1、3.5.2 线性系统稳定条件反馈系统稳定的充分必要条件是：反馈系统稳定的充分必要条件是：系统传递函数的所有系统传递函数的所有闭环极点闭环极点（特征根）均有负的实部。均有负的实部。系统稳定的充分必要条件是系统系统稳定的充分必要条件是系统传递函数的所有传递函数的所有闭环极点闭环极点（特征根）位于位于s平面的左半开平面。平面的左半开平面。S平面3.5.3 劳斯稳定判据 无需求解特征根稳定的稳定的必要条件必要条件1011( ).nnnnD sa sa sasa01( )()0niiD sass1.劳斯稳定判据给出劳斯稳定判据给出特征根具有负的实部的必要条件必要条件是： 特征方程式中各系数同号且不缺项特
2、征方程式中各系数同号且不缺项。控制系统特征方程式=03.5.3 劳斯稳定判据特征方程：特征方程： ansn+ an-1sn-1+ an-2sn-2+ a1s+ a0=0劳斯表：劳斯表：Sn an an-2 an-4 an-6sn-1 an-1 an-3 an-5 an-7 sn-2 (an-1 .an-2 - an . an-3)/ an-1 b2 b3SS0 a02.劳劳 斯斯 表表可用一正数乘或除某一整行，结论不变3.5.3 Routh-Hurwitz 稳定判据特征方程：特征方程： D(s) = ansn+ an-1sn-1+ an-2sn-2+ a1s+ a0=0劳斯判据劳斯判据：D(s
3、)具有正实部根的个数，等于劳斯表第一列中具有正实部根的个数，等于劳斯表第一列中元素符号变化的次数。元素符号变化的次数。2.系统稳定的充要条件为系统稳定的充要条件为：劳斯表第一列元素的符号不变化：劳斯表第一列元素的符号不变化例例4 4: :(3-5-2) 已知系统框图， 确定使系统稳定时K的 取值范围。解 闭环传递函数和特征方程为0233)()2)(1()()(2342KsssssDKssssKsRsC9140 07920KKKKsKs KssKs 792 37 0 2 3 3 1 012341.劳斯表任一行中第一个元素为零，其余元素不全为零。劳斯表任一行中第一个元素为零，其余元素不全为零。 列
4、劳斯表时用一个小正数代替零元素继续列表列劳斯表时用一个小正数代替零元素继续列表。n例如系统的特征方程为第一列元素符号改变两次，有两个正实部根，系统不稳定。01632)(234sssssD1 26 1 0 6 2 1 3 1 01234ss sss两种特殊情况2.2.劳斯表任一行中所有元素均为零。劳斯表任一行中所有元素均为零。 此时方程中存在一对大小相等、符号相反的实根，或一对纯虚根，或对称于s平面原点的共轭复根。 列表时先用全零行的上一行构成辅助方程（阶次为偶数，列表时先用全零行的上一行构成辅助方程（阶次为偶数，它的根就是这些特殊根）。再将辅助方程对它的根就是这些特殊根）。再将辅助方程对s求导
5、，用求导求导，用求导后的方程系数代替全零行后的方程系数代替全零行。例如系统的特征方程为 劳斯表劳斯表为： 劳斯表第一列元素符 号相同，故系统不含 正实部的根，而含一 对纯虚根，可由辅 助 方程解出，为 。022)(23ssssD2 0 4 022s 2 2 1 1 01223ssss辅助方程求导后的系数辅助方程j(s1全0行的处理)系统有极点实部=0，其余实部均负，则临界稳定例例5:(3-5-3) 已知系统的特征方程为 根据辅助方程求特征根。n解 劳斯表为第一列元素符号改变一次，有一个正实部根，系统不稳定。可根据辅助方程084632)(2345ssssssD8 0 33.3 8 3 0 12
6、8 086s2 8 6 2 s4 3 1 s01232445ss sss辅助方程求导后的系数辅助方程2j1 0)4)(22(862 2224ssssss；解得课堂实练3.6.1 误差的基本概念)()(1)( )()()(trsHtcsHsRsCrr得 )()()()( )()()()()()()()()()(1sCsHsRSEsHsCsHsRsCsHsRsCsCSEr而偏差，输出误差H(s)=1时，偏差信号就是误差信号。 H(s) 1，则先求稳态偏差，再求误差信号。误差与偏差误差信号E1(s)=稳态偏差除以H(s) ，即E1(s)= E(s)/H(s)被控量期望值Cr(t) 定义：偏差信号e(
7、t)=0时的被控量的值Cr(t) 。E(s)=0，则C(s)=Cr(s)G1(s)H(s)G2(s)R(s) E(s) C(s)Y(s)F(s)R(s)-H(s)Cr(s)=0)()(1)( )()(1)( 11tesHtesEsHsE3.6.1 误差的基本概念计算误差目的：如何选择控制器，以便减小输入计算误差目的：如何选择控制器，以便减小输入信号引起的稳态误差、抑制扰动对系统的影响信号引起的稳态误差、抑制扰动对系统的影响线性系统，若R (s)和F(s)都存在，则用叠加原理求总的偏差。G1(s)H(s)G2(s)R(s) E(s) C(s)Y(s)F(s)()()()(1)()()()()()
8、(11)(21221sFsHsGsGsHsGsRsHsGsGsE3.6.2 利用终值定理求稳态误差终值定理：终值定理： 求稳态误差，通常只求稳态误差终值e1ss()条件：条件：若 存在，或 的全部极点（原点除外）具有负实部，则)(lim)(11teesstss)(1ssE)(lim)(lim)(lim)(10111ssEteteestsstss)(lim)(lim)(lim)(0ssEteteestsstss稳态误差稳态偏差例3-6-1 r(t)=t, f(t)=-1(t)，求稳态误差终值。解 单位负反馈，误差就是偏差单位负反馈，误差就是偏差。10) 1)(102. 0() 102. 0(21
9、0) 1)(102. 0() 1)(102. 0( 110) 1)(102. 0() 102. 0(2110) 1)(102. 0() 1)(102. 0( )()()( )()()( 1)( ,1)()(10) 1)(102. 0() 102. 0(2)() 1(2102. 051) 1(2)()(10) 1)(102. 0() 1)(102. 0()() 1(2102. 0511)(22sssssssssssssssssssssssssEssEssEsEsEsEssFssRsFsssssFssssssEsRsssssssRssssEFRFRFR，3 . 0102101)(lim)(0ssE
10、essssE(s)的极点就是系统的闭环极点，用劳斯判据可知系统是稳定的，即的极点就是系统的闭环极点，用劳斯判据可知系统是稳定的，即sE(s)极点极点全具负实部，可用终值定理：全具负实部，可用终值定理：3.6.3 给定作用下的稳态误差计算讨论讨论给定输入信号作用下产生给定输入信号作用下产生的稳态误差的稳态误差001lim( )lim( )1( )( )ssrssesE ssR sG s H s1( )( )1( )( )E sR sG s H sH(S)G(S)R(S) E(s) C(s)根据终值定理：单位负反馈系统1)0()0( )()()(DNsDssKNsG )()(11)( )()(11
11、)(sRsGsssEsRsGsE)()()()(11)(sKNsDssDssGsvve系统的型别系统的型别v 系统的型别数v：是开环传递函数G(s)H(s)所含s=0的极点的个数，亦所含积分环节的数目，亦系统偏差信号对参考输入信号的闭环传函e(s)中s=0的零点的个数。v反映了系统跟踪参考输入信号的能力(故按v数值对系统分型) 3.6.3 给定作用下的稳态误差计算)(111)(11)( 1)( , )( 1)(sGssGsssEssRttr1.单位阶跃输入作用下的稳态误差单位阶跃输入作用下的稳态误差稳态位置误差系数稳态位置误差系数0型系统称为有差系统型系统称为有差系统1 00 11)(e 1
12、0 )()(lim)(limss00vvKvvKsDssKNsGKssp常数pssKsGssEe11 )(lim11)(lim)(0s0s（对单位负反馈系统）1)0()0( )()()(DNsDssKNsG静态误差系数法静态误差系数法3.6.3 给定作用下的稳态误差计算)(1)(1 (11)(11)( 1)( , )(22ssGssGsssGsssEssRttr2.单位斜坡输入作用下的稳态误单位斜坡输入作用下的稳态误差差稳态速度误差系数稳态速度误差系数2 1 0 0)()(lim)(lim00vvKvsDssKNsssGKssvvssKssGssEe1 )(lim1)(lim)(0s0s（对单
13、位负反馈系统）2 01 10 )(e ssvvKv常数1)0()0( )()()(DNsDssKNsG静态误差系数法静态误差系数法3.6.3 给定作用下的稳态误差计算)(1)(1 (11)(11)( 1)( ,2 )(222332sGsssGsssGsssEssRttr3.单位加速度输入作用下的稳态误差单位加速度输入作用下的稳态误差稳态加速度误差系数稳态加速度误差系数3 2 1 , 0 0 )()(lim)(lim2020vvKvsDssKNssGsKssa减小或消除参考输入信号的稳态误差的减小或消除参考输入信号的稳态误差的方法：提高系统开环放大系数方法：提高系统开环放大系数K和系统型别数和系
14、统型别数 。3 02 11 , 0 )(e ssvvKv常数assKsGsssEe1 )(lim1)(lim)(20s0s（对单位负反馈系统）1)0()0( )()()(DNsDssKNsG静态误差系数法静态误差系数法参考输入的稳态偏差(汇总)（对单位负反馈系统）静态误差系数法静态误差系数法系统的型别数 ：是开环传递函数G(s)H(s)所含s=0的极点的个数， 亦所含积分环节的数目3.6.3 给定作用下的稳态误差计算TKeeTTssssGKvssssv1 )()(11lim)(lim10s0sTssG1)(ttr)()(1sse例3-6-2 单位负反馈系统的开环传递函数 ，求输入 时的稳态误差
15、终值 。解：因输入为斜坡函数信号， 又是1型单位负反馈稳定系统。3.6.3 给定作用下的稳态误差计算例3-6-3 单位负反馈系统的开环传递函数求输入 时的稳态误差终值 。nvssssnnnssvKeesssssGK21)()( 2)2()(1200limlim解：因输入为斜坡函数信号， 又是1型单位负反馈稳定系统。)2()(2nnsssGttr)()(1sse3.6.3 给定作用下的稳态误差计算课堂实练：系统如图，求当输入r(t)=3t2时的稳态误差。解：1） 判断系统的稳定性写出特征方程23232( )1( )10(4)4320sD sG ssssss232(4)sssR(S) E(s) C
16、(s)劳斯表：劳斯表：S3 1 3 s2 4 2s1 5/2 S0 2因系统稳定，故可用终值定理。3.6.3 给定作用下的稳态误差计算课堂练习：系统如图，求当输入 r(t)=3t2 时的稳态误差。22200321lim( )( )lim(4)2asssKs G s H ssss232(4)sss2）写出误差E(s)。可直接用静态误差系数法求取。因输入是加速度函数信号，故R(S) E(s) C(s)12216assKCe又 r(t)=3t2=6 t2/2321)( 2 )(ssRttr单位加速度函数n例3-6-4 单位负反馈系统的开环传递函数为 求r(t)=1(t)，r(t)=t 时的稳态误差
17、。 n解 该系统是稳定的，系统为零型系统。) 15 . 0)(11 . 0(10)(sssG10)(lim0sGKsPKettrKettrssPss1)( )(091. 0101111)( )( 1)(时，当时，当)(sse0)(lim0ssGKs例3-6-5 单位负反馈系统的开环传递函数为 分别求出 时的稳态误差终值 。 解 用劳斯稳定判据可知闭环系统是稳定的。1）输入阶跃信号，2）输入斜坡信号3）输入加速度信号)2)(1(5)(ssssG23 ,10),( 1)(ttttr)(sse011)(,)( 1)(pssKettr时当5 . 2)2)(1(5lim)(lim00ssssssGKssVassKettr1)(,3)(2时0)(lim20sGsKsa)(lim0sGKsp)(lim0ssGKs45 . 2110110VssKe时 10)(ttr3.6.4 扰动作用下的稳态误差计算)()()()(1)()()(212sFsHsGsGsHsGsEF0( )( )limlimsstsee tsE s G1(S)H(S)G2(S)E(s) C(s)R(s) +Y(s)F(s)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsFsEsEF误差 EF1(s)=EF(s)/H(s)偏差用终值定理即：误差=偏差H(s)E（s）对F（s）的闭环传递函数
