，us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1，L=1H，C=1。t0时电路已达稳态，t=0时开关S由位置1接到位置2。求t0时的完全响应iL(t)、零输入响应iLx(t)和零状态响应iLf(t)。 解解 (1) 求完全响应iL(t)： VtuRRRuARRtuisCsL1)()0(1)()0(1212211第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 S域的网孔方程为 )0()0()(1)(1)0()()(1)(12212
8、211LCCSLisusIsLRsCsIsCsusUsIsCsIsCR式中， ， 把Us2(s)及各元件的值代入网孔方程， 解网孔方程得 stuLsUss/4)()(222222224(1)3( )( )(22)(1)1LsssIsIss sss s求IL(s)的单边拉氏逆变换，得 )(43cos22)()(1AtesILtitLL0t第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 (2) 求零输入响应iLx(t)：设零输入响应i1x(t)的单边拉氏变换为I1x(s)，网孔电流的象函数分别为I1x(s)和I2x(s)，如图 4.5 - 6(c)所示。列网孔方程，得 )0()0(1)(1)0()(
9、1)(121211LCxCxxLisusLRsCsIsCsusIsCsIsCR把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入网孔方程， 1) 1(2)()(22sssIsIxLx)(43cos2)()(1AtesILtitLxLx0t第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 (3) 求零状态响应iLf(t)： 对图(b)所示电路模型，令iL(0-)=0、uC(0-)=0，得到开关S在位置2时零状态响应的S域电路模型，如图(d)所示。设零状态响应ILf(t)的单边拉氏变换为ILf(s)，可应用网孔分析法求ILf(s)， 然后求ILf(s)的逆变换得到iLf(t)。令ab端的输入运算阻抗为Z(s)，则有 sLRsCsCsLRRsZ22111)()(于是得 )()()(21sZsUsIsf)()(11)(11)(2212sZsUsLRsCsCsIsLRsCsCsIsfLf第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 因此得 1) 1(4)()()(22sssUsHsIsLf求ILf(s)的单边拉氏逆变换， 得 3( )22 2cos( )( )4tLfitetu tA把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)为 22112122( )1( )( )()()122LfsIsH sUsR LCsR R CL sRRss
