1、)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的., 0)( xQ当当6.4 6.4 线性方程线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法
2、)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:)(xuC 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换作变换 dxxPexuy)()
3、(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1C
4、xx 解解例例1 1例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).222(32 xxeyx23xyy 贝努利贝努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式ny
5、xQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.贝努利方程贝努利方程时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn.42的通
6、解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以ny例例 3例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx ;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(
7、22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解. yxdydx 方程变形为方程变形为小结小结1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程线性非齐次方程3.贝努利方程贝努利方程)(xyfy ;xuy 令令;)()( dxxPexuy令令;1zyn 令令思考题思
8、考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考题解答思考题解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5c
9、ot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy练练 习习 题题三、设有一质三、设有一质的的量为量为m质点作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正比一与速度成正比(比例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系 .四、四、 求下列求下列贝贝努利方程的通解努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1 (3 dxxxyyxdy.练习题答案练习题答案一、一、1 1、xeCxysin)( ； 2 2、Cyyx 2lnln2； 3 3、2321yCyx . .二、二、1 1、15sincos xexy； 2 2、113322 xexxy. .三、三、)1(022121tmkekmktkkv . .四、四、1 1、Cxxy ； 2 2、)32(ln32322 xxCyx. .五、五、1 1、Cxyx 2)(2； 2 2、Cxxy 1sin1； 3 3、Cxxyxy 4)2sin(2. .六、六、 1,)1(210, )1(2)(xeexexyyxx. .
