1、二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入第五节两个随机变量的函数的分布第五节两个随机变量的函数的分布.,),(,的分布的分布分布确定分布确定的的如何通过如何通过的函数关系的函数关系与与并且已知并且已知表示该人的血压表示该人的血压年龄和体重年龄和体重分别表示一个人的分别表示一个人的和和令令有一大群人有一大群人ZYXYXgZYXZZYX 为了解决类似的问题下面为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入一、问题的引入二、离散型随机变量函
2、数的分布二、离散型随机变量函数的分布 XY012 1 21312312112101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),(YX例例1.)2(,)1(的分布律的分布律求求YXYX 概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121) 0 , 1( 123 221,122 121,121)2, 3( 122)0 , 3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等价于等价于概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(12
3、2YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3 2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01252353124121122121122122的分布律分别为的分布律分别为所以所以YXYX ,结论结论的联合分布律为的联合分布律为若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量, 2, 1, jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),(YXgZ ),(kkzYXgPzZP ., 2, 1 ,)( kpjikyxgzij例例2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与 Y 的分布律为的分布律为XXP317 .
4、 03 . 0YYP424 . 06 . 0求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318. 012. 042. 028. 0因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立, 所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0YXZ 3557所以所以YXZ P35718. 054. 028. 0YX421318. 012. 042. 028. 0例例3 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为XP10
5、5 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律试试求求YXZ ,jYPiXPjYiXP 所以所以于是于是XY1010221221221221解解,相互独立相互独立与与因为因为YX),max(iYXP ,iYiXP ,iYiXP 0),max( YXP0 , 0P ,212 1),max( YXP1 , 11 , 00 , 1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律为为故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221的的分分布布函函数数为为则则的的概概率率密密度度为为设设YXZyxfYX ),(),()(zZPzFZ yxyxfzyxdd),( x
6、yOzyx yux 三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 1. Z=X+Y 的分布的分布yxyxfyzdd),( yuyyufzdd),( .dd),(uyyyufz 由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为.d),()( yyyzfzfZ.d),()(xxzxfzfZ 由于由于 X 与与 Y 对称对称, 当当 X, Y 独立时独立时,也也可可表表示示为为)(zfZ,d)()()( yyfyzfzfYXZ.d)()()(xxzfxfzfYXZ 或或由公式由公式,d)()()(xxzfxfzfYXZ 解解,e21)(22 xxfxX由于由于,e21)(22 yyfyY例例
7、4 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 都服从标准正都服从标准正态分布态分布,求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.)2 , 0(分布分布服从服从即即NZ2zxt ttzdee21242 .e2142z xzfxzxZdee21)(2)(222 xzxzdee212242 得得说明说明).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且有且有仍然服从正态分布仍然服从正态分布则则相互独立且相互独立且设设一般一般 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组合的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布. .的概率密度的概率密度求电阻求
8、电阻其他其他它们的概率密度均为它们的概率密度均为相互独立相互独立设设串联联接串联联接和和两电阻两电阻在一简单电路中在一简单电路中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxfRRRR 解解的概率密度为的概率密度为由题意知由题意知 R.d)()()( xxzfxfzfR例例5 ,100,100 xzx当当,10,100时时即即 zxzxO1020zx10 zxzx 10 x.d)()()(中被积函数不为零中被积函数不为零 xxzfxfzfR)1(., 0,2010,d)()(,100,d)()()(10100 其他其他zzRzxxzfxfzxxzfxfzf ., 0,100,5010
9、)(其他其他将将xxxf此时此时 ., 0,100,50)(10)(其他其他xzxzxzf ., 0,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其其他他zzzzzzzfR式得式得代入代入)1(的概率密度分别为的概率密度分别为分布分布的的数为数为相互独立且分别服从参相互独立且分别服从参设设2122112121,),(),(,;,XXXXXX ., 0, 0,e)()()(1111其他其他xxxfxX, 0, 01 ., 0, 0,e)()()(1222其他其他yyyfyX, 0, 02 .,2121分布分布的的服从参数为服从参数为试证明试证明 XX例例6证明证明 x
10、xzfxfzfXXZd)()()(21,0时时当当 z. 0)( zfZ易知易知的概率密度为的概率密度为时时当当21,0XXZz xxzfxfzfXXZd)()()(21xxzxxzxzde)()(e)()()(1210121 ,d)()()(e101212121xxzxzz ,ztx 令令tttzzd)1(e)()()(11011212121 ,e)(121zzA .d)1()()(11012121tttA 其中其中,A得得由概率密度的性质可求由概率密度的性质可求zzfZd)(10 01)d(e)(21zzAz),(21A .)(21A 即有即有于是于是 ., 0, 0,e)()()(121
11、21其他其他zzzfzZ.,2121分布分布的的服从参数为服从参数为因此有因此有 XX.的情况的情况分布变量之和分布变量之和个相互独立的个相互独立的此结论可推广到此结论可推广到 n.,), 2 , 1(,12121分布分布的的服从参数为服从参数为则则分布分布的的服从参数为服从参数为且且相互独立相互独立若若 XXXniXXXXniiniin的分布的分布YXZ . 2分分布布函函数数为为的的则则的的概概率率密密度度为为设设YXZyxfYX ),(),()(zZPzFZ zYXP xyOzyx 1G2GyxyxfGdd),(1 yxyxfGdd),(2 yxyxfyzdd),(0 ,dd),(0yx
12、yxfyz ,yxu 令令yxyxfGdd),(1 yxyxfyzdd),(0 yuyyuyfzdd),(0 uyyyuyfzdd),(0 同理可得同理可得 zGuyyyuyfyxyxf0,dd),(dd),(2故有故有)(zZPzFZ yxyxfGdd),(1 yxyxfGdd),(2 yyyzyfyyyzyfzfd),(d),()(00 .d),(yyyzfy 当当 X, Y 独立时独立时,.d)()()(yyfyzfyzfYX 由此可得概率密度为由此可得概率密度为.dd),(d),(00uyyyuyfyyyuyfz ., 0, 0,e2)(, 0, 0,e)(,2的概率密度函数的概率密度
13、函数试求试求其他其他其他其他它们的概率密度分别为它们的概率密度分别为相互独立相互独立寿命寿命的灯泡的的灯泡的分别表示两只不同型号分别表示两只不同型号设设YXZyyfxxfYXYXyx ,d),(d),()(00yyyzyfyyyzyfzfZ 解解由公式由公式例例7 ., 0, 0, 0,ee2),(2其他其他yxyxfyxyyzyde2)2(0 ,)2(22z yyzfyyzZdee2)(20 得所求密度函数得所求密度函数)0(时时当当 z)0(时时当当 z, 0)( zfZ得得 . 0, 0, 0,)2(2)(2zzzzfZ的分布的分布及及),min(),max(. 3YXNYXM 则有则有
14、)(maxzMPzF ,zYzXP zYPzXP ).()(zFzFYX )(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP ),()(,yFxFYXYX和和的分布函数分别为的分布函数分别为它们它们变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设).(1)(11zFzFYX 1 1 1zYPzXP 故有故有),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(11)(minzFzFzFYX 推广推广的的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(,21nixFnX
15、XXiXni 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为量量个相互独立的随机变个相互独立的随机变是是设设).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 则则分布函数分布函数相互独立且具有相同的相互独立且具有相同的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF .),(iii),(ii),(i),2121如图所示如图所示开始工作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用并联并联串联串联连接的方式分别为连接的方式分别为联接而成联接而成统统由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系设系统设系统LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例8
16、度分别为度分别为已知它们的概率密已知它们的概率密的寿命分别为的寿命分别为设设,21YXLL , 0, 0, 0,e)(xxxfxX由由解解串联情况串联情况(i),21就停止工作就停止工作系统系统中有一个损坏时中有一个损坏时由于当由于当LLL的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,min(YXZ .0, 0的的概概率率密密度度的的寿寿命命接接方方式式写写出出试试分分别别就就以以上上三三种种联联且且其其中中ZL , 0, 0, 0,e1)(xxxFxX , 0, 0, 0,e)(xxxfxX , 0, 0, 0,e)(yyyfyY ; 0, 0, 0,e)(yyyfyY由由 . 0, 0, 0,
17、e1)(yyyFyY)(1)(11)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,e1)(zzz . 0, 0, 0,e )()()(minzzzfz的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,max(YXZ 的分布函数为的分布函数为),max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX . 0, 0, 0),e1)(e1(zzzz . 0, 0, 0,e )(ee)()(maxzzzfzzz并联情况并联情况(ii),21才停止工作才停止工作系统系统都损坏时都损坏时由于当且仅当由于当且仅当LLL,21才开始工作才开始工作系统系统损坏时损坏时由于这时当系统由于这时当系统LL即即两者之和两者之和是是
18、的寿命的寿命因此整个系统因此整个系统,21LLZLYXZ 的概率密度为的概率密度为时时当当YXZz ,0yyfyzfzfYXd)()()( zyyzy0)(dee zyzy0)(dee备用的情况备用的情况(iii), 0)(,0 zfz时时当当的概率密度为的概率密度为于是于是YXZ . 0, 0, 0,ee )(zzzfzz.ee zz 四、小结四、小结1. 离散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律的联合分布律为的联合分布律为若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量, 2, 1, jipyYxXPijji的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数),( YXgZ ),(kkzYXgPzZP ., 2, 1 ,)( kpjikyxgzij2. 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布的分布的分布YXZ )1(的分布的分布及及),min(),max()3(YXNYXM 的分布的分布YXZ )2(
