1、第七节 定积分的物理应用第六章二、液体的侧压二、液体的侧压力力一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功三、引力问题三、引力问题四、函数的平均值及其四、函数的平均值及其在交流电路中的应用在交流电路中的应用一、 变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功的微元为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(例1.一个单求电场力所作的功 . qorabrrdr 11解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律
2、电场力为2rqkF 则功的微元为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ba)11(baqk位正电荷沿直线从距离电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为积分变量，为积分变量，5 , 0 x5oxm3xm5在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功的微元微元为Wd9 gdx x 故所求功为50Wxxdg9g922x112.5 g 设水的密度为05dxx 面积为 A 的平板二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处
3、的压强: gph h当平板与水面平行时, ApP 若平板垂直放置在水中,由于水深不同导致压强不同，平板一侧所受的压力就不能直接用上述公式计算 .平板一侧所受的压力为下面举例说明此时平板所受侧压力的计算方法.小窄条上各点的压强gpx 33g2R例3. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 半圆的22xRy)0(Rx 侧压力微元2202gRPx Rx dx oxyRxxxd 22g2xRx dx Pd端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 2224g(arcsin)220RxRxRRxR ,d222xxR 说明: 当桶内充满液体时, )(g
4、xR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令oxyRxxxd解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元2()ax dx (2 ) 2()dPg xaax dx 0(2 ) 2()aPg xaax dx 373ga xxxd侧压力微元侧压力微元所受侧压力为所受侧压力为三、 引力问题质量分别为21, mm的质点 , 相距 r ,1m2mr二者间的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿两质点的连线若要计算一根细棒（视为有质量无体积）对一质点的引力，由于细棒上各点与质点的距
5、离是变化的，且各点与该质点的引力方向也是变化的，所以不能直接用上述公式计算.下面举例说明它的计算方法.2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量,2,2 lly其质量为其质量为,dy rydyy 由于由于 很小，故可将这一很小，故可将这一小段细棒近似看成质点，小段细棒近似看成质点，dy小段与质点的距离为小段与质点的距离为22ray引力引力22m dyFkay 水平方向的分力微元水平方向的分力微元3222()xam dydFkay 2322)(22yadyamkFllx 12222(4)km laal 由对称性知，引力在垂直方向分力为由对称性知，引力在垂直方
6、向分力为. 0 yF2l2l xyoMarydyy 实例：实例：计算某班所有学生的考试成绩的算术平均值计算某班所有学生的考试成绩的算术平均值nyyyyn 21算术平均值公式算术平均值公式只适用于有限个数值只适用于有限个数值问题：问题：求气温在一昼夜间的平均温度求气温在一昼夜间的平均温度.入手点：入手点：连续函数连续函数 在区间在区间 上所取一切值上所取一切值的平均值的平均值.)(xf,ba讨论思想：讨论思想：分割、求和、取极限分割、求和、取极限.四、函数的平均值及其在交流电路中的应用四、函数的平均值及其在交流电路中的应用1.函数的平均值函数的平均值（1）分割：）分割：把把区区间间,ba分分成成
7、n等等分分,1210bxxxxxann 每个小区间的长度每个小区间的长度;nabx 设各分点处的函数值为设各分点处的函数值为nyyyy,210函数函数 在区间在区间 上的平均值近似为上的平均值近似为)(xf,ba;1210nyyyyn 每个小区间的长度趋于零每个小区间的长度趋于零（2）求和：）求和：（3）取极限：）取极限：0121limnnyyyyyn 函数函数 在区间在区间 上的上的平均值平均值为为)(xf,ba0121limnnyyyybayban x niixxyab110lim1,)(lim1110 niixxxfab badxxfaby)(1几何平均值公式几何平均值公式区间长度区间长
8、度yab)( )()( fab ( )( ),.ff xa b 定定积积分分中中值值定定理理中中的的就就是是在在区区间间上上的的平平均均值值解解设电阻为，设电阻为，R则电路中的电压为则电路中的电压为iRu ,sintRIm 功率功率uip ,sin22tRIm 一个周期区间一个周期区间,2, 0 平均功率平均功率tdtRIpm 2202sin12 tdtRIpm 2202sin12 )(sin22022ttdRIm )()2cos1(4202tdtRIm 2sin2()42mIRtt 242 RIm22RIm 2mmI U )(RIUmm 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的
9、峰值的乘积的二分之一20 交流电器上标明的电流值和电压值都是一种交流电器上标明的电流值和电压值都是一种特定的平均值，习惯上称为特定的平均值，习惯上称为有效值有效值 通常交流电器上标明的功率就是平均功率，通常交流电器上标明的功率就是平均功率，固固定定值值为为I的的恒恒定定电电流流在在R上上消消耗耗的的功功率率为为RI2,电流电流)(ti在在R上消耗的功率为上消耗的功率为Rti)(2,它在它在, 0T上的平均功率为上的平均功率为,)(102 TRdttiT,)(1022 TRdttiTRI按定义有按定义有 TdttiTI022)(1.)(102 TdttiTI有效值计算公式的推导有效值计算公式的推
10、导即即正弦交流电正弦交流电tItim sin)( 的有效值的有效值tdtIIm 2022sin12 )(22022ttdinsIm 220sin242mItt 2mI 结论：正弦交流电的电流的有效值等于电流的峰值的结论：正弦交流电的电流的有效值等于电流的峰值的 2121( )bafx dxba 函函数数)(xf在在,ba上上的的均均方方根根 类似地：正弦交流电的电压的有效值等于电类似地：正弦交流电的电压的有效值等于电压压的峰值的的峰值的 21周期性电流和电压的有效值就是它们在一个周期上各自的周期性电流和电压的有效值就是它们在一个周期上各自的均方根均方根.内容小结(1) 先用微元法求出它的微分表
11、达式 dQ一般微元的几何形状有:扇扇、片片、壳壳 等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功 , 侧压力 , 引力 等.条条、段段、环环、带带、解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作厘米，若每次锤击所作的功相等，问第的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？n设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n习题 hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n
