1、一、问题的提出一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . d d dyxf),( dyxf),(),(yx 若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式，的形式，其中其中 在在 内这个内这个 称为所求量称
2、为所求量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为，所求量的积分表达式为 DdyxfU ),(dU3.3 3.3 二重积分的应用二重积分的应用设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设设小小区区域域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图， d),(yxMdAxyzs o 二、曲面的面积二、曲面的面积,面上的投影面上的投影在在为为
3、xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求球面求球面2222azyx ，含在圆柱体，含在圆柱体axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积.由由对对称称性性知知14AA ,
4、 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz
5、22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a 设设xoy平面上有平面上有n个质点，它们分别位于个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别处，质量分别为为nmmm,21则该质点系的则该质点系的重心重心的坐标为的坐标为 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy11三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdA
6、x .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心例例 3 3 设平面薄板由设平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴围成，它的面密度轴围成，它的面密度1 ，求形心坐标，求形心坐标解解先求区域先求区域 D的面积的面积 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1
7、(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所求形心坐标为所求形心坐标为 ),(65 a.由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ， 设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymI12， niii
8、yxmI12.四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点，在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上连续，平面薄片对于上连续，平面薄片对于x轴和轴和y轴轴的转动惯量为的转动惯量为薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y例例 4 4 设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长分分别别 为为a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边
9、的的转转动动惯惯量量.解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴的转动惯量为轴的转动惯量为,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyyIDx 2 .1213 ab 例例 5 5 已知均匀矩形板已知均匀矩形板（面密度为常数（面密度为常数）的长）的长和宽分别为和宽分别为b和和h，计算此矩形板对于通过其形，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 Dydxdy
10、Ay 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx, hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .hb将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyxhbuvo 对对u轴轴的的转转动动惯惯量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 对对v轴的转动惯量轴的转动惯量 DvdudvuI2 .123 hb 薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上连续，计算该
11、平面薄片对位于上连续，计算该平面薄片对位于 z轴上的点轴上的点), 0 , 0(0aM处的单位质点的处的单位质点的引力引力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f五、平面薄片对质点的引力五、平面薄片对质点的引力例例6 6 求面密度为常量、半径为求面密度为常量、半径为R的均匀圆形的均匀圆形薄片：薄片：222Ryx ，0 z对位于对位于 z轴上的轴上的点点), 0 , 0(0aM处的单位质点的引力处的单位质点的引力)0( a解解由积分区域的对称性
12、知由积分区域的对称性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aaRfa几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结六、小结思考题思考题.)0(cos,cos之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心求位于两圆求位于两圆babrar ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x, 0
13、y则则 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考题解答思考题解答一、一、 求锥面求锥面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分所割下部分的曲面面积的曲面面积. .二、二、 设有一等腰直角三角形薄片设有一等腰直角三角形薄片, ,腰长为腰长为a, ,各点处各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方, ,求薄求薄片的重心片的重心. .三、三、 设均匀薄片设均匀薄片( (面密度为常数面密度为常数 1)1)所占闭区域所占闭区域D由抛由抛物线物线xy292 与直线与直线2 x所围成所围成,
14、 ,求求xI和和yI. .练练 习习 题题五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片: : 0,222221 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(, 0 , 0(0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引力F. .六、 设由六、 设由exoyxy 及及,ln所围的均匀薄板所围的均匀薄板( (密度密度1),1), 求此薄板绕哪一条垂直于求此薄板绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯轴的直线旋转时转动惯 量最小量最小? ?一、一、 2. .二、二、)0 ,)(2(22bababa . .三、三、).52,52(aa四、四、.796,572 yxII五、五、 ),(ln22211222222112222aRRaRRaRRaRRfF )11(, 0221222aRaRfa练习题答案练习题答案
