1、第五章（第一部分）线性控制系统的频域分析法（频率特性法）系统或元件的系统或元件的频率特性频率特性在零初始条件下，当输入是正弦在零初始条件下，当输入是正弦信号时，其输出信号的稳态分量与输入信号的关系（亦：输信号时，其输出信号的稳态分量与输入信号的关系（亦：输出与输入信号付氏变换之比）。出与输入信号付氏变换之比）。() ( )()() ( )C jF c tG jR jF r t() |()|()( )( )|()|()()()G jG jG jUjVG jG jU jV j幅频特性相频特性实频特性虚频特性5.1 频率响应特性的概念频率响应特性的概念定义定义频率特性与传递函数频率特性频率特性G(j
2、 )传递函数传递函数G(s)微分方程微分方程sdd tjsjdd t5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性1）比例（放大）比例（放大）k 2）积分）积分 1/s3）纯微分）纯微分 s4）一阶微分）一阶微分5）惯性环节）惯性环节 1/(Ts+1)6）延迟环节）延迟环节7）振荡环节）振荡环节8）二阶微分）二阶微分2222nnnss221112nnss sesG)(典型环节传递函数典型环节传递函数1s5.2.1 典型环节的极坐标图(Nyquist图)极坐标图： 在复数平面上，由由0时时， G(j) 的轨迹。又称Nyquist图，奈奎斯特图，幅相特性图。5.2.1 典型环节的极坐标图典型环节的极
3、坐标图( (NyquistNyquist图图) )G(j)=| G(j)| G(j)=U()+jV ()1.惯性环节惯性环节221|()|()arctan1G jG jTT 2222111TUVTT( )=( )=11( )()11G sGjTsjT惯性环节的极坐标图 G(j) | G(j)|U() V ()0 0 1 1 01/T-45 0.707 0.5 -0.5-90 0 0 0G(j ) | G(j )| G(j ) =0=Im 0.5 1.0 Re-0.5惯性环节：相位滞后惯性环节：相位滞后0 0 9090，低通，高频衰减，低通，高频衰减S S平面平面11)(22TjGTjGarct
4、an)(2.积分环节21111( )()0jG sG jjesj G(j) | G(j)|U()V ()0 -90 0 -1 -90 1 0 -1 -90 0 0 0Im Re 01积分环节：相位滞后积分环节：相位滞后9090，低频放大，高频衰减低频放大，高频衰减-905.2.1 典型环节的极坐标图典型环节的极坐标图( (NyquistNyquist图图) )3.纯微分2( )()0jG ssG jje G(j) | G(j)| U()V ()0 90 0 0 01 90 1 0 1 90 0 Im Re=0 905.2.1 典型环节的极坐标图典型环节的极坐标图( (NyquistNyquis
5、t图图) )纯微分环节：相位超前纯微分环节：相位超前9090，低频衰减，高频放大低频衰减，高频放大4.一阶微分22arctan( )1()11jG ssG jje G(j) | G(j)|U() V ()0 0 1 1 01/ 45 1.414 1 1 90 1 =0 Im Re115.2.1 典型环节的极坐标图典型环节的极坐标图( (NyquistNyquist图图) )一阶微分：相位超前一阶微分：相位超前0 0 9090，低频衰减，高频放大低频衰减，高频放大5.振荡环节22221|()|(1)(2)G jTT5.2.1 典型环节的极坐标图典型环节的极坐标图( (NyquistNyquist
6、图图) ) TjTjGssTssTsGnnn2)1 (1)(2121)(2222222()Gj222221arctan121180arctan1TTTTTT(第4象限)(第3象限) G(j) | G(j)|U()V ()0 0 1 1 01/T -90 1 /2 0 -1 /2 -180 0 0 0)(2)(11)(222222TTTU )(2)(12)(2222TTTV G(j) | G(j)|0 -0 11/T -90 1 /2 -180 05.2.1 5.2.1 典型环节的极坐标图典型环节的极坐标图( (NyquistNyquist图图) )5.振荡环节22221|()|(1)(2)G
7、jTT()G j222221arctan121180arctan1TTTTTT(第4象限)(第3象限)极坐标图是单位圆。而，）由时，由当频率特性是：延迟环节的传递函数：1)j (G 0 j (G0 1)j (G3 .57rad )j (Ge)j (G e) s (G js6.延迟环节5.2.1 5.2.1 典型环节的极坐标图典型环节的极坐标图( (NyquistNyquist图图) )例5-2-1开环传递函数为 绘制开环频率特性极坐标图解：设G（j）G(j U() V() 0 -90 -KT - -180 0 0 0) 1Ts( sK) s (G1TK)j (G,arctanT90)j (G)
8、 1jT(jK)j (G22成正比。与无关，与K)G(jK)G(j )()()( 21sGsGsG ,1)(1ssG1)(2TsKsG图a简图 图b较准确由U、V得反映的系统特性一致 例 5-2-2 0 270 1 0 0 )( )( arctanarctanarctan)( 321jGjGTTTjG解绘极坐标简图。, ) 1)(1)(1(1)(321sTsTsTsG图a例 5-2-3绘极坐标简图。 , )2()(222nnnssssG 0 270 180 90 90 0 90 0 21GGGG)()()( 21sGsGsG ,1)(1ssG 2)(2222sssGnnn设解图b5.2.2 5
9、.2.2 典型环节的对数频率特性图典型环节的对数频率特性图(Bode(Bode图图) )幅频特性：纵坐标纵坐标20lg|G(j )|，单位，单位dB，线性分度，线性分度 横坐标横坐标 ，按，按lg 对数分度，标角频率对数分度，标角频率 (rad/s)(rad/s)的值的值相频特性：纵坐标纵坐标 G(j )，单位度，线性分度，单位度，线性分度 横坐标横坐标 ，按，按lg 对数分度，标角频率对数分度，标角频率 (rad/s)(rad/s)的值的值1.放大环节bode图G(j)=K，20lg| G(j)|=20lgK ， G(j)=020lg|()|G j()G jK=10K=10211()120l
10、g|()| 20lg20lg()90jG jejG jG j 20log|( 10 )|20lg1020lg20lg1020lg20dBG j 可见：频率增加十倍频程，幅值下降可见：频率增加十倍频程，幅值下降20dB。2.积分环节 积分环节的对数幅频特性是一条斜率为积分环节的对数幅频特性是一条斜率为 20dB/dec20dB/dec的直线，在的直线，在=1=1处过处过0dB0dB线。线。 积分环节的对数相频特性是一条积分环节的对数相频特性是一条 -90-90的水平线。的水平线。积分环节Bode图画法20lg|()|G j()G j-20dB/dec十倍频程20dB十倍频程20dB1( )1G
11、sTs传递函数2222120lg|()| 20lg20lg11G jTT ()arctanG jT 3.惯性环节TjeTTjjGarctan221111)(惯性环节Bode图0.1T1.0T10T0-45-900dB-20dB-40dB-20dB/dec20lg|G(j)|()G j低通，高频衰减相位滞后4.纯微分环节bode图与积分环节的关于横轴对称。点且与横轴平行的直线相频特性是通过纵轴上相频特性的点。通过横轴上，为幅频特性是直线，斜率幅频特性9090)( dB20 lg20lg2010lg20lg2010lg20 1dB/dec 20lg20)( lg20 )( )(2jGjGejjGs
12、sGjG(s)= s + 1G(j)=j+15.一阶微分环节 =1/=1/ 转折频率、交接频率转折频率、交接频率bode图与惯性环节的关于横轴对称0dB的水平线dB01lg20)(j20lg, /1G得时略去低频段20dB/dec /1 lg20lg20)(j20lg 1 /122点，斜率直线，过横轴上时略去高频段G90)G(j,0)(j045)(j/1:3GG，个关键点是120lg)(j20lg22G对数幅频特性 arctan)(jG对数相频特性一阶微分bode图20dB 0dB-20dB20lg|G(j)|0.11109045 0()G j20dB/dec对数幅频、相频表达式222220l
13、g|()|20lg(1)(2)G jTT ()G j22221,102arctan1TTTT22222180arctan1,101TTTT6.振荡环节222221( )2121,01nnnnG sT sTsssT140/0dB decdBT斜率直线，在处过线。振荡环节bode图0.10.50.940/dB dec(1)n低通，高频衰减，阻尼比小时有谐振峰。相位滞后，相频特性0 -180 称为转折频率。处，两条直线交于横轴上程是二阶微分环节渐近线方性为：对数幅频特性和相频特 /1 /1)1/( 40lg4040lg10)(j1020lg40lg)(j20lg)/1( 0dB)(j20lg 1 -
14、12arctan180 1 -12arctan)(j)(2)-(1lg20)(j20lgj21)(j1)( 1s2s) s (222222222222GGGGGGG7.二阶微分环节Bode图与振荡振荡环节的关于横轴对称延迟环节Bode图20lg|()| 20lg10G j()57.3G j 10dB-10dB 20lg|()|G j()G j0()jG je8.延迟环节9.9.开环频率特性的绘制开环频率特性的绘制)j (G)j (G)j (G)j (G)j (Glg20)j (Glg20)j (Glg20)j (Glg20)j (G)(j)G(jG)j (G) s (G(s)(s)GG) s
15、(Gn21n21n21n21频特性分别为开环对数幅频特性和相lg20lg20lg2020lgnKKGn绘制绘制bodebode图步骤图步骤：1 1）将）将G(s)G(s)写成标准形式写成标准形式( (时间常数型，各基本环节相乘）时间常数型，各基本环节相乘）2 2）确定积分或微分的个数和增益）确定积分或微分的个数和增益K K：3 3）求出所有的转折频率）求出所有的转折频率, ,从小到大排列从小到大排列. .4 4）写出分段函数表示的幅频特性）写出分段函数表示的幅频特性L(w)L(w)5 5）从低频到高频绘折线渐近线，在转折频率处加上基本环节）从低频到高频绘折线渐近线，在转折频率处加上基本环节的斜
16、率。的斜率。 在每条折线上应注明斜率。在每条折线上应注明斜率。直线相加仍是直线，和的斜率为各斜率之和直线相加仍是直线，和的斜率为各斜率之和。 例5-2-4 开环传递函数为 绘制系统的 开环对数频率特性曲线。 解 放大和积分、振荡、惯性、一阶微分环节。12212135 . 7)(2ssssssG线。时直线穿过时，直线纵坐标为。当斜率，直线，时，当一阶微分环节惯性环节，振荡环节，放大和积分环节，0dB7.517.5dB;20lg7.51dec/20dB5 . 7)(2 2)dec/20dB, s/3rad,;dec/20dB, s/2rad ;dec/40dBs/rad2;dec/20dB ) 1
17、321ssG。处，斜率：。斜率：处处，直线斜率为dec/60dB20803 80dB/dec2060,2 60dB/dec40dB/dec20dB/dec 2 ) 332112212135 . 7)(2ssssssG。，典型值：；相频特性。180)j (90)j (, 20)j (0)j (2 2arctan1802 2arctan)j ()j (2arctan903arctan)j ()411112211GGGGGGG12212135 . 7)(2ssssssG270 081, 2 900GGG故非最小相位系统：传递函数中具有正实部的极点或零点，或有延迟环节。5.2.3 最小相位系统最小相位
18、系统： 传递函数的极点和零点的实部全部小于或等于零。 对于闭环系统，如果它的开环传递函数的极点和零点的实部全部小于或等于零，则称它是最小相位系统。例题：某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示，试写出该系统的开环传递函数G(s)。解：低频段直线斜率是-20dB/dec，故系统包含一个积分环节。1.据=1时，低频段直线坐标15dB，计算比例环节k:15lg20lg20kkK=1015/20=5.62.因=2时，L()曲线斜率从-20dB/dec变为-40dB/dec，故是惯性环节的交接频率1=2；3.同理=7是一阶比例微分环节的交接频率2=7；于是系统的开环传递函数：) 11() 11()(12sssksG)121()171(6 .5)11()11()(12ssssssksG斜率变化两次，对应两个环节：第5章 作业第一次作业第一次作业5-3 (1) (2) (5) 5-3 (1) (2) (5) 选做选做(3) (4)(3) (4) 5-4 (1) (2) (5) 5-4 (1) (2) (5) 选做选做(3) (4)(3) (4) 5-6 (a) 5-6 (a) 选做选做(b)(b) (d)(d) 第二次作业第二次作业5-8 (a) (b) (c) (e)5-8 (a) (b) (c) (e)第三次作业第三次作业5-135-13
