1、结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09第十二章第十二章 结构的极限荷载结构的极限荷载12-1 概述概述12-2 极限弯矩和塑性铰极限弯矩和塑性铰破坏机构破坏机构静定梁的计算静定梁的计算12-3 单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载12-4 比例加载时有关极限荷载的几个定理比例加载时有关极限荷载的几个定理1 12-5 计算计算极限荷载的穷举法和试算法极限荷载的穷举法和试算法12-6 连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载12-7 刚架的极限荷载刚架的极限荷载12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念矩阵位移法求刚架极限荷载的概念结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09结构的弹性分析
2、：结构的弹性分析： 假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系假定应力应变关系是线性的，结构的位移与荷载关系是线性的。荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残是线性的。荷载卸去后，结构会恢复到原来形状无任何残余变形。余变形。结构的塑性分析：结构的塑性分析： 基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究结基于考虑材料塑性性质的结构分析。其任务是研究结构处于塑性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受的荷构处于塑性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受的荷载载-极限荷载。极限荷载。极限荷载：极限荷载： 结构的变形随荷载的增加而增大。当荷载达到某一临结构的变形随荷载的增加而增大。当荷载达到某一临界值时
3、，不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失界值时，不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能力，这种状态称为结构的极限状态，此了进一步的承载能力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载是结构所能承受的荷载极限，称为极限荷载，记时的荷载是结构所能承受的荷载极限，称为极限荷载，记作作PuPu 。 12-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09计算假定：计算假定： 材料为理想弹塑性材料。材料为理想弹塑性材料。ss弹性设计时的强度条件：弹性设计时的强度条件：塑性设计时的强度条件：塑性设计时的强度条件：ksmaxkPPPuW12-1 概述概述结构力学中南大学中南大学返
4、 回退 出19:09MMhb12-2 极限弯矩和塑性铰极限弯矩和塑性铰破坏机构破坏机构静定梁的计算静定梁的计算1.1.弹性阶段弹性阶段smaxE-应力应变关系应力应变关系yk-应变与曲率关系应变与曲率关系Eyk-应力与曲率关系应力与曲率关系EIkydAMA-弯矩与曲率关系弯矩与曲率关系smaxssbhM62-弹性极限弯矩弹性极限弯矩( (屈服弯矩屈服弯矩) )线性线性关系关系ssssbhM62结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09MMhb2.2.弹塑性阶段弹塑性阶段中性轴附近处于弹性状态中性轴附近处于弹性状态. .处于弹性的部分称为弹性核处于弹性的部分称为弹性核. .)(322kkMM
5、ss-弯矩与曲率关系弯矩与曲率关系ss非线性关系非线性关系ss0y0yssMMkk23或或3.3.塑性流动阶段塑性流动阶段sssubhM42-塑性极限弯矩塑性极限弯矩( (简称为极限弯矩简称为极限弯矩) )ssbhM625 . 1suMM结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09极限弯矩与外力无关极限弯矩与外力无关, ,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。设截面上受压和受拉的面积分别为设截面上受压和受拉的面积分别为 和和 ，当截面上无轴力作用时，当截面上无轴力作用时1A2A021AAss2/21AAA中性轴亦为等分截面轴。中性轴亦为等分截
6、面轴。)(212211SSaAaAMsssu由此可得极限弯矩的计算方法由此可得极限弯矩的计算方法式中式中距离，的形心到等分截面轴的、为、2121AAaa对该轴的静矩。、为、2121AASS结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09例：已知材料的屈服极限例：已知材料的屈服极限 ，求图示截面的极限弯矩。，求图示截面的极限弯矩。MPa240smm80mm20100100mm2020mm解解: :2m0036. 0A221m0018. 02/AAAA A1 1形心距下端形心距下端0.045m, A0.045m, A2 2形心距上端形心距上端0.01167m,0.01167m,A A1 1与与A A
7、2 2的形心距为的形心距为0.0633m.0.0633m.)(21SSMsukN.m36.270633. 02As结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09塑性铰塑性铰uk若截面弯矩达到极限弯矩若截面弯矩达到极限弯矩, ,这时的曲率记作这时的曲率记作 。ssMMkk235 . 1suMM023suusMMkkuk意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。称为塑性铰。称为塑性铰。塑性铰与铰的差别：塑性铰与铰的差别：1.1.塑性铰可承受极限弯矩塑性铰可承受极限弯矩; ;2.2.塑性铰是单向的塑性铰是单向的; ;3.3.卸载时消失卸载时消失;
8、 ;4.4.随荷载分布而出现于不同截面。随荷载分布而出现于不同截面。结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09破坏机构破坏机构结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。结构由于出现塑性铰而形成的机构称为破坏机构。破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。破坏机构可以是整体性的，也可能是局部的。结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:0912-3 单跨超静定梁的极限荷载单跨超静定梁的极限荷载超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。P PAl/2l/2BCP PABC16/3Pl32/5PluAMPlM16/3A截面先出现塑
9、性铰，这时截面先出现塑性铰，这时lMPu3/16ABPC4/ lP4/32/5PlPlMC再增加荷载再增加荷载令令uCMM4/32/5PlPlMu将将P P代入，得代入，得4/316325PllMlMuulMPu3/2lMPPPuu/6逐渐加载法（增量法）逐渐加载法（增量法）结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09lMPu3/2lMPPPuu/6 从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为从受力情况，可判断出塑性铰发生的位置应为A A、C C。利用极限状态的。利用极限状态的平衡可直接求出极限荷载。平衡可直接求出极限荷载。2ABuMP PuCuM逐渐加载法（增量法）逐渐加载法（增量法）P P
10、Al/2l/2BCP PABC16/3Pl32/5PlABPC4/ lP 0AM)2(1uuBMlPlR 0CM242uuBuMlPlRMuuuuMlMMlP6)21(4或列虚功方程或列虚功方程022uuuMMlPuuMlP6极限平衡法极限平衡法结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09 例例: :求图示等截面梁的极限荷载求图示等截面梁的极限荷载. .已知梁的极限弯矩为已知梁的极限弯矩为Mu。 0AM221xqxRMuBC 0CM)2(1uuBMllqlR221)2(xqxlMlquuu因为因为 是最大弯矩，是最大弯矩，CMAlBq 解解: : 梁中出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性梁中
11、出现两个塑性铰即为破坏机构，根据弹性分析，一个在分析，一个在A截面，设另一个在截面，设另一个在C截面。截面。RBABuMCuMxuq0dxdMC02xqlMlquuu)2(2xllMquu0222llxxlx)21(llx4142. 0) 12(uuMlq266.11结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09 例例: :求图示变截面梁的极限荷载求图示变截面梁的极限荷载. .已知已知ABAB段的极限弯矩为段的极限弯矩为2 2Mu,BC段为段为Mu 。这种情况不会出现。这种情况不会出现。uAMM3 解解: : 确定塑性铰的位置：确定塑性铰的位置：ylA32Al/3BCP Pl/3l/3D若若B
12、 B、D D出现塑性铰，则出现塑性铰，则B B、D D两截面的弯矩两截面的弯矩为为Mu， 若若A出现塑性铰，再加荷载时，出现塑性铰，再加荷载时，B B截面弯矩截面弯矩减少减少D D截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于截面弯矩增加，故另一塑性铰出现于D D截面。截面。uMuM3uMABPuM2uMuPACuM2yDACylC3lyCAD2/902DuAuuMMyP029232ylMylMyPuuuuuMlP215列虚功方程列虚功方程结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09 由前面例题可见由前面例题可见: :若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平
13、衡即可求出极限荷载可求出极限荷载。 同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等因素无关因素无关。12-4 比例加载时有关极限荷载的几个定理比例加载时有关极限荷载的几个定理比例加载比例加载-作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现 卸载的加载方式。卸载的加载方式。1P2P1q2qPP11PP22Pq22Pq11求极限荷载相当于求求极限荷载相当于求P P的极限值。的极限值。结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件：结构处于
14、极限状态时，应同时满足下面三个条件：1.1.单向机构条件；单向机构条件； 2.2.内力局限条件；内力局限条件； 3.3.平衡条件。平衡条件。可破坏荷载可破坏荷载-同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。可接受荷载可接受荷载-同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。PP极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。1.1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。比例加载时关于极限荷载的定理：比例加载时关于极限荷载的定理： PP证明：证明： 取任一可破坏荷载
15、取任一可破坏荷载P，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程niiuiMP1取任一可接受荷载取任一可接受荷载P，在与上面相同虚位移上列虚功方程，在与上面相同虚位移上列虚功方程niiiMP1uiiMM PP结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:091.1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。 PP证明：证明： 取任一可破坏荷载取任一可破坏荷载P，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程niiuiMP1取任一可接受荷载取任一可接受荷载P，在与上面相同虚位移上列虚功方程，在与上
16、面相同虚位移上列虚功方程niiiMP1uiiMM PP2.2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。唯一性定理：极限荷载是唯一的。证明：证明：设同一结构有两个极限荷载设同一结构有两个极限荷载 和和 。1uP2uP若把若把 看成可破坏荷载，看成可破坏荷载， 看成可接受荷载。看成可接受荷载。1uP2uP21uuPP 若把若把 看成可破坏荷载，看成可破坏荷载， 看成可接受荷载。看成可接受荷载。1uP2uP21uuPP 故有故有21uuPP 结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:093.3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。证明
17、：证明： 由于极限荷载由于极限荷载 是可接受荷载，由基本定理是可接受荷载，由基本定理uP2.2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。唯一性定理：极限荷载是唯一的。证明：证明：设同一结构有两个极限荷载设同一结构有两个极限荷载 和和 。1uP2uP若把若把 看成可破坏荷载，看成可破坏荷载， 看成可接受荷载。看成可接受荷载。1uP2uP21uuPP 若把若把 看成可破坏荷载，看成可破坏荷载， 看成可接受荷载。看成可接受荷载。1uP2uP21uuPP 故有故有21uuPP PPu4.4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。证明：证明
18、： 由于极限荷载由于极限荷载 是可破坏荷载，由基本定理是可破坏荷载，由基本定理uP PPu结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。定理的应用：定理的应用：穷举法：穷举法：每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构
19、破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构继续运算。继续运算。试算法：试算法：极小定理的应用极小定理的应用唯一性定理的应用唯一性定理的应用例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。P PAl/3l/3BCP Pl/3D解：解：1.1.用穷举法求解用穷举法求解共有三种可能的破坏机构共有三种可能的破坏机构结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09P PAl/3l/3BCP Pl/3D例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。解：解：1.1.用穷举法求解用穷举法求解共有三种可能的破坏机构：共有三种可
20、能的破坏机构：（1 1）A A、B B出现塑性铰出现塑性铰323/2l3/l032332uuMMlPlPuMlP5（2 2）A A、C C出现塑性铰出现塑性铰03332uuMMlPlPuMlP4323/2l3/l23/l（3 3）B B、C C出现塑性铰出现塑性铰023uuMMlPuMlP9uuMlP4结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。P PABCP PD解：解：（1 1）选）选A A、B B出现塑性铰形成的破坏机构出现塑性铰形成的破坏机构323/2l3/l032332uuMMlPlPuMlP5
21、2.2.用试算法求解用试算法求解lMu/5uMuMlMu/53/4uM 由作出的弯矩图可见，由作出的弯矩图可见，C C截面不满足内力截面不满足内力局限性条件。局限性条件。（2 2）选）选A A、C C出现塑性铰形成的破坏机构出现塑性铰形成的破坏机构由作出的弯矩图可见，满足内力局限性条件。由作出的弯矩图可见，满足内力局限性条件。03332uuMMlPlP323/2l3/luMuMlMu/4lMu/43/uMuMlP4uuMlP4结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09 例例: :求图示等截面梁的极限荷载求图示等截面梁的极限荷载. .已知梁的极限弯矩为已知梁的极限弯矩为Mu。AlBq 解解:
22、 : 用上限定理（极小定理）计算。用上限定理（极小定理）计算。lMxlxxlqu2)(202422llxx0dxdqABuMCuMxq021CuAuMMlqABCxxlAB;)11(xxlBAC0)11(2xxlMxMlquu0)11(12xxlMxMlquulxlx)22()22(212min66.11lMqquu结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:0912-6 连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载连续梁的破坏机构连续梁的破坏机构一跨单独破坏一跨单独破坏相邻跨联合破坏相邻跨联合破坏不会出现不会出现在各跨等截面、荷在各跨等截面、荷载方向相同条件下，载方向相同条件下，破坏机构只能在各破坏机构只
23、能在各跨内独立形成。跨内独立形成。结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB,AB、BCBC跨的极限跨的极限弯矩为弯矩为Mu ，CDCD跨的极限弯矩为跨的极限弯矩为3 3Mu 。解：先分别求出各跨独自破坏时的解：先分别求出各跨独自破坏时的 可破坏荷载可破坏荷载. .（1 1）ABAB跨破坏时跨破坏时0.8P0.8PABCDP PP Pq=P/=P/aEFaaaaa2a0.8P0.8PDP PP Pq=P/=P/a2uuMMaP28 . 0aMPu/75. 3（2 2）BCBC跨破坏时跨破坏时u
24、uuMMMaaaP2221aMPu/40.8P0.8PP PP Pq=P/=P/a2（3 3）CDCD跨破坏时跨破坏时有三种情况：有三种情况：结构力学中南大学中南大学返 回退 出19:09例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB,AB、BCBC跨的极限跨的极限弯矩为弯矩为Mu ，CDCD跨的极限弯矩为跨的极限弯矩为3 3Mu 。0.8P0.8PABCDP PP Pq=P/=P/aEFaaaaa2a0.8P0.8PDP PP Pq=P/=P/a32解：先分别求出各跨独自破坏时的解：先分别求出各跨独自破坏时的 可破坏荷载可破坏荷载. .（1 1）ABAB跨破坏时跨破坏时uuMMaP28 . 0aMPu/75. 3（2 2）BCBC跨破坏时跨破坏时uuuMMMaaaP2221aMPu/4（3 3）CDCD跨破坏时跨破坏时有三种情况有三种情况0.8P0.8PP PP Pq=P/=P/a0.8P0.8PP PP Pq=P/=P/a332uuMMaPaPaMPu/33. 3aMPuu/33. 3
