1、n一、定义一、定义)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 设设将其代入上方程将其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy 有两个不相等的实根有两个不相等的实根,2421
2、qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为特征根为0 qyypy02 qprr),(0为常数qpyqypy 特征方程特征方程02qrpr当当042qp时时, ,特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解设另一特解代入方程得代入方程得: :e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u,e12xrxy 因此原方程的通解为因此原方程
3、的通解为,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru 有两个相等的实根有两个相等的实根( u (x) 待定待定)取取 u = x , 则得则得;)(121xrexCCy ),(0为常数qpyqypy 特征方程特征方程02qrpr当当042 qp时时, ,特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根i,i21rr这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解: :xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的叠加原理利用解的叠加原理 , , 得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解: :)(21211yyy)(21i
4、212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解为因此原方程的通解为 有一对共轭复根有一对共轭复根欧拉公式欧拉公式).sincos(21xCxCeyx 定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例1 1.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2si
5、n2cos(21xCxCeyx 例例2 2三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项kr若是 重根rxkkexCxCC)(1110 kj若是 重共轭复根xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110特征根为特征根为, 154321jrrjrrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.
6、022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例3 3四、小结四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 1. 1.求方程求方程0 ya
7、y的通解的通解 . .答案答案: :0a通解为通解为xCCy21:0a通解为通解为xaCxaCysincos21:0a通解为通解为xaxaCCyee212.2.,2cos,e2,e321xyxyyxx求一个以xy2sin34为特解的为特解的4 4阶常系数线性齐次阶常系数线性齐次微分微分方程，并求其通解方程，并求其通解 . .解解: : 根据给定的特解知特征方程有根根据给定的特解知特征方程有根 : :, 121 rri24, 3r因此特征方程为因此特征方程为2) 1( r0)4(2r即即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程为故所求方程为其通解为其通解为xCxCxCCyx
8、2sin2cose)(43213.3.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程xcybyaye 有特解有特解2(1e ),exxyx求微分方程的通解求微分方程的通解 . .解解: : 将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式xxxxcxbaabaee)1 (e)2(e)1 (比较系数得比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为故原方程为xyye2 对应齐次方程通解对应齐次方程通解: :xxCCYee21xxxyee原方程通解为原方程通解为xxCCyee21xxe思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考题解答思考题解答, 0 y ,ln22yyyy
9、y ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 则则, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程满足所给初始条件的特解下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一个二 阶常系数 齐次线性微分方程求作一个二 阶常系数 齐次线
10、性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 设圆柱形浮筒设圆柱形浮筒, ,直径为直径为m5 . 0, ,铅直放在水中铅直放在水中, ,当稍当稍向下压后突 然放开向下压后突 然放开, ,浮筒 在水中上 下振动的浮筒 在水中上 下振动的s2周期为周期为, ,求浮筒的质量求浮筒的质量 . .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCCx2521)( ； 3 3、)2sin2cos(213xCxCeyx ； 4 4、xCxCeCeCyxx3sin3cos432221 . .二、二、1 1、)2(2xeyx ； 2 2、xeyx3sin2 . .三、三、0 yy. (. (提示提示: :为两个为两个xe, 1线性无关的解线性无关的解) )四、四、195 Mkg.kg.
