1、 一、二重积分的换元法一、二重积分的换元法 .sin,cosryrx间的关系为间的关系为坐标与极坐标之坐标与极坐标之平面上同一个点，直角平面上同一个点，直角的一种变换，坐标平面到直角平面上式可看成是从极坐标xoyro平平即即对对于于 ro3 3.6 .6 重积分的换元法重积分的换元法；上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在且且满满足足，平平面面上上的的变变为为平平面面上上的的闭闭区区域域将将连连续续，变变换换上上平平面面上上的的闭闭区区域域在在设设定定理理DvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf ),(),()1(),(),(:),(1换换是是一一对对一一的的，且且
2、这这种种变变平平面面上上的的一一点点成成，通通过过上上式式变变换换，变变面面上上的的一一点点),(),(yxMxoyrM 例例1 1解解所围成的闭区域所围成的闭区域线线轴和直轴和直轴、轴、由由其中其中计算计算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 则则Dxyo2 yx DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJD),(),(),(),(:)3(;0),(),(),()2(是是一一对对一一的的，则则有有变变换换上上雅雅可可比比式式在在),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvu
3、duedv2021 201)(21vdvee.1 ee. 22;0;0 vyxvuyvux即即,DD D uvovu vu 2 v例例2 2解解所围成的闭区域所围成的闭区域椭圆椭圆为为其中其中计算计算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,cosbryarx作广义极坐标变换作广义极坐标变换,20,10),( rrDD在在这这变变换换下下.),(),(abrryxJ 故换元公式仍成立，故换元公式仍成立，处为零，处为零，内仅当内仅当在在0 rDJ drdabrrdxdybyaxDD 2222211.32ab 一一阶阶连连续续偏偏导导数
4、数；上上具具有有在在且且满满足足，区区域域空空间间的的变变为为空空间间的的闭闭区区域域将将上上连连续续，变变换换空空间间区区域域在在设设定定理理 ),(, ),(),() 1 (),(),(),(:),(2wvuzwvuywvuxxyzoouvwwvuzz wvuyywvuxxTzyxf二、三重积分的换元法二、三重积分的换元法; 0),(),(),()2( wvuzyxwvuJ上上雅雅可可比比式式在在 dudvdwwvuJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxfT ),(),(),(),(),(:)3(是是一一对对一一的的，则则有有变变换换特别地特别地,当变换为当变换为 .,sin,co
5、szzryrx 时有时有,),(),(),(rrzzyxrzJ rdzdrdzrrfdxdydzzyxf),sin,cos(),(故故此式就是三重积分在柱坐标下的表示式。此式就是三重积分在柱坐标下的表示式。当变换为当变换为 .cos,sinsin,cossin zyx时有时有,sin),(),(),(2 zyxJ dddfdxdydzzyxfsin)cos,sinsin,cossin(),(2得三重积分在球面坐标下的表示式：得三重积分在球面坐标下的表示式： 二、小结的形式的形式同时也兼顾被积函数同时也兼顾被积函数的形状，的形状，于积分区域于积分区域作什么变换主要取决作什么变换主要取决),(1y
6、xfD基本要求基本要求: :变换后定限简便，求积容易变换后定限简便，求积容易.),(),(1),(),(. 2yxvuvuyxJ 计算计算 deyxyyxD2)( ，其中，其中 D：1 yx，0 x和和0 y所围成所围成.思考题思考题令令 yvyxu, vyvux雅可比行列式雅可比行列式1),(),( vuyxJ,变变换换后后区区域域为为思考题解答思考题解答oxy1 yxDouvvu D deyxyyxD2)( DdudvJvuf| ),(dveuvduuu2010 dueuu2102 ).1(41 eD ：1 yx1 u0 x0 vu0 y0 v一、一、 作适当的变换作适当的变换, ,计算下
7、列二重积分计算下列二重积分: :1 1、 Ddxdyyx22, ,其中其中D是由两条双曲线是由两条双曲线1 xy和和2 xy, ,直线直线xy 和和xy4 所围成的在第象限所围成的在第象限的闭区域的闭区域. .2 2、 Ddxdyyx)(22, ,其中其中D是椭圆区域是椭圆区域: : 1422 yx. .二、二、 设设D是由曲线是由曲线333,4,yxxyxy , ,34yx 所围所围成的第象限部分的闭区域成的第象限部分的闭区域, ,求其面积求其面积. .三、试证三、试证: : Ddxdycbyaxf)( 11222)(12ducbaufu, ,其中其中D为为 0, 12222 bayx且且. .练练 习习 题题一、一、1 1、2ln37； 2 2、 325. .二、二、81. .练习题答案练习题答案
