1、第三节 函数的性态（一）一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最值第四章1、单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理( ) , ( , )( , )(1)( )0( )(2)( )0( )yf xa ba ba bfxf xfxf x 设设函函数数在在上上连连续续，在在内内可可导导，则则在在内内有有：严严格格单单调调递递增增；严严格格单单调调递递减减；abBA一、函数的单调性一、函数的单调性(3)( )0( )(4)( )0( )fxf xfxf x 单单调调递递增增；单单调调递递减减；证：证：12,( , ),xxa b,21xx 且且由拉
2、格朗日中值定理由拉格朗日中值定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf ( ) , .yf xa b在在上上严严格格单单调调递递增增, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf ( ) , yf xa b在在上上严严格格单单调调递递减减. .0( )( , )( , ),()( )( )limxf xa bxa bf xxf xfxx 由由函函数数在在内内可可导导，故故对对有有 ( ),f xa b又又在在内内单单调调递递增增0()( )0.x
3、f xxf x 当当时时，0()( )0 xf xxf x 所所以以当当时时，；()( )0f xxf xx 于于是是总总有有( )0fx 故故根根据据极极限限的的局局部部保保号号性性可可得得例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx 1,xyex ,)0 ,(内内在在 , 0 y1(,0)xyex 函函数数在在内内严严格格单单调调递递减减；,), 0(内内在在, 0 y1(0,).xyex函函数数在在内内严严格格单单调调递递增增注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号
4、来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性:(,)D 函函数数的的定定义义域域例例2 2解解32( ).f xx 讨讨论论函函数数的的单单调调性性:(,)D 函函数数的的定定义义域域)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x, 0)( xf 32( )0,f xx函函数数在在上上单单调调增增加加；时，时，当当 x0, 0)( xf 32( ),0f xx 函函数数在在上上单单调调减减少少；32xy 2、单调区间求法定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则
5、该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :( )0( )( ),.fxfxf x 用用方方程程的的根根及及不不存存在在的的点点划划分分函函数数的的定定义义区区间间 然然后后判判断断区区间间内内导导数数的的符符号号如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, , 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 . .例如例如),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 例例3. 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)
6、(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12例例4 4证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在 ( )0,f x在在上上单单调调增增加加；(0)0,f 又又时，时，当当0 xln(1)0 xx).1ln(xx 即即( )(0)f xf 二、函数的极值二、函数的极值定义定义:,),()(内有
7、定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大点极大点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小点极小点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点 .0000( )()( )()0f xU xxf xxfx 费费马马引引理理：设设函函数数在在有有定定义义，且且在在处处可可导导，若若在在处处取取得得极极值值，则则注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大值点52,xx为极小值点3x不是极值点2) 一般来说, 极
8、值可能出现在导数为 0 或导数不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.,可可导导函函数数的的极极值值点点必必是是它它的的驻驻点点.但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定是是极极值值点点xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)定理定理 (极值第一判别法)0( ),f xx设设函函数数在在的的某某邻邻域域内内可可导导0()0fx 且且 00,( )0,( )0,xxfxxxfx1 1 若若而而;)(0取极小值在则xxf.)(0取极大值在则xxf 00,( )0,( )0,xxfxxxfx2 2 若若而而xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf
9、求导数求导数(2)( )0;fx 求求出出驻驻点点即即方方程程的的根根，以以及及不不可可导导点点(3)( ),;fx 判判断断在在驻驻点点以以及及不不可可导导点点左左右右的的正正负负号号确确定定极极值值点点.)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx593)
10、(23 xxxxfMm图形如下图形如下定理 (极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .例2. 求函数求函数1) 1()(32 xxf
11、的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1例例3. 求f (x) = sinx+cosx的极值.解解: 因 f (x)以2为周期, 只需考虑区间0, 2)由f (x) = cosxsinx= 0得驻点45 ,421xxf (x) = sinxcosx , 02)4( f02)45( f故()24f 为为极极大大值
12、值，.2)45(为极小值f(, +)上,.24为极大值点k).(245Zkk为极小值点例例4 4解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意: :函数的不可导点也可能是函数的极值点函数的不可导点也可能是函数的极值点.M若 f (x)在a, b上连续, 则 f (x)在a, b上 一定存在最大值M和最小值m.假定 f (x)在(a, b)内只有有限个驻点
13、或导数不存在的点x1, x2, , xn, f (x)在 a, b上的最大值和最小值只可能在下述几种点中取得：(1) 开区间(a, b)内的驻点；(2) 开区间(a, b)内的不可导点；(3) 区间的端点x=a与x=b.即 M = max f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b) m = min f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b) 步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;设函数设函数f (x)在在(a, b)内内的驻点及不可导点为的驻点及不可导点为 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点
14、的函数值,则则比较函数值比较函数值 的大小，即可求出最大值与最小值的大小，即可求出最大值与最小值.nxxx,21)(),(,),(),(),(bfxfxfxfafn21特别:;)(,)(,),(,),(,)(值点小上的最大在就是则值点小的极大是若唯一的驻点内有并在可导在上连续在若bafxfxxbababaxf000 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到; 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点.例例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程
15、解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比较得比较得. 7)1( f最小值最小值例例2 2某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出去当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元
16、，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20( x 1018050 x 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;值值或最小或最小函数值即为所求的最函数值即为所求的最点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标
17、函数只有唯一驻)(点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8316 s. 0 .为极大值2174096316s.最大者为所有三角形中面积的故274096316s)(20001621821xxxSABC)80(0 x
