1、第六节 定积分的几何应用第六章二、平面图形的面积二、平面图形的面积一、定积分的微元法一、定积分的微元法三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长五、五、平行截面面积为已知的平行截面面积为已知的四、旋转体的体积四、旋转体的体积立体的体积立体的体积回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、定积分的微元法曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 面积表示为定积分的步骤如下：面积表示为定积分的步骤如下：（2）计算）计算iA 的近似值的近似值iiixfA )( i
2、ix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy （4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积微元面积微元当所求量当所求量U符合下列条件：符合下列条件：（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对于区间对于区间 ba,具有可加性，就是说，具有可加性，就是说，如果把区间如果把区间 ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相相应地分成许多部分量，而应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之等于
3、所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；建立所求量建立所求量 的积分表达式的步骤可归纳如下：的积分表达式的步骤可归纳如下：U这种建立积分表达式的方法通常叫做这种建立积分表达式的方法通常叫做微元法微元法或或元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等二、平面图形的面积1. 直角坐标系情形直角坐标系情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(
4、边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 xxfxfAbad)()(21yobxa)(2xfy )(1xfy xxxd例1. 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x 13013x 3110A例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xd
5、xxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？xxxy22oy4 xy例3. 计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy4 34126y 为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有ydyy 42Aab
6、xoyx例4. 求椭圆12222byax解解:所围图形的面积 . axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxd由对称性知总面积等于第一象限那部分面积的4倍:oyxababoyx一般地一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(tttttA)(1axt对应)(1bxt对应例5. 求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)
7、0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (202223 a20Axyoa22220(cos2cos1)dattt 22222000cosd2cos ddat tt tt22220001cos2d2cos dd2tatt tt 2. 极坐标系情形,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为小圆扇形的面积d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A 对应 从 0 变例1. 计算阿基米德螺线解解:)0( aarxa 2
8、o dd)(212a20A22a33120 2334a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停到 2 所围图形面积 . 例2. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A(利用对称性)223a220(cos2cos1)da 22000cosd2cosdda 20001cos2d2cosdd2a oxya心形线(外摆线的一种外摆线的一种)2222yxaxayx即)cos1 ( ar点击图中任意点动画开始或暂停 尖点:)0,0( 面积:223a 弧长:a8参数的几何意义2coscos21)2cos1 (21aa2oxy
9、d)cos1 (2122a例3. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 2a 2sin2a 例4. 求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462ayox44答案答案:三、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiM
10、nMAByox当折线段的最大长度0 时, 所有折线长之和趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.ni 10lims则称sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(
11、3) 曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :例1. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin22022cos2ta02a8xyoa2解解星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx
12、20224dttta 20cossin34.6a a aoyxd222aa例3. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2120 )412ln(24122aad)()(22rrs例4. 求连续曲线段ttyxdcos2解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos2220 222 2 2sin0 x 4 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台四、旋转体的体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由
13、连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OPdxxhrdV2 圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrVh20 23203hrxh .32hr yrhPxoa
14、aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax 旋转体的体积旋转体的体积dxxaVaa33232 .105323a xyo)(yx cddyy2)( dcVxyoa2例3. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性利用对称性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令2220( )ay
15、Vxy dy 1220( )axy dy oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta2320(sin ) sinatttdt 336a )cos1 ()sin(tayttax)0( aa2柱壳体积说明: xxdx yyV 也也可可由由微微元元法法求求出出yx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02336axoab五、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直如果一个立体不是旋转体，但却知
16、道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方
17、程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 内容小结1. 平面图形的面积参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A3. 已知平行截面面面积函数的立体体积已知平行截面面面积函数的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :yxxA2)(绕 y 轴 :(柱壳法)(xyy
