1、第二节 求导法则一、和差积商的求导法则二、复合函数的求导法则三、反函数的求导法则第三章四、初等函数的求导一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu此法则可推广到任意有限项的情形.证: 设, 则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh
2、)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuwvu)( ,例如(2)vuvuvu )(证证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu( C为常数 )1212112( )( )( )( )( )( )( )( )(
3、)( )ninninf xfx fxfxfx fxfxfx fxfx )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证: 设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC( C为常数 )例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解
4、解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例3. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx例例4 4.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22se
5、ccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例5 5.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得(sec )sectan .xxx 即即二、复合函数的求导法则定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )( )( )ug xxyf u设设函函数数在在点点 处处可可导导，函函数数( )
6、 ( )ug xyf g x在在对对应应的的点点处处可可导导，则则复复合合函函数数x在在 处处可可导导，且且)()(ddxgufxyddddddyyuxux或或 lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd证证:( )yf u 由由于于在点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(故有)()(xgufuy)(uf( )yuufuxxx 从而0lim0u 其其中中例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.例例
7、1. 求下列导数求下列导数:.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 )()2(;)()1( xxx 解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2).)1(2092 xx例例2 2解解: 例例3. 设设, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记
8、号含义不同练习练习: 设,)(xffy .,)(yxf求可导其中例例4 4.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例5 5.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x1( )1fxx ,0时时当当 x 00(0)lim0 xfxffx , 1 00(0)lim0 xfxf
9、fx , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf注意：分段函数注意：分段函数求导时求导时, 分界点导数用定义求分界点导数用定义求.0ln(10)limxxx 0ln1ln(10)limxxx 三、反函数的导数定理定理)( )(,)(,)()(yfxfIxfyyfIyfxxy1011且有内也可导在对应区间那么它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即即 反函数的导数等于原函数导数的倒数反函数的导数等于原函数导数的倒数. 1 dydxdxdy 或或证证,xxI xx 以以增增量量给给的单调性可知由)(yfx , 0 y于是有于是有,1yxxy ( )xf y 连连续续1( )00,
10、yfxxy 连连续续, ,从从而而当当时时有有( )0fy 又又xyxfx01lim )(yxy 1lim0)(yf 1.)( )(yfxf11即), 0(xIxxx 例例1 1.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解sin(,),2 2yxyI 在在内内单单调调、可可导导, 0cos)(sin yy且且( 1,1)xI 在在内内有有)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc四、初等函数的求导问题xxxxxxxCtansec)(s
11、ecsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 221(arcsin)11(arctan)1xxxx 221(arccos )11(arccot)1xxxx 2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则（四则运算法则）（四则运算法则）设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(
12、2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 3.复合函数的求导法则（链式法则）复合函数的求导法则（链式法则）).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则可求出任何初等函数的导数，利用上述公式及法则可求出任何初等函数的导数，且有如下结论：且有如下结论： 可导的初等函数的导数仍为初等函数.4.反函数求导法则反函数求导法则11( )( )( )1( )( )yfxxf yxf yfxfy 设设是是的的反反函函数数，且且单单调调、可可导导，则则 1 dydxdxdy 或或例例1 1.的导数的导
13、数求函数求函数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 例2. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例3. 设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln例例4. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键:
14、 弄清复合函数结构 由外向内逐层求导思考题小结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.正确的选择是正确的选择是（3）例例|)(uuf 在在 处不可导，处不可导，0 u取取xxgusin)( 在在 处可导，处可导，0 x|sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导，0 x )1(取取4)(xxgu 在在 处可导，处可导，0 x44|)(xxxgf 在在 处可导，处可导，0 x )2(41143x1.xx1431x练习练习对
15、吗?2114341xx2. 幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）.（1） 必必可可导导； （2）必必不不可可导导；（3）不不一一定定可可导导；例例32)(xxf ),( x在在 处不可导，处不可导，0 x )1(2)(xxf ),( x在定义域内处处可导，在定义域内处处可导， )2(正确地选择是正确地选择是（3）3. 设设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,4. 设设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f
