1、二、离散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律 三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数 四、小结四、小结第二节第二节 边缘分布边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数,),(yYxXPyxF ,)(xXPxF xXP , YxXP),( xF)(xFX .),(的的边边缘缘分分布布函函数数关关于于XYX?,),(:的分布的分布如何确定如何确定的分布的分布已知已知YXYX问题问题,),()(yYPyYXPyFyFY 为随机变量为随机变量 ( X,Y )关于关于Y 的边缘分布函数的边缘分布函数. .),(),(,.,),(,),(),
2、(的的边边缘缘分分布布函函数数关关于于为为随随机机变变量量称称令令则则的的分分布布函函数数为为随随机机变变量量设设XYXxFYxXPxXPyyYxXPyxFYXyxF ).,()( xFxFX记为记为定定义义, x同理令同理令.),(), 2 , 1(), 2 , 1(, 2 , 1, 2 , 1,., 2 , 1,),(11的的边边缘缘分分布布律律和和关关于于关关于于为为和和分分别别称称记记律律为为的的联联合合分分布布设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量YXYXjpipjyYPppixXPppjipyYxXPYXjijiijjijijiijji 定定义义二、离散型随机变量的边缘分布律二、
3、离散型随机变量的边缘分布律 ;,2, 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21,),()(1 xxjijXipxFxF.),()(1 yyiijYjpyFyF因此得离散型随机变量关于因此得离散型随机变量关于X 和和Y 的边缘分布函的边缘分布函数分别为数分别为例例1 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.XY1049164912491249910XY1042124212421242610iixXPp jjyYPp 注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布解解 74731
4、7473解解1098765432112232424340111121112例例2., .)( , )( .10, 3, 2, 1并求边缘分布律并求边缘分布律的联合分布律的联合分布律和和试写出试写出的素数的个数的素数的个数是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数是能整除是能整除设设一个值一个值十个值中取十个值中取等可能地在等可能地在一整数一整数FDNNFFNNDDN : 布律布律的联合分布律与边缘分的联合分布律与边缘分和和由此得由此得FD样本点样本点DFDkp4321101104102103Fkp21010110710243211010000104102101000102DFjFP 1011
5、07102iDP 1011041021031或将边缘分布律表示为或将边缘分布律表示为012.),(,d),()(,dd),(),()(),(),(的边缘概率密度的边缘概率密度关于关于称其为随机变量称其为随机变量记记由于由于密度为密度为设它的概率设它的概率对于连续型随机变量对于连续型随机变量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX 定定义义三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布同理可得同理可得 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数.d),()( xyxfyfYY 的边缘概率密度的边缘概率密度.,dd),(),()( yYyxyxfyFyF. )(),(., 0, 6),
6、(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度求边缘概率密度其他其他具有联合概率密度具有联合概率密度和和设随机变量设随机变量 解解yyxfxfXd),()( ,10时时当当 xxy 2xy Oxy)1 , 1(yyxfxfXd),()( xxy2d6例例3,10时时或或当当 xx. 0d),()( yyxfxfX).(62xx ., 0, 10),(6)(2其他其他因而得因而得xxxxfXxy 2xy Oxy)1 , 1(,10时时当当 yxyxfyfYd),()( ,10时时或或当当 yy. 0d),()( xyxfyfY ., 0, 10),(6)(其他其他得得yyyyfY yyxd6).
7、(6yy xy 2xy Oxy)1 , 1(的概率密度为的概率密度为设二维随机变量设二维随机变量),(YX 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf.的边缘概率密度的边缘概率密度试求二维正态随机变量试求二维正态随机变量, yx. 11, 0, 0,212121 且且都是常数都是常数其中其中例例4解解,d),()(yyxfxfX 由于由于21212222)(2)(yxy ,)(2121221122xxy 于是于是,dee121)(2)1(212)(221112222121yxfxyxX,1111222 xyt令令则有则有,dee21)(22)(
8、122121txftxX .,e21)(21212)(1 xxfxX即即同理可得同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,. 并且都不依赖于参数并且都不依赖于参数.,e21)(22222)(2 yyfxY二维正态分布和其边缘分布的关系二维正态分布和其边缘分布的关系单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出请同学们思考请同学们思考 边缘分布均为正态分布的随机变量边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分其联合分布一定是二维正态分布吗布一定是二维正态分布吗?不一定不一定. 举一反例以示证明举一反例以示证明.答答),sinsin1(e21),(),(222yxyxfYXyx 的联合密度函数为的联合密度函数为令令.e21)(,e21)(,),( ,2222yYxXyfxfYX 但是但是不服从正态分布不服从正态分布显然显然因此边缘分布均为正态分布的随机变量因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合其联合分布不一定是二维正态分布分布不一定是二维正态分布.d),()( yyxfxfX联合分布联合分布 边缘分布边缘分布 .d),()( xyxfyfY四、小结四、小结.dd),(),()( yYyxyxfyFxF.dd),(),()( xXxyyxfxFxF
