1、SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第五章 离散信号与系统的变换域分析南京邮电大学南京邮电大学通信与信息工程学院通信与信息工程学院2015.11离散信号与系统的变换域分析概述时域分析：跟连续信号与系统有许多相似之处变换域分析 连续信号与系统连续信号与系统 傅里叶变换分析、拉普拉斯变换分析傅里叶变换分析、拉普拉斯变换分析 离散信号与系统离散信号与系统 离散时间傅里叶变换分析、离散时间傅里叶变换分析、Z 变换分析变换分析主要讨论 Z 变换分析注意和连续信号与系统的联系与区别第五章 离散信号与系统的变换域分析离散信号与系统的变换域分析概述5.1 Z 变换5.2 Z 变换的性质5
2、.3 Z 反变换5.4 离散系统的 Z 域分析5.5 离散系统函数与系统特性5.6 离散系统的模拟5.1.1 从拉氏变换到Z 变换 对对连续函数连续函数 f (t) 以均匀间隔以均匀间隔 T 进行理想抽样进行理想抽样，得，得kkTskTtkTfkTttfttftf)()()()()()()( F s ( ) FsS( )ft ( )t0ftS( )tT0kksTssekTfsFtf)()()( 的拉氏变换则)()()(ln1ln1zFzkTfsFzTsezkkzTssTs，则，或设5.1 Z 变换5.1.2 Z 变换的定义反变换称作相应地ZzFkf)()(1Z)()(zFkf记作0( )( )
3、0 ( )( )kkf kf kkF zf k z当为因果序列，或者只考虑的的部分时，则单边单边 Z 变换变换5.1.3 Z 变换的收敛域kkkkk-kkkaakfFZakkakf)()()(000)(. 11000z zz zz zz z变换为的为正实数）（因果序列敛。时，该无穷级数绝对收，即当aaz zz z-1-11 单边单边 Z 变换的收敛域变换的收敛域为圆心在原点，半径为为圆心在原点，半径为 a 的圆外区域。收敛条件比的圆外区域。收敛条件比较简单，一般情况下不再较简单，一般情况下不再加注其收敛域。加注其收敛域。 zRe0 zj ImakkkkkkkkbaFbakbkakfZz zz
4、zz z10)(00)(. 2为正实数），（变换双边变换不存在。，则无收敛域，若。，即，收敛域为Zbababaz zz zz z-1-1-1-111 zRe0 zj Imab平面。整个变换的收敛域为有限序列ZZ. 35.1.4 常见信号的 Z 变换1.( )k单位脉冲序列1)()(00k-k-kkkkz zz zZ2.( )u k单位阶跃序列1001 ( )( )11-k-k-kku ku kZz zz zz zz zz z3.( )ka u k指数序列( )TkTTaee kze当时，z zZ101( )1kk-k-ka u kaaaZz zz zz zz z004.sin( )cos( )
5、ku kku k单边正弦序列和单边余弦序列0020cos)cos( )2cos1(ku k- Zz z z z - -z zz z0jae取，则00cossin- jz zz z0020(cos)sin2 cos1j z zzz zzzzzz000( )cos( )sin( )jkeu kku kjku k ZZZ0jz -ez z对比，得对比，得0020sinsin( )2cos1ku k- Zz zz zz z5.2 Z 变换的性质1. 线性线性)()()()()()()()(221122112211z zz zz zz zFaFakfakfaFkfFkfZZZ则，若) 1(00) 1()
6、 1(kkkkfkf- -k k- -z zz zz z证明)0()()(01fjfjfjjj j- -j j- -z zz zz zz z2. 移序（移位）性移序（移位）性) 1()() 1()()() 1()()(1-0fFzkfzfzFkfFkfz zz zz zZZZ则若又称为左移序又称为左移序性质，相当于性质，相当于拉氏变换中的拉氏变换中的微分性质。微分性质。10)()()(mkmkfFmkfk k- -z zz zz zZ推广) 1()()() 1() 1(111) 1(00z zz zz zz zz zz zz zz zj j- - -1 1- -k k- -fFjfkfkf-j
7、-kkk)()()()()(0)()2() 1()()()(1z zz zz zz zz zz zz zk kFmkmkfFmkfmfffkfFmkf-m-mmk-mZZZ即时当推广又称为右移序性质，相当于拉氏变换中的积分性质。又称为右移序性质，相当于拉氏变换中的积分性质。 Z 变换的移序性质能将关于变换的移序性质能将关于 f (k) 的差分方程转化为关的差分方程转化为关于于F(z) 的代数方程，使得对离散系统的分析大为简化。的代数方程，使得对离散系统的分析大为简化。2 1( )(1)(1)f kkkZ 例5试求离散信号的变换式。11)0()()() 1() 1()(zzkzkzkkkfZZZ
8、Z解111522( )(1)kkkkaaau kaau kZ 例已知，分别求，和的变换式。Zz zz z )(1) 1()(11111aaaazaazaakfakfkkkkz zz zz zz zZZ，根据右移序性质，有，则设解11( )()kkZaau kaa由于是单边变换，有ZZz zz z1111(1)( )kkau kza u kzaaZZz zz zz z91523( )( )(1)( )F zF zf k 例已知，试求对应于的离散信号。z zz z得多。而用右移序性质就方便难的，反变换的方法求解是困这类题目用一般求解Z( 1)( )1ku kZz zz z11)(10z zz zz
9、zF10( )( 1)(10)( 1)(10)kkf ku ku k 单边周期序列的单边周期序列的 Z 变换变换1011524( )()( ) ( )( )( )( )mf kf kmNmNNf k u kFf kZF例已知单边周期序列，为整数，为周期序列的周期，若设，试求的变换。Zz zz z11:( )( ) ( )() ()f kf k u kf kN u kN解011211)()()()()(m-mNN-NFFFFkfz zz zz zz zz zz zz zZ1)(11)()(111NN-N-NFFFz zz zz zz zz zz zz z，则若3. 比例性比例性 (尺度变换尺度变
10、换)也称为序列的也称为序列的指数加权指数加权性质，表明时域中乘以指数序列性质，表明时域中乘以指数序列 ak，相当于，相当于 Z 域中变量域中变量 z 除以除以 a。azFkfaFkfk)()()(ZZ则若z zazFazkfzkfakfakkkkkk00)()()(Z证明1525sin( )22kku kZ 例求指数衰减序列的变换。222sin( )211(2 )2sin( )22(2 )141kzku kzzzku kzz解，由指数加权性质，得ZZ4. Z 域微分域微分也称为序列的也称为序列的线性加权线性加权性质，表明时域中乘以性质，表明时域中乘以 k，对应，对应于于 Z 域中对域中对 Z
11、变换取导数并乘以变换取导数并乘以 -z。 dzzdFzkkfFkf)()()(ZZ则若z z)()()()()(10100kkfzzkkfzzdzdkfzkfdzddzzdFkkkkkkZ证明 dzzdFzkkf)(Z即 zFdzdzkfkmm)(Z推广( )( )1zu kku kZz例 已知，求斜变序列的变换。Z2( )( )1(1)ddzzku kzu kzdzdzzz解ZZ223( )( )1(1)(1)(1)dddzk u kzku kzzdzdzdzzdzz zzdzzz 以及ZZ2( )( )()kkddzka u kza u kzdzdzzaazzaZZ5. 时域卷积定理时域卷
12、积定理2111( )( )1( )( )( )()()1( )( )* ( )( )( )kkzzX zH zzazbzazbzY zX z H zza zbab zazby kx kh kY zabu kab解，Z)()()(*)()()()()(21212211z zz zz zz zFFkfkfFkfFkfZZZ则，若527( )( )( )( )(00)kkx ka u kh kb u kabab例求下列两单边指数序列的卷积。，6. 序列求和序列求和)(1)()()(0z zz zFzznfFkfknZZ则若00( ) ( )* ( )( )( )( ) ( )* ( )( )1knk
13、nZf k u ku kf nzf nf k u ku kF zz证明 利用时域卷积定理，可以得到序列求和的变换式。因为由时域卷积定理，得ZZ110528( )( 1)2( )( )( )kkmmf kf kkf kf kZ 例已知，试求的单边变换。21)()(1)(2)(22102zzzzzFkfkfkfkkmm根据序列求和性质，得）（，则有设解)2)(1(1)(221zzzzFzF，得根据序列指数加权性质2)2() 1()43()()(2221zzzzzzFdzdzzF，得根据序列线性加权性质7. 初值定理（也可以用长除法计算）初值定理（也可以用长除法计算）)(lim)0()()(lim)
14、()(z zz zz zFfkfFFkfzz的初值则存在，且若ZnkkznfzfzffzkfzFZ)()2() 1 ()0()()(210变换的定义根据证明)(lim)0(z zFfzz所以，外，其余各项均趋于零时，上式右边除第一项当)0()(lim) 1 (fFzfzz z而且10)()(lim)(mkkmzzkfFzmfz z一般公式变换的Zmkf)( 8. 终值定理终值定理)() 1lim)()()()()(1z zz zFzffkfFkfz（则存在，的终值，且若Z)0()() 1()()0()()() 1(zfzFzzFzfzzFkfkfZZ变换的线性和移序性根据证明上式两边取极限00
15、11)() 1()() 1(lim)0()() 1limkkkzzkfkfzkfkffFzz z（)0() 1(lim)() 1() 1 ()2()0() 1 (limfnfnfnfffffnn)() 1lim)(1z zFzfz（故条件：条件：f (k) 的终值存在的终值存在意味着意味着 F (z) 除了在除了在 z1 处处允许有一个一阶极点外，其允许有一个一阶极点外，其余极点必须在单位圆内部。余极点必须在单位圆内部。S 平面与平面与 Z 平面的映射关系平面的映射关系TjTsTeeezjs映射（单位圆上的一点）映射（原点）10zs（单位圆）映射（纵轴）10z（单位圆内）映射（左半平面）10z
16、0j zRe zj Im01。的终值试求，变换为某序列的例)()()(fkfazzzFZ0) 1(lim)() 1(lim)(1)(11azzzzFzfaazzFzz时，当的极点为解11) 1(lim)() 1(lim)(1111zzzzFzfzazz处时，单极点在单位圆上当( )( )1( )1( )kkf ka u kaf ku k 当时，为不定值。)(1fa时，极点在单位圆外，当。试求已知例)(),2(),1 (),0(,5 . 012)(2323ffffzzzzzzzF32125 . 21)(zzzzF用长除法，得解5 . 2)2(, 1) 1 (, 1)0(fff终值定理。都在单位圆
17、内，可以用，极点2103 , 21jpp05 . 0) 12)(1(lim)() 1(lim)(232311 zzzzzzzzFzfzz)5 . 0(125 . 012)(2232323 zzzzzzzzzzzzzF12121( )( )( )(1) ( )2( )( )( )f kf kf kk ku kf ku kf k例 已知，且，试求序列的表达式。23221) 1(21) 1() 1(21)(1)()()(z zz zz zz zz zz zz zkfkfkfkfZZZZ解2232) 1(1) 1(21) 1() 1(21)(z zz zz zz zz zz zz zz zz zkfZ
18、2( )( )f kku k故0( )( 1)()nnf ku knZ例求序列的单边变换。( )( )( 1) (1)(2)( 1) (3)f ku ku ku ku k 解1111)(321-kf-z zz zz z- -z zz zz zz zz zz zz zz zZ)1 (1321-z z- -z zz zz zz z) 1(1)(111221z-z zz zz zz zz z( 1)( )1ku k解z zz z2( 1)( )1(1)kdku kZd 域微分性zzzzz zzzzzzz2( 1)( )(1)kku k z zz z( )( 1) (1) (1)kf kku kZ 例
19、试求序列的变换。121( )( 1)(1) (1)(1)kf kku k 移序性z z NkkNkkkRN, 0010)( )( )()NGku ku kN解设)()(kkGkRNN则11)(1zzzzzGNN)(kRNk012 31N1231N域微分性ZzGdzdzzRNN)()(21212) 1() 1( zNzNzzzzNNN2211) 1( zNzNzzzNNN)()(11mkmkRNmN或者mNmNzmkR11)(Z例例 求图示有限长序列的求图示有限长序列的 Z 变换。变换。2(1)(1)(1)ku k1( )(1) (1)f kku k解设，根据移序性质，有2211) 1(1) 1
20、()(zzzzzF)() 1()(1kfkkf而)()()(11zFzFdzdzzF31(1)zz或者或者2( )(21) (1)f kkku k11)11( 2)11()(zzdzdzzdzdzdzdzzF11) 1(2) 1() 1(23zzzzzz3) 1(1zz例例 求下列各序列的求下列各序列的 Z 变换。变换。knn0) 1()2(112( )( 1)( )( )1kzf ku kF zz 解 （ ）设，则，由序列求和性质，有而)()(01knnfkf1)(1)(221zzzFzzzF(3)(1) ( )(3) ( )(4)ku ku ku ku k) 1(1) 1(231) 1()
21、(322221zzzzzzzzzzF）（) 1(1223zzzz323432) 1)(1() 1(11)(zzzzzzzzzzF) 1() 1)(1)(1()()()(523221zzzzzzzFzFzF变换。的为奇数为偶数试求序列例Zkkkf01)(1( )( 1)1 ( )2kf ku k解1121)( zzzzzF122 zz变换。的其它，试求序列例Zmkkf048401)()4()8()4()()(mkkkkkf解 841)(zzzF411 z144 zz5.3 Z 反变换5.3.1 幂级数展开法。，求例)(5 . 051512)(22kf.-.-Fz zz zz zz zz z解解:
22、利用长除法利用长除法32125. 125. 15 . 12)(-Fz zz zz zz z- -1 1,125.1 ,25.1 , 5 .1 , 2)(kf 此法求此法求 f (k) 的前几个值很方便，缺点是不容易得到的前几个值很方便，缺点是不容易得到 f (k) 的解析式的解析式(闭式解闭式解)。5.3.2 部分分式展开法。变换来说，对于单边变换式为有理分式一般情况下，nmZazazazabzbzbzbzDzNzFZnnnnmmmm01110111)()()(反变换。变换式，再进行，得到典型序列的然后两边同时乘以展开，通常将变换的基本形式为考虑到ZzzzFazzZ)()5 . 0)(1(51
23、25 . 051512)(2z zz zz zz zz zz zz zz.-.-.-F解115.01z-z z15 . 0)(z-Fz zz zz zz z( )(0.5)1 ( )kf ku k反变换，得。的原函数用部分分式展开法求例)(5 . 051512)(22kf.-.-Fz zz zz zz zz z遮挡法遮挡法244534( )(1)(2)zF zZzz 例已知，试求其反变换。2)2)(1(44)(zzzzzzF解2)2(62181zzCzz遮挡法遮挡法取取 z = -1 代入，得代入，得7)21(6211181102CC2)2(627181)(zzzzzzZF( )( )8 (
24、)7(2)( )3 (2)( )kkf kku ku kku k 反变换，得待定系数法待定系数法 当 F(z) 不是有理分式的形式时，可直接根据级数理论展开成幂级数。5 3 6( )azF zeZ 例求的反变换。解解 直接用数学公式：直接用数学公式：！32132xxxex0)()(kkakfZk！变换的定义式比较，得与00221)(kkkkkkzazkakzakzazazaezF！得反变换。的试求例Z-zF)1(1)(64z zz zz z4772( )1(1)(1)1F解z zz zz zz zz zz zz zz z) 1237z zz z( (z zz z4567zz zz zz z65
25、43)(z zz zz zz zz zF)6()5()4() 3()(kkkkkf(3)(7)u ku k例例 试求下列试求下列 Z 变换式的反变换。变换式的反变换。zzzzzzF5 . 05 . 112)(12323）（解法一解法一 幂级数展开法幂级数展开法321375. 675. 45 . 31)(zzzzF,375. 6 ,75. 4 , 5 . 3 , 1)(kf解法二解法二 部分分式展开法部分分式展开法)5 . 0)(1(12)(223zzzzzzzF5 . 01318622zzzz5 . 0131862)(zzzzzzF( )2 (1)6 ( )8 13(0.5) ( )kf kk
26、ku k323) 1()(2zzzzF）（32) 1()(zzzzzF解11) 1(3) 1(223zzz1) 1(3) 1(2)(23zzzzzzzF( )1zu kz2( )(1)zku kz因为因为223( )(1)zzk u kz3) 1(2zz32) 1() 1(zzzzz2() ( )kk u k22( )(31) ( )(1)( )F zkkku kku k) 1)(1()(322zzzzzF）（) 1)(1(1)(2zzzzzF解遮挡法1112zcBzz01111110CCz代入，得上式以110BBzz，有令等式两边同乘111)(2zzzzzF故( )(1 cos) ( )2f
27、 kk u k11)(22 zzzzzF变换对：变换对：22cos( )21kzu kz2sin( )21kzu kz5.4 离散系统的 Z 域分析1. 时域分析法：卷积和；时域分析法：卷积和；2. 变换域分析法：利用变换域分析法：利用 Z 变换的移序性质变换的移序性质，将差分方程将差分方程变成代数方程。变成代数方程。 与拉氏变换类似，与拉氏变换类似，Z 变换分析法可以变换分析法可以分别分别求解零输求解零输入响应入响应和和零状态响应零状态响应，也可以直接求解全响应。也可以直接求解全响应。542(2)5 (1)6 ( )(2)3 ( )(0)2(1)3iiy ky ky kx kx kyy例已知
28、描述系统的二阶前向差分方程为初始条件为，试求该系统的零输入响应。z zz z1 零输入响应以二阶前向差分方程为例。以二阶前向差分方程为例。0)(6)0()( 5) 1 ()0()(22zYzyzzYzyyzzYzZ，可得变换，并应用移序性质对上式进行0)(6) 1(5)2(0)(kykykykx程为时，相应的齐次差分方当解65)0(5) 1 ()0()(22zzzyyzyzY整理，得，得）（，）（条件代入零输入响应的初始3120ziziyy3236572)22z-zz-zzzzzzYzi（kkiky3)2(3)(z z反变换，得若为后向差分方程时若为后向差分方程时543( )5 (1)6 (2
29、)( )3 (2)(0)2(1)3iiy ky ky kx kx kyy例已知描述系统的二阶后向差分方程为初始条件为，试求其零输入响应。z zz z121( )5( )( 1)6( )( 1)( 2)0ZY zz Y zyz Y zzyy对齐次差分方程进行变换，并应用移序性质，可得211651) 1(6)2(6) 1(5)(zzzyyyzYzizizizi整理，得可以用递推法求得。，和所需初始条件)2() 1(ziziyy代入，有在齐次方程中令1k671016051）（，可得）（）（）（ziziziziyyyy323657265172)()2(1)(22211z-zz-zzzzzzzzzYyy
30、zizizi代入，得和将初始条件kkiky3)2(3)(z z反变换，得362320261500）（，有）（）（）（：令ziziziziyyyyk说明：说明：1. 在常系数线性差分方程中，各项的序号同时增加或减少在常系数线性差分方程中，各项的序号同时增加或减少同样数目，差分方程所描述的关系不变。同样数目，差分方程所描述的关系不变。2. 如果所需的初始条件并不是已知的零输入初始条件时，如果所需的初始条件并不是已知的零输入初始条件时，可以用递推的方法在齐次差分方程中求解。可以用递推的方法在齐次差分方程中求解。3. 也可以根据初始条件改变差分方程的序号。也可以根据初始条件改变差分方程的序号。2 零状
31、态响应)()()(khkxkysz z时域分析法：)()()(zHzXzYzs根据时域卷积定理：解。可以直接由差分方程求与连续系统类似，离散系统函数)()(khzHZ)() 1()2()() 1()2(012012kxbkxbkxbkyakyakya例以二阶前向差分方程为)()0()()1 ()0()()()0()()1 ()0()(0122201222zXbzxzzXbzxxzzXzbzYazyzzYazyyzzYzaZ，可得变换，并应用移序性质对上式进行设初始状态为零，且设初始状态为零，且 x(k) 为零起始序列，对于因果系统为零起始序列，对于因果系统必然有必然有 y(-1)=0 和和 y
32、(-2)=0，以此代入原差分方程，有以此代入原差分方程，有222(0)(0)ka yb x )0() 1 ()0() 1 (11212xbxbyayak)()()()(01220122zXbzbzbzYazazaZ变换应为因此，差分方程的) 0 () 1 () 0 ()()() 0 () 1 () 0 ()()(1222012212220122zxbzxbxzbzXbzbzbzyazyayzazYazaza整理，得01220122)()()(azazabzbzbzXzYzHzs二阶后向差分方程的离二阶后向差分方程的离散系统函数与此相同散系统函数与此相同653)(22zzzzH解(2)5 (1)
33、6 ( )(2)3 ( )( )( )( )( )y ky ky kx kx kx ku kH zh k例 已知描述系统的二阶前向差分方程为激励，试求该系统的离散系统函数和单位函数响应。3222121)65(3)(22z-z-zzzzzzzH111( )( )2(3)(2) ( )22( )2(3)(2) (1)kkkkh kku kku k 111)(2221zzzzzzH解544( )(2)( )(1)( )( )( )( )( )zsy ky kx kx kH zh kx ku kyk例已知描述离散时间系统的差分方程为试求该系统的离散系统函数和单位函数响应；若激励，求零状态响应。( )c
34、os( )sin( )22h kku kku k11)()()(22zzzzzzHzXzYzs1111) 1)(1()(222zzzzzzzzYzs( )(1 sin) ( )2zsykk u k3 全响应1. 当已知零输入初始条件时，分别求解零输入响应和零当已知零输入初始条件时，分别求解零输入响应和零状态响应，然后叠加求得全响应。状态响应，然后叠加求得全响应。2. 当已知全响应初始条件时，直接对差分方程取当已知全响应初始条件时，直接对差分方程取 Z 变换，变换，求解全响应。求解全响应。3. 当已知全响应初始条件，并且需要分出零输入响应和当已知全响应初始条件，并且需要分出零输入响应和零状态响应
35、时：零状态响应时： 一般先求解零状态响应，得到零状态响应的初始值；一般先求解零状态响应，得到零状态响应的初始值；再用全响应初始条件减去零状态响应的初始值，即得零再用全响应初始条件减去零状态响应的初始值，即得零输入初始条件；继而求得零输入响应；然后叠加求得全输入初始条件；继而求得零输入响应；然后叠加求得全响应。响应。 也可以先求解全响应和零状态响应（或零输入响也可以先求解全响应和零状态响应（或零输入响应），相减得零输入响应（或零状态响应）应），相减得零输入响应（或零状态响应） 。( )2 (1)( )( )( )(0)0( )ky ky kx kx ke u kyy k例 已知离散系统的差分方程
36、为，激励，初始状态，试求全响应。)()(2)2)()(21) 1()(121zYzYzzzezzzYyezzzXzizs代入，得，以2) 1(2)(221) 1(2)(211)()()1()( 2)(111zzyzXzzzyzXzzYzXyzYzzYZ 变换，得对差分方程取解21) 1(1)0() 1(2)0(0yxyyk，代入，得差分方程中令0)2(212211)2()(keeeekykkk2121212121121)2)()(11zzeeezezzezzzzYkziky)2()(其中12( )( 2)( )1 21 2kkzseykeu kee(0)2(1)115( )( )( )4(2)
37、(3)22zizikkyyx ku ky k例 已知某二阶离散系统的初始条件为，当输入时，输出为，试写出该系统的差分方程。kkziBAky) 3()2()(为故零输入响应的模式应。为自然（固有）响应分量中，输出解kkkkky)3(25)2(4)3(25)2(421)(132) 1 (2)0(BAyBAyzizi，代入初始条件35BA，解得kkziky)3(3)2(5)(即11( )( )( )(2)(3)( )22kkzsziyky kyku k所以)3)(2)(1(3212121)(zzzzzzzzzzzYzs( )( )1zZX zu kz激励信号的 变换为Z651)3)(2(1)()()
38、(2zzzzzXzYzHzs所以该系统的差分方程为所以该系统的差分方程为)()(6) 1(5)2(kxkykyky 5.5 离散系统函数与系统特性niimrrnnmmpzzzHazazabzbzbzH1100101)()()(0Hpzir量系数（特征方程的根），标，极点零点TjTTseeez间的映射关系：连续系统与离散系统之p连续时间系统连续时间系统特征根特征根自然响应的模式自然响应的模式ptAep离散时间系统离散时间系统特征根特征根自然响应的模式自然响应的模式kAp一阶极点的位置与自然响应模式的关系 zRe zjIm0100000000010离散系统的稳定性 对于因果系统来说，其有界输入有界
39、输出对于因果系统来说，其有界输入有界输出（BIBO)稳定的条件为稳定的条件为0)(limkhk离散时间系统的稳定性与离散时间系统的稳定性与 H(z) 极点分布之间的关系为：极点分布之间的关系为：1. 当离散系统函数当离散系统函数 H(z) 的极点全部位于的极点全部位于 Z 平面单位圆内平面单位圆内部时，系统是部时，系统是（BIBO) 稳定系统；稳定系统；2. 当极点位于当极点位于 单位圆上，且为单极点时，系统是临界稳单位圆上，且为单极点时，系统是临界稳定的；定的；3. 否则系统是不稳定。否则系统是不稳定。 由由 S 平面和平面和Z 平面的映射关系可知，离散时间系统平面的映射关系可知，离散时间系
40、统和连续时间系统的稳定条件是对应的。和连续时间系统的稳定条件是对应的。例例5-5-1 已知系统的差分方程如下，试判定系统的稳定性。已知系统的差分方程如下，试判定系统的稳定性。) 1()()2(24. 0) 1(2 . 0)(kxkxkykyky解解 离散系统函数为离散系统函数为21124. 02 . 011)(zzzzH)6 . 0)(4 . 0() 1(zzzz6 . 04 . 021pp，极点均位于单位圆内，因此该系统是稳定的。均位于单位圆内，因此该系统是稳定的。5.6.1 基本运算器基本运算器加法器加法器和和标量乘法器标量乘法器的功能和符号与连续系统相同。的功能和符号与连续系统相同。延时
41、器延时器与积分器相对应：与积分器相对应：) 1()(kxkyD)(kx5.6.2 离散系统的模拟离散系统的模拟0(1)( )( )y ka y kx k设描述一阶离散时间系统的差分方程为)()() 1(0kxkyaky可可改改写写成成D0a)(ky)(kx) 1( ky5.6 离散系统的模拟1/ z( )X z1( )( )Y zX zz时域框图Z域框图二阶系统的模拟二阶系统的模拟)()() 1()2(01kxkyakyaky统统的的差差分分方方程程为为设设描描述述二二阶阶离离散散时时间间系系)()() 1()2(01kxkyakyaky可可改改写写成成)(kyD)(kxD)2( ky) 1(
42、 ky1a0a一般二阶系统的模拟一般二阶系统的模拟)() 1()() 1()2(0101kxbkxbkyakyaky)()() 1()2()(01kxkqakqakqkq，使，使设辅助函数设辅助函数)() 1()(01kqbkqbky则则)(kqD)(kxD)2( kq) 1( kq1a0a)(ky1b0b高阶系统高阶系统的模拟可的模拟可以类推。以类推。例：某离散系统如图所示，试写出其差分方程。例：某离散系统如图所示，试写出其差分方程。)(kyD)(kxD32) 1( ky) 1( ky解：由模拟图知，加法器的输出为解：由模拟图知，加法器的输出为 ，另一延时器，另一延时器的输出为的输出为 。)
43、 1( ky) 1( ky对加法器列方程，对加法器列方程，得得) 1(2)(3)() 1(kykykxky)() 1(2)(3) 1(kxkykyky整理，得例：已知系统的差分方程如下，试画出其模拟图。例：已知系统的差分方程如下，试画出其模拟图。) 1()()2() 1(7)(kxkxkykyky解：由系统的差分方程画模拟图的方法很多，如解：由系统的差分方程画模拟图的方法很多，如) 1()()2() 1(7)(kxkxkykykyD)(kxD1a0a)(ky1bD注意：模拟图中激励必须是注意：模拟图中激励必须是 x(k)，响应必须是，响应必须是 y(k)。这是一种不规范的模拟图，这是一种不规范
44、的模拟图，它多用了一个延时器。它多用了一个延时器。例例 求图示离散系统的单位函数响应和单位阶跃响应。求图示离散系统的单位函数响应和单位阶跃响应。)(zQ1z1z3)(zY)(zX24)(4)()()(3)(2)()(112zQzzQzYzQzzQzzXzQ解解 设辅助函数设辅助函数 Q(z)如图所示，对加法器列方程，有如图所示，对加法器列方程，有234)()()()(22zzzzzXzYzHzQ，得消去2213zzzz)()2(2) 1(3)(kukhkk 单位函数响应1)()()(zzzXkkx时当激励为单位阶跃序列) 1()2)(1()4()()()(zzzzzzzXzHzY165234123zzzzzz所以单位阶跃响应为所以单位阶跃响应为)(65)2(34) 1(23)(kukykk例例 试求试求 a 为何值时，为何值时，图示离散系统是稳定的？图示离散系统是稳定的？1z)(zE1za)(zY)(zX解解 对加法器列方程，得对加法器列方程，得)()()()()()(11zYzzEzzYzaYzXzE)1 (1)()()(azzXzYzH欲使系统稳定，必须使欲使系统稳定，必须使11 a02a为所以，系统稳定的条件
