1、第五节 反常积分第六章二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分一、无穷区间的反常积分一、无穷区间的反常积分常义积分积分区间有限被积函数有界反常积分 (广义积分)一、无穷区间上的积分引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21xy A1可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimb11bxblimbb11lim1定义. 设设, ),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 ,记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称无穷积分xxfad)(收敛 ;如果上述极限不存在, 就称无穷积分xxfad)(发散 .类似地 , 若, ,()(bC
2、xf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(则称此极限为 f (x) 在无穷区间 上的积分 ,)a 简称无穷积分, ),()(Cxf若则定义xxfd)( )d( )dccf xxf xx ( ( c c为任意取定的常数为任意取定的常数 ) )等式右端只要有一个积分发散 , 就称xxfd)(发散 .( )df xx 对对于于无无穷穷积积分分收收敛敛 ,( )d( )dcccf xxf xx 有有与与都都收收敛敛lim( )dlim( )dcbacabf xxf xx说明： 的收敛性不依赖于c 的选择，因此常常选取c =0 xxfd)(xxfd)(00( )d( )df xxf xx 定义中
3、xxfd)( )d( )dccf xxf xx ( ( c c为任意取定的常数为任意取定的常数 ) )lim( )dlim( )dcbacabf xxf xx注意：( )dlim( )dccaaf xxf xx ( )dlim( )dbccbf xxf xx 和 是相互独立的，即a 和b 是两个独立的量，没有任何关系.若考虑 时，得到的是另外意义上的积分，ab 即柯西主值积分( )dlim( )daaaf xxf xx 但是但是 2d1x xx 讨讨论论的的敛敛散散性性. .解解:故原积分发散故原积分发散 . .22ddlim11aaax xx xxx 20d1x xx 例例 发散发散 主值积
4、分主值积分 无穷积分与主值积分是两个不同的概念，主值积分仅仅是无穷积分的极限过程中的一种特殊取法得到的 ，且主值积分的收敛不能保证无穷积分的收敛. ab 20dlim1bbx xx 21lim ln 12bb 02220ddd111x xx xx xxxx0 收收敛敛注意注意: : 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质.,)()(的原函数是若xfxF引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF无穷积分具有和定积分完全相
5、似的性质.( )d()()af xxFF 实实际际上上，在在用用此此公公式式时时，并并不不需需要要知知道道是是否否收收敛敛，存存在在就就收收敛敛，不不存存在在就就发发散散. .类似地有例1. 计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx )2(2. )0(d0ptettptpept原式00d1teptptpep21021p例2. 计算反常积分计算反常积分解解:例3. 证明积分证明积分apxxd证证:当 p =1 时有 axxdlnax apxxd11paxp 当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积
6、分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . )0( a二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分00( )( )f xxxf x若若函函数数在在点点 的的任任一一邻邻域域内内都都无无界界，则则点点称称为为函函数数的的瑕瑕点点或或奇奇点点. .定义： 设设( )( , ,f xC a b a 为为奇奇点点，0,ab若若且且xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛 ;若上述极限不存在,就称发散 .0lim( )dbaf xx 极极限限存存在在则称此极限为无界函数则称此极限为无界函数 f (x) 在区间（在区间（a , b 上的反常上的反常积分
7、积分, 简称无界函数的积分或瑕积分，记作简称无界函数的积分或瑕积分，记作xxfbad)(若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明: ( ),( )f xa ccbcf x若若函函数数在在区区间间， ，内内连连续续 且且 为为的的瑕瑕点点，xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(0lim( )dcaf xx 0lim( )dbcf xx 例如,xxxd11112xxd) 1(11间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义类似地 , 若( ) , ),( )f xC a bbf x 且且 为为的的瑕瑕点点，xxfxxfbabad)(limd)(0则定义等式右端只要有一个极
8、限不存在，就称( )dbaf xx 发散 .,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则lim( )( )()( )baabF xF xF bF a 为为方方便便起起见见，记记为为lim( )( )( )()babaF xF xF bF a 为为112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例4. 计算反常积分计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式0arc
9、sinaax1arcsin2例例5. 讨论反常积分112dxx的收敛性 . 解解:021dxx 101x所以反常积分112dxx发散 .例例6 6 计算积分计算积分解解 3032)1(xdx33(12)( )( )baf x dxf x 形形如如的的积积分分，可可能能是是定定积积分分，也也可可能能是是反反常常积积分分，在在实实际际计计算算时时，需需要要考考察察被被积积函函数数在在积积分分区区间间上上的的性性态态. .)1(3032 xdx22331301(1)(1)dxdxxx11303 (1)x 31313 (1)x 3 332 例7. 证明反常积分证明反常积分baqaxx)(d证证: 当
10、q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1 时, 反常积分收敛 , 当 p1 时, 反常积分发散 . 2211dd(ln )lnlnppxxxxx 22ln2111dd(ln )dlnlnpppxxttxxxln xt 令令，则则 2ln211ddlnppxttxx 习题： 当 p =1 时有 ln2dtt ln2ln t 当 p 1 时有 2.试证试证xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xx
11、xd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx223.解解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf设求)(20 xfxx为与的瑕点,xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI322d)(1)(xxfxf)(arctanxf)(arctanxf)(arctanxf2222732arctan210321( )d .1( )fxIxfx 220( )d1( )fxxfx 32arctan227 20 32
