1、理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院1 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2 质点质点质点系质点系动量定理：动量定理：动量的改变动量的改变 外力（外力系主矢）外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，若当质心为固定轴上一点时，vC=0 0，则其动量恒等于零，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质点系确受外力的作用。质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。力对同一点（轴）之矩两者之
2、间的关系。质心运动定理：质心的运动质心运动定理：质心的运动 外力（外力系主矢）外力（外力系主矢）理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院3n 由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。偶等于平面力系对简化中心的主矩。 n 由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平移和绕基点的转动。同基点的平移和绕基点的转动。n 若将简化中心和基
3、点取在质心上，则动量定理若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质心运动质心运动定理定理)描述了刚体随同质心的运动变化和外力系主矢的关系。描述了刚体随同质心的运动变化和外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。刚体相对质心的转它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将有本章的动量动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院4()2OM mvOQA ()2zM mvOQ
4、A 正负号规定与力对轴之矩的规定正负号规定与力对轴之矩的规定相同。对着轴看：逆时针为正；相同。对着轴看：逆时针为正； 顺时针为负。顺时针为负。 或右手螺旋法则确定正负。或右手螺旋法则确定正负。一、质点的动量矩一、质点的动量矩质点对点质点对点O的动量矩：的动量矩： 矢量矢量质点对轴质点对轴 z 的动量矩：的动量矩： 代数量代数量vmrvmMO)()()(xyOzvmMvmMQAxyzqOAmvQMO(mv)Mz(mv)r理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院5 质点系对质点系对z 轴的动量矩等于各质点对同一轴动量轴的动量矩等于各质点对同一轴动量矩的代数和。即矩的代数和。即 质点
5、系对点质点系对点O 的动量矩等于各质点对同一点动量的动量矩等于各质点对同一点动量矩的矢量和。即矩的矢量和。即二、质点系的动量矩（二、质点系的动量矩（动量的主矩）动量的主矩）iiiiiOOvmrvmML)(动量矩度量物体在某瞬时绕固定点动量矩度量物体在某瞬时绕固定点(轴轴)转动的强弱，转动的强弱，kg2/s。质点对点质点对点O的动量矩在通过的动量矩在通过O 的的z 轴上的投影等于质点轴上的投影等于质点对对z 轴的动量矩。即轴的动量矩。即)()(vmMvmMzzO )(iizzvmML zOiizzLvmML )(同理同理理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院62、定轴转动刚体、
6、定轴转动刚体 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。三、刚体动量矩计算三、刚体动量矩计算1、平移刚体、平移刚体CCCiiiiOOvmrvmrvmML)()iiii iCCCrmvmrvmrv)(CzzvmML 平移刚体可视为质量集中于质心的平移刚体可视为质量集中于质心的质点来计算对点（或轴）的动量矩。质点来计算对点（或轴）的动量矩。2()zziii izLMmvm rJ 对转轴对转轴的动量矩的动量矩ziMiriivm理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院73、平面运动刚体、平面运动刚体质
7、点系对质心的动量矩质点系对质心的动量矩iriiCiiiiiCvmrvmrvmrL OxyzxyzCmiviirirCr动坐标为平移坐标系动坐标为平移坐标系iriiCiivmrvrm )(CririiiriiCCLvmrvmrvrm )(iiiiiCiiiOvmrvmrvmrL 质点系对质点系对O点的动量矩点的动量矩CCCCiiCLvmrLvmr()zzCCLMmvJ平面运动刚体平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动
8、时的动量矩之和。与绕质心轴作转动时的动量矩之和。对质心的动量矩用绝对速度对质心的动量矩用绝对速度和用相对速度计算是相等的。和用相对速度计算是相等的。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院811222321RRvv1223232222()OJJLmmR vRROOAOBOCL = L+L+L1122222332()JJm v Rm v R解解：例例1 滑轮滑轮A：m1，R1，J1 滑轮滑轮B：m2，R2，J2 ； R1=2R2 物体物体C：m3 求系统对求系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院9d()dmvFt一、质点的动量矩定
9、理一、质点的动量矩定理两边叉乘矢径两边叉乘矢径 , 有有d()dmvrrFtr左边可写成左边可写成d()dd()dddmvrrrmvmvtttd0 , () dOrmvvmvrFMFtdd() , ()()ddOOrmvrFMmvMFtt 质点对任一质点对任一固定点固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理质点对固定点的动量矩定理。故：故：O为固定点为固定点理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院10将上式在通过固定点将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得的三
10、个直角坐标轴上投影，得)()(dd , )()(dd , )()(ddFMvmMtFMvmMtFMvmMtzzyyxx 上式称上式称质点对质点对固定轴固定轴的动量矩定理的动量矩定理，也称为质点动量矩定，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一理的投影形式。即质点对任一固定轴固定轴的动量矩对时间的导数，的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。等于作用在质点上的力对同一轴之矩。称为称为质点的动量矩守恒。质点的动量矩守恒。若0)( ; 0)(FMFMzO则)( vmMO常矢量常矢量)(常量vmMz注意：注意：用上式计算动量矩与力矩时，符号规定应一致。用上式计算动量矩与力矩时，符号
11、规定应一致。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院11运动分析：运动分析： 。2)(mllmlvmMOOMlv , 由动量矩定理由动量矩定理即即d()( )dOOMmvMFt0sin , sin)(2lgmglmldtd 微幅摆动时，并令，则微幅摆动时，并令，则 , sinlgn202n 解微分方程解微分方程,并代入初始条件并代入初始条件 则运动方程则运动方程)0, 0(00ttlgcos0，摆动周期，摆动周期2gTl sin)()()(TmglgmMFMFMOOO解：将小球视为质点，受力图如图示。解：将小球视为质点，受力图如图示。例例2 单摆已知单摆已知m，l，t =0时时
12、 = 0，从静止，从静止 开始释放。开始释放。 求单摆的运动规律。求单摆的运动规律。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院12二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理左边交换求和与求导运算的顺序，并且注意左边交换求和与求导运算的顺序，并且注意( )(), ()0,iOOiiOiLMm vMF则( )d()deOOLMFt一质点系对质点系对固定点固定点的动量矩定理的动量矩定理对质点系，将每一质点的动量矩定理求矢量和。得对质点系，将每一质点的动量矩定理求矢量和。得), 2 , 1( )()()(dd)()(niFMFMvmMteiOiiOiiO 对每一质点对每一质点), 2
13、, 1( )()()(dd)()(niFMFMvmMteiOiiOiiO 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院13( )( )( )ddd() , () , ()dddyeeexzxyzLLLM FM FM Fttt将上式在通过固定点将上式在通过固定点O的三个的三个固定直角坐标轴固定直角坐标轴上投影，得上投影，得:质点系对任一质点系对任一固定点固定点的动量矩的动量矩对时间的导数，等于作用在质对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。的矢量和（外力系的主矩）。( )d()deOOLMFt 上式称为上式称为质点系对质
14、点系对固定轴固定轴的动量矩定理的动量矩定理。即质点系对任。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院14质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒当当 时，常矢量。时，常矢量。当当 时，常量。时，常量。( )() 0eOM F( )()0ezM FOLzL 动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质
15、点系的动量矩。力才能改变质点系的动量矩。( )d()deOOLMFt( )( )( )ddd() , () , ()dddyeeexzxyzLLLM FM FM Fttt理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院15解解: 取整个系统为研究对象，取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。受力分析如图示。 运动分析：运动分析： v =r ( )()()eOABABMFP rP rPP rABOOPPLv rv rJgg 221 , ()22OOABPrPJrLPPgg将代入得由动量矩定理：由动量矩定理：2d()()d2ABABrPPPPPrtgdd/2ABABPPgtrPPP例例3
16、已知已知: 。求。 ; ; rPPPBA理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院16例例4 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质，质量为量为m1，绕，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓作用在鼓轮上的力偶矩为轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为，轨道倾角为a a。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则vRmJL
17、O2( )2()sineOMFMm gRa由由 ，有有( )d()deOOiLMFt 22d()sindJm vRMm gRtaaMOm2gNvm1gFOxFOy理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院17因因 , ,于是解得于是解得d,dvvaRt2222sinRmJgRmMRaa若若Mm2gR sin a，则则 a0，小车的加速度沿轨道向上。，小车的加速度沿轨道向上。必须强调的是：必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。规定必须完全一致。理论力学理论力学中南大
18、学土木建筑学院中南大学土木建筑学院18ABCDz0aallCABDzaallaa例例5 水平杆水平杆AB长长2a，可绕铅垂轴可绕铅垂轴 z 转动，其两端各用铰链与长为转动，其两端各用铰链与长为l的的杆杆AC及及BD相连，杆端各联结质量为相连，杆端各联结质量为m的小球的小球C和和D。起初两小球用细起初两小球用细线相连，使杆线相连，使杆AC与与BD均为铅垂，系统绕均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为轴的角速度为 0 0。如某时如某时此细线拉断，杆此细线拉断，杆AC和和BD各与铅垂线成各与铅垂线成a a 角。不计各杆的质量，求这角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度时系统的角速度 。解：以系统为研究对
19、象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即21zzLL21002()2zLmaama222 (sin)zLm ala22022 (sin)mam ala022)sin(alaa显然，此时的角速度显然，此时的角速度 0。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院19解：解： 系统的动量矩守恒。系统的动量矩守恒。( )()0 , eOMFrvvmrvmABAA)(02vvA猴猴A与猴与猴B向上的绝对速度是一
20、样的，均为向上的绝对速度是一样的，均为 。2v例例6 已知：猴子已知：猴子A重重=猴子猴子B重，猴重，猴B以相对绳速度以相对绳速度上爬，猴上爬，猴A不动，问当猴不动，问当猴B向上爬时，猴向上爬时，猴A将如何动？将如何动？动的速度多大？（轮重不计）动的速度多大？（轮重不计）v理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院20 对于一个定轴转动刚体对于一个定轴转动刚体zzLJ( )d()()dezzJMFt 2( )( )2d() ()deezzzzJMFJMFta 或于是，得到刚体定轴转动微分方程于是，得到刚体定轴转动微分方程一、刚体定轴转动微分方程一、刚体定轴转动微分方程12-312
21、-3刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程代入质点系动量矩定理，有代入质点系动量矩定理，有FN1FN2xyzFnF2F1理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院21 特殊情况：特殊情况： 若若 ，则恒量，刚体作匀速转动或，则恒量，刚体作匀速转动或 保持静止。保持静止。 若若 常量，则常量，则 a a =常量，刚体作匀变速转动。常量，刚体作匀变速转动。将将 与与 比较，刚体的转动惯量比较，刚体的转动惯量 是刚是刚 体转动惯性的度量。体转动惯性的度量。( )()0ezM F0,a( )ezzJMamaF( )()ezM FzJ解决两类问题：解决两类问题： 已知作用在刚体的外力矩，
22、求刚体的转动规律。已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束力，需用质心运动定理求解。但不能求出轴承处的约束力，需用质心运动定理求解。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院22例例7 如图所示，已知滑轮半径为如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为转动惯量为J，带动滑带动滑轮的皮带拉力为轮的皮带拉力为F1和和F2 。求滑轮的角加速度求滑轮的角加速度a a 。 解：由刚体定轴转动的微分方程解：由刚体定轴转动的微分方程12()JR FFa于是得于是得12()FF RJ
23、a由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。滑轮的皮带拉力才是相等的。F1F2ORa理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院23例例8如图，飞轮对转轴的转动惯量为如图，飞轮对转轴的转动惯量为J，以初角速度以初角速度 0绕水平绕水平轴转动，其阻力矩轴转动，其阻力矩 Mbb (b b 为常数为常数)。求经过多长时间，求经过多长时间，角速度降至初角速度的一半，在此时间内共转多少转角速度降至初角速度的一半，在此时间内共转
24、多少转? ?解：以飞轮为研究对象，由刚体定解：以飞轮为研究对象，由刚体定轴转动的微分方程，有轴转动的微分方程，有d(1)dJtb M0将（将（1 1）式变换，有）式变换，有ddJtb 将上式求定积分，得将上式求定积分，得0020ddtJtb 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院2400lnln22JJtbbddddJttb 即即ddJb 将上式求定积分，得将上式求定积分，得0002ddJb 转过的角度为转过的角度为002Jb因此转过的转数因此转过的转数0024Jnb将将 改写为改写为ddJtb 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院25例例9 如图所示，啮
25、合齿轮各绕定如图所示，啮合齿轮各绕定轴轴O1、O2转动，其半径分别为转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为质量分别为m1、m2，转动惯量转动惯量分别为分别为J1、J2，今在轮今在轮O1上作用一上作用一力矩力矩M，求其角加速度。求其角加速度。解：分别以两轮为研究对象，受力如解：分别以两轮为研究对象，受力如图，由刚体定轴转动的微分方程，有图，由刚体定轴转动的微分方程，有111222,JMF rJF raa由运动学关系，得由运动学关系，得1 12 2rraa注意到注意到，联立求解以上三式得，联立求解以上三式得FF221221 22 1MrJ rJ raO1r1r2O2MFO1yFO1xFFnm1g
26、FO2yFO2xm2gO1O2FFnM理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院26OFOxFOW=mgOFOyFOxW=mg解除约束前：解除约束前：突然解除约束瞬时：突然解除约束瞬时： FOx=？,FOy=？ 例例1010关于突然解除约束问题关于突然解除约束问题理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院27突然解除约束瞬时，突然解除约束瞬时，杆杆OA将绕将绕O轴转动，轴转动，不再是静力学问题。不再是静力学问题。这时，这时， 0，a 0。需要先求出需要先求出a ，再确再确定约束力。定约束力。应用定轴转动微分方程应用定轴转动微分方程213,322lgmlmglaa应用
27、质心运动定理应用质心运动定理OyOxFmglmFlma2022420mglmmgFFOyOxa理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院282zi iJm r若刚体的质量是连续分布，则若刚体的质量是连续分布，则2dzmJrm 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制不仅与质量有关，而且与质量的分布有关；在国际单位制中，转动惯量的单位是中，转动惯量的单位是: kgm2。同一刚体对不同
28、轴的转动。同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此惯量是不同的，而它对某定轴的转动惯量却是常数。因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。12-412-4刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量一、定义一、定义理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院29二、转动惯量的计算二、转动惯量的计算2201 d 3lzmJxxmll22221 d12lzlmJxxmll解解：1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用） 匀质细直杆长为匀质细直杆长为l ,
29、质量为质量为m 。 求：求：对对z轴的转动惯量轴的转动惯量 ； 对对z 轴的转动惯量轴的转动惯量 。zJ zJ理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院30 zR222zi iiJmrRmmR xyRrdr22201d2d2RzJrmrrrmR 设细圆环的质量为设细圆环的质量为m，半径为，半径为R。则。则均质薄圆环对于中心轴的转动惯量均质薄圆环对于中心轴的转动惯量均质圆板对于中心轴的转动惯量均质圆板对于中心轴的转动惯量设圆板的质量为设圆板的质量为m，半径为，半径为R。将圆板分。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为为dm 2 rdr, m/
30、 R2, 于是圆板转于是圆板转动惯量为动惯量为理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院312、回转半径、回转半径由所定义的长度由所定义的长度 称为刚体对称为刚体对 z 轴的回转半径。轴的回转半径。zzJmz2zzJm 对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。转半径是相同的。z 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中
31、列出几种常见均质标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的，以供参考。刚体的，以供参考。zzJ和理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院32 3、平行移轴定理、平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。2 zzCJJmd 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。方之乘积。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院33222()zC
32、i iiiiJm rm xy222( )zi iiiiJm rm xy22, () iiiiziiixxyydJm xydiiiiiiymddmyxm2 )()(222证明：设质量为证明：设质量为m的刚体，质心为的刚体，质心为C，CzzO/ 2 , 0 iiiCzzCmmm ymyJJmd刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院34 例例11 如图所示，已知均质杆的质量为如图所示，已知均质杆的质量为m，对对 z1 轴的转轴的转动惯量为动惯量为J1，求杆对求杆对z2 的转动惯量的转动惯量J2 。解：由解：由
33、 ，得得2zzCJJmd21(1)zCJJma22(2)zCJJmb2221()JJm ba(1)(2)得得zz1z2abC理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院35当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分部分(物体物体)的转动惯量的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。要把此部分的转动惯量视为负值来处理。 4、计算转动惯量的组合法、计算转动惯量的组合法222221)(2131RlmRmlm)4
34、23(213122221lRlRmlmOOOJJJ杆盘解解：例例12 钟摆：钟摆： 均质直杆均质直杆m1, l ； 均质圆盘：均质圆盘：m2 , R 。 求求 JO 。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院36 l 2例例13 均质直角折杆尺寸如图，其质量为均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴求其对轴O的转动惯量。的转动惯量。解解：222211(2 )(2 )(2 )( 2 )3125OOAABJJJmlmlmlmlOABll 2OABll 2OABll 2 计算下列组合杆计算下列组合杆对轴对轴O的转动惯量的转动惯量理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑
35、学院37 z12R22Rl例例14 如图所示，质量为如图所示，质量为m的均质空心圆柱体外径为的均质空心圆柱体外径为R1，内径为内径为R2，求对中心轴求对中心轴 z 的转动惯量。的转动惯量。 解：空心圆柱可看成由两个实心圆柱体解：空心圆柱可看成由两个实心圆柱体组成，外圆柱体的转动惯量为组成，外圆柱体的转动惯量为J外外，内圆柱体，内圆柱体的转动惯量为的转动惯量为J内内取负值，即取负值，即内外JJJz设设m1、m2分别为外、内圆柱体的质量，则分别为外、内圆柱体的质量，则21121RmJ外22221RmJ内于是于是2222112121RmRmJz理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院
36、38 设单位体积的质量为设单位体积的质量为 ，则则221122,mR lmR l代入前式得代入前式得4412222212121()21()()2zJl RRl RRRR注意到注意到 l (R21R22)m, , 则得则得)(212221RRmJz理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院39取轮取轮B连同物体连同物体C为研究对象为研究对象232222232d1() (2)d2PPrvrT rP rtgg补充运动学条件补充运动学条件112222 ,rarvr化简化简(2) 得：得：33222PTagPP化简化简(1) 得：得：TrMagP1112113123/22MrPagPPP(
37、1) 21111211TrMrgP解解: 取轮取轮A为研究对象为研究对象例例15 提升装置中，轮提升装置中，轮A、B的重量分别为的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别半径分别为为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘可视为均质圆盘; 物体物体C 的的重量为重量为P3 ; 轮轮A上作用常力矩上作用常力矩M1 。求求 物体物体C上升的加速度。上升的加速度。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院40 ()OCCCCC rLrmvLLL其中若若O为固定点，有为固定点，有)(dd)(eiOOFMtL)()(dd)(eiiCCCFrLvmrtOxyzxyzCmiviirirCr动坐标为平移
38、坐标系动坐标为平移坐标系)()(ddd)d(dd)()(eiieiCCCCCCFrFrtLtvmrvmtr iCirrr上式左边求导展开，右边代入上式左边求导展开，右边代入也展开，得也展开，得=0相等相等理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院41 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系存在这种简单的关系。 质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力
39、有关，而与内力无关。系上的外力有关，而与内力无关。 质点系相对质质点系相对质心的动量矩定理心的动量矩定理( )dd()ddeCCrCLLMFtt理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院42 设平面运动刚体具有质量对称平面，力系设平面运动刚体具有质量对称平面，力系可以简化为该平面内的一个平面力系。取质量对称平面为可以简化为该平面内的一个平面力系。取质量对称平面为平面图形平面图形S，质心一定位于，质心一定位于S内。内。nFFF,21 取质心取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为为动系原点，则此平面运动可分解为随质心随质心C的平移的平移 (xC , yC)绕质心绕质心C的转动的转动
40、 （ ）可通过质心运动定理和相对质心的可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。动量矩定理来确定。 d , dC rC rCCCLLJJJta( )( ) , ()eeCCCmaFJMFa12-612-6刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院43以上两式称为以上两式称为刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程。应用时，。应用时，前一式取其投影式。即前一式取其投影式。即( )( )( )()eCxeCyeCCmxFmyFJMF 理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院44解：轮为研究对象。受力分析如图示。解：轮为研究
41、对象。受力分析如图示。 运动分析：取直角坐标系运动分析：取直角坐标系 Oxy aC y =0，aC x =aC， 一般情况下轮作平面运动。一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程，有根据平面运动微分方程，有FmgmaCasinNmgacos 0CJFR由由式得式得acosmgN、两式中含有三两式中含有三个未知数个未知数aC 、F F、 ，需补充附加条件。需补充附加条件。例例16 质量为质量为m半径为半径为R的均质圆轮置放于倾角为的均质圆轮置放于倾角为a a 的斜面上，的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数
42、为摩擦系数为f、f ，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院451设接触面绝对光滑。设接触面绝对光滑。因为轮由静止开始运动，故因为轮由静止开始运动，故 0，轮沿斜面平移下滑。，轮沿斜面平移下滑。常量。a , 0 ,sin , 0gaFCaaasin31 ; sin32 ,sin32mgFgRgaC2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，所以可解得设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，所以可解得,raC3设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。F=f N，可解得可解得aaaacos ,cos2 ,)cos(s
43、inmgfFRgfgfaC轮作纯滚动的条件：轮作纯滚动的条件：aacossin31maxfmgfNFmgFatg31f表明：当时，解答表明：当时，解答3适用；适用； 当时，解答当时，解答2适用；适用；f =0 时解答时解答1适用。适用。atg31fatg31f理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院46例例17均质杆质量为均质杆质量为m，长长为为l，在铅直平面内一端沿着水平在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下。不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束力不计摩擦，求开始滑动的瞬时，地面和
44、墙壁对杆的约束力。解：以杆解：以杆AB为研究对象，分析受力。为研究对象，分析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB杆作平面运动，设质心杆作平面运动，设质心C的加速度为的加速度为aCx、aCy，角加速度为角加速度为a a。aaCxaCy由刚体平面运动微分方程由刚体平面运动微分方程mgsincos(3)22CABllJFFaqq(2)CyAmaFmg(1)CxBmaF理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院47BqCAxy以以C点为基点，则点为基点，则A点的加速度为点的加速度为nACACACaaaa0sinCyACaaq再以再以C点为基点，则点为基点，则B点的加速度为点的加速度为n
45、BCBCBCaaaa0cosCxCBaaqsinsin(4)2CyAClaaqaq coscos(5)2CxCBlaaqaqaAaaBaCxaCyaBCaAC在运动开始时在运动开始时, 0, 故故 , 将上式投影到将上式投影到y 轴上，得轴上，得an 0AC同理，同理，将上式投影到，将上式投影到 x轴上，得轴上，得an 0BC理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院48联立求解联立求解(1) (5)式，并注意到式，并注意到2121mlJC可得可得3sin2glaq23(1sin)4AFmgq3sincos4BFmgqq注：注： 亦可由坐标法求出亦可由坐标法求出(4)(4)、(5
46、)(5)式：式：sin,cos22CCllxyqqcos,sin22CCllxyq qq q 22sincos,cossin2222CCllllxyq qq qq qq q 运动开始时，运动开始时， ，故，故0qcos,sin22CxCCyCllaxayaqaq BqCAxy理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院49一、基本概念一、基本概念1、动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。、动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。2、质点的动量矩：、质点的动量矩：3、质点系的动量矩：、质点系的动量矩：4、转动惯量：物体转动时惯性的度量。、转动惯量：物体转动时惯性的度量。OM (
47、mv)= rmviiiOvmrL 对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。第十二章动量矩定理习题课第十二章动量矩定理习题课理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院505、刚体动量矩计算、刚体动量矩计算平移：平移：定轴转动：定轴转动：平面运动：平面运动： , ()OCCzzCLrmvLMmvzzLJ ()zzCCLM mvJ二、质点的动量矩定理及守恒二、质点的动量矩定理及守恒1、质点的动量矩定理、质点的动量矩定理)()(dd )()(ddFMvmMt
48、FMvmMtzzOO或2、质点的动量矩守恒、质点的动量矩守恒 若若 ，则，则 常矢量。常矢量。 若若 ，则，则 常量。常量。0)(FMO0)(FMz)( vmMO)( vmMz理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院51三、质点系的动量矩定理及守恒三、质点系的动量矩定理及守恒1、质点系的动量矩定理、质点系的动量矩定理)(dd )(dd)()(ezzeOOFMtLFMtL或2、质点系的动量矩守恒、质点系的动量矩守恒四、质点系相对质心的动量矩定理四、质点系相对质心的动量矩定理若若 ，则常矢量，则常矢量若若 ，则常量，则常量OLzL 0)()(eOFM0)()(ezFM)(dd )(
49、dd)()(eCzCzeCCFMtLFMtL或理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院52五、刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程五、刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程1、刚体定轴转动微分方程、刚体定轴转动微分方程2、刚体平面运动微分方程、刚体平面运动微分方程(e)Cm aF(e)()CCJMa F()zzJMa F(e)(e)(e)()CxCyCCmxFmyFJM F理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院53六、动量矩定理的应用六、动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系
50、统尤为方便）（对单轴传动系统尤为方便）1、已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。、已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。2、已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚、已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚 体的角加速度或角速度的改变。体的角加速度或角速度的改变。3、已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代、已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代 数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。理论力学理论力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院54根据刚体平面运动微分方程根据刚体平面运动
