1、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-1 1 1页页页电子教案第一章第一章 信号与系统信号与系统1.1 1.1 绪绪 言言 一、信号的概念一、信号的概念 二、系统的概念二、系统的概念1.2 1.2 信号的描述与分类信号的描述与分类 一、信号的描述一、信号的描述 二、信号的分类二、信号的分类1.3 1.3 信号的基本运算信号的基本运算 一、加法和乘法一、加法和乘法 二、时间变换二、时间变换1.4 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 一、阶跃函数一、阶跃函数 二、冲激函数二、冲激函数 三、冲激函数的性质三、冲激函数的性质 四、序列四、序列(k)和和(k)
2、1.5 1.5 系统的性质及分类系统的性质及分类 一、系统的定义一、系统的定义 二、系统的分类及性质二、系统的分类及性质 1.6 1.6 系统的描述系统的描述 一、连续系统一、连续系统 二、离散系统二、离散系统 1.7 LTI1.7 LTI系统分析方法概系统分析方法概 述述点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-2 2 2页页页电子教案思考问题：思考问题：什么是信号？什么是系统？为什么把这两什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念联系在一起？个概念联系在一起？一、信号的概念一、信号的概念1. 消息消息(messag
3、e):人们常常把来自外界的各种报道统称为人们常常把来自外界的各种报道统称为消息消息。消息消息：反映知识状态的改变。：反映知识状态的改变。2. 信息信息(information): 通常把消息中有意义的内容称为通常把消息中有意义的内容称为信息信息。 信息量信息量=收到消息前对某事件的无知程度收到消息前对某事件的无知程度 收到消息后对某事件的无知程度收到消息后对某事件的无知程度1.1 绪言绪言第一章第一章 信号与系统信号与系统它是信息论中的一个术语。它是信息论中的一个术语。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-3 3 3页页页电子教案1.1 绪论绪论3. 信号信号
4、(signal):信号信号是信息的载体。通过信号传递信息。是信息的载体。通过信号传递信息。 信号我们并不陌生，如刚才铃信号我们并不陌生，如刚才铃声声声信号声信号，表示该上课了；，表示该上课了； 十字路口的红绿灯十字路口的红绿灯光信号光信号，指，指挥交通；挥交通； 电视机天线接受的电视信息电视机天线接受的电视信息电电信号信号； 日常生活中的文字信号、图像信日常生活中的文字信号、图像信号、生物电信号等等，都是信号。号、生物电信号等等，都是信号。 为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。换成便于传输和处理的信号。信号与系统信号与系
5、统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-4 4 4页页页电子教案二、系统的概念二、系统的概念 一般而言，一般而言，系统系统(system)(system)是指若干是指若干相互关联相互关联的的事物组合而成具有事物组合而成具有特定功能特定功能的的整体整体。 如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图像、文字看成系统。它们所传送的语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。紧密地联系在一起。 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装
6、置，信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为这样的物理装置常称为系统系统。 系统的基本作用是对输入系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。换为所需要的输出信号。系统系统输入信号输入信号激励激励输出信号输出信号响应响应1.1 绪论绪论演示演示信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-5 5 5页页页电子教案1.1 绪论绪论 本课程重点讨论通信、信号处理和控制等领域中的本课程重点讨论通信、信号处理和控制等领域中的电子信息系统。举例说明电子信息系统。举例说明: *. 通信系统通信系统 *. 控
7、制系统控制系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-6 6 6页页页电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类第一章第一章 信号与系统信号与系统一、信号的描述一、信号的描述 信号信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。或位置变化的物理量。 信号信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号处理。本课程讨论电信号-简称简称“信号信号”。电信号的基本形式电信号的基本
8、形式：随时间变化的电压或电流。：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法描述信号的常用方法（1 1）表示为时间的函数）表示为时间的函数 （2 2）信号的图形表示）信号的图形表示-波形波形“信号信号”与与“函数函数”两词常相互通用。两词常相互通用。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-7 7 7页页页电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类二、信号的分类二、信号的分类1. 确定信号和随机信号确定信号和随机信号 可以用确定时间函数表示的信号，称为可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号确定信号或或规则信号规则信号。如正弦信号。如正弦信号。 若信号不能用
9、确切的函数描述，它在任意时刻的若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号随机信号或或不确定信号不确定信号。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。信号就是两种典型的随机信号。 研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。讨论确定信号。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-8 8 8
10、页页页电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类2. 连续信号和离散信号连续信号和离散信号根据信号自变量为连续根据信号自变量为连续/ /离散的特点进行区分。离散的特点进行区分。 在连续的时间范围内在连续的时间范围内(-t(-t）有定义的信号）有定义的信号称为称为连续时间信号连续时间信号，简称，简称连续信号连续信号。函数值为连续时。函数值为连续时常称为常称为模拟信号模拟信号。 这里的这里的“连续连续”指函数的定义域指函数的定义域时间是连续的，时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。tof1(t) = sin(t)12to 121-1-1
11、1f2(t)值域连值域连续续值域不值域不连续连续（1 1）连续时间信号：）连续时间信号：演示演示信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-9 9 9页页页电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号离散时间信号，简称简称离散信号离散信号。取值为规定数值时常称为。取值为规定数值时常称为数字信号数字信号。 这里的这里的“离散离散”指信号的定义域指信号的定义域时间是离散的，它时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无
12、定义。 如右图的如右图的f(t)仅在一些离散时刻仅在一些离散时刻t tk k(k(k = 0, = 0,1,1,2,2,) )才有定义，才有定义，其余时间无定义。其余时间无定义。 相邻离散点的间隔相邻离散点的间隔T Tk k= =t tk+1k+1- -t tk k可可以相等也可不等。通常取等间隔以相等也可不等。通常取等间隔T T，离散信号可表示为离散信号可表示为f(kT)，简写为，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号也常，这种等间隔的离散信号也常称为称为序列序列。其中。其中k称为称为序号序号。to2t11f(t)-1.521t2t3t4t-1离散时间信号：离散时间信号：信号与系统信号与系统西
13、安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-101010页页页电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类上述离散信号可简画为上述离散信号可简画为ko211f(k)-1.5212 3 4-1用表达式可写为用表达式可写为k0413, 02, 21, 5 . 10, 21, 1)(其他，kkkkkkkf或写为或写为f(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，k=0k=0通常将对应某序号通常将对应某序号m的序列值称为第的序列值称为第m个样点的个样点的“样值样值”。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-111111页页页电子教案1.2 信号的描述和
14、分类信号的描述和分类3. 周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号 周期信号周期信号(period signal)是定义在是定义在(-(-，)区区间，每隔一定时间间，每隔一定时间T T ( (或整数或整数N N），按相同规律重复），按相同规律重复变化的信号。变化的信号。连续周期信号连续周期信号f(t)满足满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,离散周期信号离散周期信号f(k)满足满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,满足上述关系的最小满足上述关系的最小T T( (或整数或整数N N) )称为该信号的称为该信号的周期周期。不具有周期性的信号称为不具有周期
15、性的信号称为非周期信号非周期信号。演示演示信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-121212页页页电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类例例1 1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1 1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint解：解：两个周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为的周期分别为T1和和T2，若其，若其周期之比周期之比T1/T2为有理数，则其和信号为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周仍然是周期信号，其周期为期
16、信号，其周期为T1和和T2的最小公倍数。的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s由于由于T1/T2= 3/2为有理数，故为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为为周期信号，其周期为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数2。（2） cos2t 和和sint的周期分别为的周期分别为T1= s， T2= 2 s，由于，由于T1/T2为无理数，故为无理数，故f2(
17、t)为非周期信号。为非周期信号。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-131313页页页电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类例例2 2 判断正弦序列判断正弦序列f(k) = sin(k)是否为周期信号，若是，是否为周期信号，若是，确定其周期。确定其周期。解解 f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0,1,2,式中式中称为正弦序列的数字角频率，单位：称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。由上式可见：由上式可见： 仅当仅当2/ 为整数时为整数时，正弦序列才具有周期，正弦序列才具有周期N = 2/ 。当当2/ 为有理数时
18、为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为期为N= M(2/ )，M取使取使N为整数的最小整数。为整数的最小整数。当当2/ 为无理数时为无理数时，正弦序列为非周期序列。，正弦序列为非周期序列。)(sin)2(sinmNkmk信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-141414页页页电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类例例3 3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1 1）f1(k) = sin(3k/4) + cos(0.5k) （2）f2(k) = si
19、n(2k)解解 （1 1）sin(3k/4) 和和cos(0.5k)的数字角频率分别为的数字角频率分别为 1 = 3/4 rad， 2 = 0.5 rad由于由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4为有理数，故它们的周期分为有理数，故它们的周期分别为别为N1 = 8 ， N2 = 4，故，故f1(k) 为周期序列，其周期为为周期序列，其周期为N1和和N2的最小公倍数的最小公倍数8。 （2 2）sin(2k) 的数字角频率为的数字角频率为 1 = 2 rad；由于；由于2/ 1 = 为无理数，故为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列为非周期序列 。由上面几例可看出由上面几例可
20、看出：连续正弦信号一定是周期信号，而连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-151515页页页电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类4能量信号与功率信号能量信号与功率信号 将信号将信号f (t)施加于施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率电阻上，它所消耗的瞬时功率为为| f (t) |2，在区间，在区间( , )的的能量能量和和平均功率平均功
21、率定义为定义为（1）信号的能量）信号的能量EttfEd)(2def（2）信号的功率）信号的功率P222defd)(1limTTTttfTP 若信号若信号f (t)的能量有界，即的能量有界，即 E ,则称其为则称其为能量有能量有限信号限信号，简称，简称能量信号能量信号。此时。此时 P = 0 若信号若信号f (t)的功率有界，即的功率有界，即 P ,则称其为则称其为功率有功率有限信号限信号，简称，简称功率信号功率信号。此时。此时 E = 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-161616页页页电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类 相应地相应地，对于，
22、对于离散信号离散信号，也有能量信号、功率信，也有能量信号、功率信号之分。号之分。 若满足若满足 的的离散信号离散信号，称为能量信号。，称为能量信号。 kkfE2| )(|若满足若满足 的的离散信号离散信号，称为功率信号。，称为功率信号。2/2/2| )(|1limNNkNkfNP 时限信号时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号仅在有限时间区间不为零的信号)为能为能量信号量信号; 周期信号周期信号属于功率信号，而属于功率信号，而非周期信号非周期信号可能可能是能量信号，也可能是功率信号。是能量信号，也可能是功率信号。 有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，有些信号既不是属于能量信号也不属于功
23、率信号，如如 f (t) = e t。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-171717页页页电子教案1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类5一维信号与多维信号一维信号与多维信号 从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为变量的函数，称为一维一维或或多维函数多维函数。 语音信号语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这是可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号一维信号。而一张。而一张黑白图像黑白图像每个点每个点(像素像素)具有不同的具有不同的光强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数，光强度，任
24、一点又是二维平面坐标中两个变量的函数，这是这是二维信号二维信号。还有更多维变量的函数的信号。还有更多维变量的函数的信号。 本课程只研究本课程只研究一维信号一维信号，且自变量多为时间。，且自变量多为时间。6因果信号与反因果信号因果信号与反因果信号 常将常将 t = 0时接入系统的信号时接入系统的信号f(t) 即在即在t 0，则将，则将f ()右移；否则左移。右移；否则左移。 如如f (t)to11右移右移t t 1f (t-1-1)to211左移左移t t + 1f (t+1+1)to1- -1演示演示信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-212121页页页电子
25、教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算平移与反转相结合平移与反转相结合f (t)to11法一：法一：先平移先平移f (t) f (t +2) 再反转再反转 f (t +2) f ( t +2)法二：法二：先反转先反转 f (t) f ( t) 画出画出 f (2 t)。 f (- - t )- -11to再平移再平移 f ( t) f ( t +2)f (t)to112to11 1f (- -t +2+2)- -1to1 1- -2f (t +2+2)左移左移右移右移= f (t 2)注意：是对注意：是对t 的变换！的变换！信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-
26、1-222222页页页电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算 3. 3. 尺度变换（横坐标展缩）尺度变换（横坐标展缩） 将将 f (t) f (a t) ， 称为对信号称为对信号f (t)的的尺度变换尺度变换。若若a 1 ，则波形沿横坐标压缩；若，则波形沿横坐标压缩；若0 a 1 ，则展开，则展开 。如如tof ( t )1- -22t 2t 压缩压缩to1- -1f (2 t )1t 0.5t 展开展开to1- -4f (0.5 t )4对于离散信号，由于对于离散信号，由于 f (a k) 仅在为仅在为a k 为为整数整数时才有意义，时才有意义， 进行尺进行尺度变换时可能会使部分信号丢
27、失。因此一般不作波形的尺度变换。度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。演示演示信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-232323页页页电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算平移、反转、尺度变换相结合平移、反转、尺度变换相结合tof ( t )1- -22例例1 已知已知f (t)，画出，画出 f ( 4 2t)。 f (t -4-4)426to1压缩，得压缩，得f (2t 4)f (2t -4-4)213to1反转，得反转，得f ( 2t 4)- -1- -3f (- -2t -4-4)to1右移右移4，得，得f (t 4)三种运算的
28、次序可任三种运算的次序可任意。但一定要注意始意。但一定要注意始终对时间终对时间 t 进行。进行。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-242424页页页电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算tof ( t )1- -22压缩，得压缩，得f (2t)f ( 2t )- -11to1右移右移2，得，得f (2(t 2) = f (2t 4)f (2t -4-4)213to1反转，得反转，得f ( 2t 4)- -1- -3f (- -2t -4-4)to1也可以先压缩、再平移、最后反转。也可以先压缩、再平移、最后反转。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电
29、路与系统教研中心第第第1-1-1-252525页页页电子教案1.3 信号的基本运算信号的基本运算若已知若已知f ( 4 2t) ，画出，画出 f (t) 。 - -1- -3f (- -2t - -4)to1反转，得反转，得f (2t 4)f (2t - -4)213to1展开，得展开，得f (t 4)to1 1f (t - -4)246左移左移4，得，得f (t)tof ( t )1- -22信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-262626页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 阶跃函数阶跃函数和和冲激函数冲激函数不同于普通函数，称为不
30、同于普通函数，称为奇异函数奇异函数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数一、阶跃函数一、阶跃函数 下面采用求函数序列极限下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。的方法定义阶跃函数。选定一个函数序列选定一个函数序列n(t)如图所示。如图所示。 ton1n11n21n to1 (t)0, 10, 2/10, 0)(lim)(deftttttnn信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1
31、-1-272727页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数阶跃函数性质：阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号）可以方便地表示某些信号 f (t)o2t12-1f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) (a)(b)f (t)f(t) (t)oottot(c)f(t) (t- -t1)- - (t- -t2)t1t2（2）用阶跃函数表示信号的作用区间）用阶跃函数表示信号的作用区间 （3）积分）积分 )(d)(ttt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-282828页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数二、冲激
32、函数二、冲激函数 单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由特殊的方式定义（由狄拉克狄拉克最早提出）最早提出） 1)(0, 0)(dttttto(1) (t)也可采用下列也可采用下列直观定义直观定义：对：对n(t)求求导得到如图所示的矩形脉冲导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。 topn(t)n1n12n)(lim)(deftptnn 高度无穷大，宽度高度无穷大，宽度无穷小，面积为无穷小，面积为1的对称窄脉冲。的对称窄脉冲。 演示演示信号与系统信
33、号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-292929页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数冲激函数与阶跃函数关系：冲激函数与阶跃函数关系：tttd)(d)(to1 (t)to(1) (t)ttd)()(可见，引入冲激函数之可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存后，间断点的导数也存在。如在。如tof (t)21- -1f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)求导求导1- -1otf (t)(2)(- -2)ton1n11n21topn(t)n1n12nnntttpnnd)(d)(信号与系统信
34、号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-303030页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数三、冲激函数的广义函数定义三、冲激函数的广义函数定义 普通函数，如普通函数，如 y=f(t) 是将一维实数空间的数是将一维实数空间的数t经过经过 f 所规定所规定的运算映射为一维实数空间的数的运算映射为一维实数空间的数y。1 1、广义函数的概念、广义函数的概念 将普通函数的概念推广将普通函数的概念推广，广义函数可以这样定义：，广义函数可以这样定义： 选择一类性能良好的函数选择一类性能良好的函数 ， 称为检验函数称为检验函数( (相当于自相当于自变量变量) )，一个广
35、义函数，一个广义函数g(tg(t) )对检验函数空间中的每个函数对检验函数空间中的每个函数 赋赋予一个数值予一个数值N N的映射，该数与广义函数的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数和检验函数 有关，有关，记作记作g g 。 ( ) t( ) t( ) t( ) t( ) t ( )( ) ( )gNtg tt dt广义函数可写为广义函数可写为:信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-313131页页页电子教案表表1.1 广义函数与普通函数的对应关系广义函数与普通函数的对应关系1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 广义函数广义函数 普通函数普通函数函数
36、值函数值定义域定义域自变量自变量定义式定义式类类 型型 ( )( ) ( )gNtg tt dt)(tfy )(t)(t)(tf),(21tt)(tNgt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-323232页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数2 2、广义函数的性质、广义函数的性质性质性质1 1（相等）：（相等）：1212( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ggg tt dtNtNtg tt dt若若12( )( )g tg t则则性质性质2 2（相加）：（相加）：12 ( ) ( ) ( )gggNtNtNt若若12( )( )(
37、)g tg tg t则则信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-333333页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数)(1)()()(ataNtNtgatg性质性质3 3（尺度变换）：（尺度变换）：性质性质4 4（微分）：（微分）：)() 1()()()()()()(tNtNnntgtgn信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-343434页页页电子教案定义定义 按广义函数理论，冲激函数由下式确定按广义函数理论，冲激函数由下式确定 即冲激函数即冲激函数(t)作用于检验函数作用于检验函数(t)的效果是给它的效果是给
38、它赋值为赋值为(0) 。( ) ( )(0)tt dt 这常称为这常称为冲激函数冲激函数的的取样性质取样性质( (或筛选性质或筛选性质) )。简言之，能从检验函数简言之，能从检验函数(t)(t)中筛选出函数值中筛选出函数值(0)(0)的广义函数就称为冲激函数的广义函数就称为冲激函数(t)(t)。 . 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数3 3、冲激函数的广义函数定义、冲激函数的广义函数定义信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-353535页页页电子教案 实际上，许多函数序列的广义极限都具有如上的筛选性实际上，许多函数序列的广义极限都具有如上的筛选性质，
39、可以用它们来定义冲激函数质，可以用它们来定义冲激函数(t) ，例如，例如高斯（钟形）函数高斯（钟形）函数 2()( )limbtbtbe点击看图形点击看图形 取样函数取样函数 sin()( )limbbttt点击看图形点击看图形双边指数函数双边指数函数 01( )lim2tbbteb点击看图形点击看图形220( )lim()bbtbt以及以及点击看图形点击看图形等等。等等。1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-363636页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数高斯（钟形）函数高斯（钟形）函数 2(
40、)( )limbtbtbe信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-373737页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 取样函数取样函数 sin()( )limbbttt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-383838页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数双边指数函数双边指数函数 01( )lim2tbbteb信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-393939页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数220( )lim()bbtbt信号与系
41、统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-404040页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数四、冲激函数的性质四、冲激函数的性质 1. 1. 与普通函数与普通函数 f(t) 的乘积的乘积取样性质取样性质 若若f(t)在在 t = 0 、 t = a处存在，则处存在，则 f(t) (t) = f(0) (t) ， f(t) (t a) = f(a) (t a) )0(d)()(ftttf)(22)()4sin()()4sin(tttt22d)()4sin(ttt?d) 1()4sin(03ttt?d)()4sin(91ttt?d)(211t?d)() 1
42、(12t022其它, 011,2tt(t)(d)()(aftattf)(e2)()(e2)(e)(edd2222tttttttttt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-414141页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 2. 2. 冲激函数的导数冲激函数的导数(t) （也称冲激偶）（也称冲激偶）证明：证明： f(t) (t) = f(t) (t) + f (t) (t) f(t) (t) = f(t) (t) f (t) (t) = f(0) (t) f (0) (t) (t)的定义：的定义：)0( d)()( fttft(n)(t)的定
43、义：的定义：)0() 1(d)()()()(nnnfttft4)2(2)2(ddd)( )2(0022tttttttt)()0()()0()()(tftfttf信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-424242页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 3. 3. (t) 的尺度变换的尺度变换)(1|1)()()(taaatnnn)0(1)()()()(, 0aadxaxxdttatatxaaa则上式可写为令则若)0(1)()()()()()(, 0aadxaxxadxaxxdttataaa有则若)(|1)(taat综合以上结果，得：综合以上结
44、果，得：特例：特例：)(at证明见课本证明见课本P.21信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-434343页页页电子教案推论推论:(1)(|1)(taat)(|1)(00attatat(2t) = 0.5 (t) )() 1()()()(ttnnn(2)当当a = 1时时所以，所以， ( t) = (t) 为偶函数，为偶函数， ( t) = (t)为奇函数为奇函数1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-444444页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数已知已知f(t
45、)，画出，画出g(t) = f (t)和和 g(2t) 求导，得求导，得g(t) o2tf (t)-24(4)o2tg(t) = f (t)-2-1压缩，得压缩，得g(2t) (2)o1tg(2t)-1-1信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-454545页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数4. 4. 复合函数形式的冲激函数复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数，其中的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且是普通函数。并且f(t) = 0有有n个互不相等的实根个互不相等的实根 ti ( i=1，
46、2，n) ttftftftd)(d)()(dd)(dd)( 1)(tfttftff(t)图示说明：图示说明： 例例f(t)= t2 4 (t2 4)=1 (t+2)+(t 2)f (t)t- -4- -22o1 f (t) 2- -2to信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-464646页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数)2(41)2(41)2(221)2(221)2()2(21)4(dd21422ttttttttttt( t 2 4) =1 (t+2)+(t 2)一般地，一般地，niiitttftf1)()( 1)(这表明，这表明，f
47、(t)是位于各是位于各ti处，强度为处，强度为 的的n个冲激个冲激函数构成的冲激函数序列。函数构成的冲激函数序列。 )( 1itf)21(41)21(41) 14(2ttt注意注意：如果：如果f(t)=0有重根，有重根，f(t)无意义。无意义。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-474747页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数这两个序列是普通序列。这两个序列是普通序列。（1）单位）单位(样值样值)序列序列(k)的定义的定义0, 00, 1)(defkkko11-1k (k)取样性质：取样性质： f(k)(k) = f(0)(k)0()
48、()(fkkfkf(k)(k k0) = f(k0)(k k0) 例例?)(kk?)()5(kkk?)(iik五、序列五、序列(k)和和(k)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-484848页页页电子教案1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数（2）单位阶跃序列）单位阶跃序列(k)的定义的定义0, 00, 1)(defkkko11-1k (k)23（3）(k)与与(k)的关系的关系(k) = (k) (k 1) kiik)()(或或0)()(jjkk(k) = (k)+ (k 1)+信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-
49、494949页页页电子教案1.5 系统的描述系统的描述1.5 系统的描述系统的描述 描述连续动态系统的数学模型是描述连续动态系统的数学模型是微分方程微分方程，描，描述离散动态系统的数学模型是述离散动态系统的数学模型是差分方程差分方程。一、连续系统一、连续系统1. 1. 解析描述解析描述建立数学模型建立数学模型 图示图示RLC电路，以电路，以uS(t)作激励，以作激励，以uC(t)作为响作为响应，由应，由KVL和和VAR列方程，并整理得列方程，并整理得uS(t)uC(t)LRC)(0)0(dddd22CCSCCCuuuutuRCtuLC，二阶常系数线性微分方程。二阶常系数线性微分方程。信号与系统
50、信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第1-1-1-505050页页页电子教案1.6 系统的描述系统的描述)()(d)(dd)(d01222tftyattyattya抽去具有的物理含义，微分方程写成抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。MxCkf (t)其中，其中，k为弹簧常数，为弹簧常数，M为物体质为物体质量，量，C为减振液体的阻尼系数，为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为为初始外力。其运动方程为)()(d)(dd)(d2
