1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 二十三 简单的三角恒等变换 一、选择题 (每小题 5分 ,共 35分 ) 1.化简 : = ( ) A.sin2 B.tan2 C.sin2 D.tan2 【解析】 选 D.原式 = =tan2 . 2.(2018沈阳模拟 )化简 = ( ) A.1 B. C. D.2 【解析】 选 C.原式 = = = = . 【 一题多解】 本题还可以采用如下解法 : 选 C.原式 = = = = . 3.(2016浙江高考 )设函数 f(x)=sin2x+bsin x+c,则 f(x)的最小正周 期 ( ) A.与 b有关 ,且与 c有关 B.与 b有关
2、,但与 c无关 C.与 b无关 ,且与 c无关 D.与 b无关 ,但与 c有关 【解题指南】 先利用倍角公式进行化简 ,再求最小正周期 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 选 B.f(x)=sin2x+bsin x+c= +bsin x+c=- +bsin x+c+ ,其中当 b=0时 ,f(x)=- +c+ ,此时周期为 ; 当 b 0时 ,周期为 2, 而 c不影响周期 . 4.已知锐角 , 满足 sin -cos = ,tan +tan + tan tan = ,则 , 的大小关系是 ( ) A.0, 所以 sin cos ,即 tan 1,故 , 又因为 tan +tan
3、= (1-tan tan ), 所以 tan( + )= = , 故 + = , 所以 = - ,故 0) 为偶函数 ,且函数 y=f(x)的图象的两相邻对称轴的距离为 ,则 f = A. B. C. D. 【解析】 选 A.因为 f(x)=2sin 为偶函数 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 - =k + ,k Z, 又 0 ,所以 = . 又因为 f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 , 所以 T= ,故 =2. 所以 f(x)=2sin =2sin =2cos 2x. 故 f =2cos = . 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 8.(2017全国卷 ) 函数 f(
4、x)=2cos x+sin x的最大值为 _ . 【解析】 根据辅助角公式 ,可以得到 f(x)=2cos x+sin x= sin(x+ ),由于 sin(x+ )的最大值为 1,故f(x)的最大值为 . 答案 : 9.已知 f(x)=2tan x- ,则 f =_. 【解析】 因为 f(x)=2tan x- =2tan x+2 = + = = ,所以 f = = =8. 答案 :8 10.计算 :cos 20cos 40cos 60cos 80= _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 原式 = cos 20 cos 40 cos 80 = = . 答案 : 【 变式备选】 计算
5、 :cos cos cos =_. 【解析】 原式 =-cos cos cos = =- . 答案 :- 1.(5分 )已知 f(x)= ,当 时 ,式子 f(sin 2) -f(-sin 2) 可化简为 ( ) A.2sin B.-2cos C.-2sin D.2cos 【解析】 选 D.f(sin 2 )-f(-sin 2 )= - = - =|sin -cos |-|sin +cos |. 由于 时 ,sin cos 0,所以原式 =cos -sin +sin + cos =2cos . 【误区警示】 解答本题容易忽视根据 ,判断 sin -cos 和 sin +cos 的符号 ,导致解
6、题错误 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.(5分 )函数 f(x)=sin(2x+)+ cos(2x+) 的图象关于点 对称 ,则 f(x)的单调递增区间为 ( ) A. ,k Z B. ,k Z C. ,k Z D. ,k Z 【解析】 选 C.因为 f(x)=2sin 的图象关于 点 对称 ,所以 2 + + =k (k Z),故 =k - (k Z),又因为 | | , 所以 = ,即 f(x)=2sin ,由 - +2k 2x+ +2k(k Z),得 - +k x- +k, 故函数 f(x)的增区间为 (k Z). 3.(5分 )已知 13sin +5cos =9,13cos
7、+5sin =15, 那么 sin(+) 的值为 _. 【解析】 将两等式的两边分别平方再相加得 169+130sin( + )+25=306,所以 sin( + )= . 答案 : 4.(12分 )已知函数 f(x)= sin 2x+a cos 2x(a R). (1)若 f =2,求 a的值 . (2)若 f(x)在 上单调递减 ,求 f(x)的最大值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 (1)因为 f = sin +a cos =2, 所以 +a =2. 故得 :a=1. (2)由题意 :f(x)= sin(2x+ ),其中 tan = , 所以函数的周期 T= ,且 - =
8、 , 所以当 x= 时 ,函数 f(x)取得最大值 , 即 f(x)max=f = sin = , 所以 sin =1,所以 = +2k ,k Z. 所以 tan = = ,所以 a=3. 故得 f(x)=2 sin .因此 f(x)的最大值为 2 . 5.(13分 )(2018青岛模拟 )如图 ,在等腰直角 OPQ中 , POQ =90,OP=2 ,点 M在线段 PQ 上 .若点 N在线段 MQ上 ,且 MON =30, 问 :当 POM 取何值时 , OMN的面积最小 ?并求出面积的最小值 . 【解析】 设 POM= ,0 60 , 在 OMP中 ,由正弦定理 ,得 = , 所以 OM= , 同理 ON= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 S OMN= OM ON sin MON = = = = = = = . 因为 0 60 ,所以 30 2 +30 150 , 所以当 =30时 ,sin(2 +30 )取得最大值为 1,此时 OMN的面积取到最小值 ,即 POM=30时 , OMN的面积的最小值为 8-4 .
