1、 磁场习题课磁场习题课（一）稳恒磁场的性质（一）稳恒磁场的性质1 1、稳恒磁场是一无源，有旋场稳恒磁场是一无源，有旋场无源：无源：0 ssdB有旋：有旋： Il dBl0 2 2、磁场对载流体的作用、磁场对载流体的作用对运动电荷对运动电荷洛仑兹力洛仑兹力 不作功不作功BvqF qBmvRBvcB 圆周运动圆周运动时时当当:qBmT 2 一、内容回顾一、内容回顾qBvmRBv 螺旋运动螺旋运动不不TvhqBmT/2 应用：霍尔效应应用：霍尔效应bIBnqUH1 磁场方向磁场方向上的厚度上的厚度对载流导线对载流导线安培力，磁力矩安培力，磁力矩安培力：安培力： fdfBlIdfd为为 所在处的磁场所
2、在处的磁场BlId磁力矩：磁力矩： MdMfdrMd对载流线圈的对载流线圈的磁力矩（均匀磁场）磁力矩（均匀磁场）合力：合力：0 f合力矩：合力矩：nIsPBPMmm 与与 成右手系成右手系In磁力的功磁力的功 dWWIddWm（二）描述磁场的物理量及计算（二）描述磁场的物理量及计算1 1、磁感应强度、磁感应强度 : :是矢量是矢量, ,满足叠加原理满足叠加原理B利用典型电流的磁场进行叠加利用典型电流的磁场进行叠加利用安培环路定理求均匀对称分布的场利用安培环路定理求均匀对称分布的场 Il dBl0 注意注意:电流与回路的环绕方向成右手系电流与回路的环绕方向成右手系电流与回路必须是闭合的电流与回路
3、必须是闭合的利用毕利用毕- -萨定理求萨定理求: :304rrlIdBd 20,sin4:rrlIdIdldB 大小大小rlId :方向方向 BdzyxBBBB xxxdBBdB yyydBBdB zzzdBBdB运动电荷的磁场：运动电荷的磁场：304rrvqB 20,sin4:rrvqv 大小大小rv :方方向向补偿法补偿法2 2、磁通量、磁通量m dsBsdBdm cos smdsB cos若不止一匝若不止一匝mmN 3 3、典型载流体的磁场：、典型载流体的磁场：长直导线长直导线 210coscos4 rIB与电流成右手与电流成右手螺旋关系螺旋关系无限长无限长rIB 20 半无限长半无限长
4、rIB 40 圆环电流圆环电流轴线上轴线上 2322202xRIRB 右手螺右手螺旋法则旋法则环心环心RIB20 无限长载流圆柱（均匀分布）：无限长载流圆柱（均匀分布）： BRrRIr 202 RrrI 20右手螺旋法则右手螺旋法则螺线管内部：螺线管内部：nIB0 螺绕环内部：螺绕环内部：rNIB 20 右手螺旋法则右手螺旋法则右手螺旋法则右手螺旋法则nIBrNnRRRR012212, 4 4、磁介质：、磁介质：弱磁质的磁化机理：弱磁质的磁化机理：顺磁质：分子磁矩不为零，在外磁场作用顺磁质：分子磁矩不为零，在外磁场作用下，转向外磁场方向。下，转向外磁场方向。0BB 抗磁质：分子磁矩为零，在外磁
5、场作用下产抗磁质：分子磁矩为零，在外磁场作用下产生附加磁矩，其方向总是与外场反向。生附加磁矩，其方向总是与外场反向。0BB 磁介质中的安培环路定理：磁介质中的安培环路定理： lIl dH磁场强度：磁场强度：MBH 0 在各向同性介质中：在各向同性介质中：HHBr 0 强磁质的磁化机理：强磁质的磁化机理：不是常数，且很大不是常数，且很大有剩磁，磁饱和及磁滞现象有剩磁，磁饱和及磁滞现象温度超过居里点时，变为顺磁质温度超过居里点时，变为顺磁质用磁畴理论解释用磁畴理论解释解解:在在abcd内任取一面积元内任取一面积元dS=l1dx,在此面在此面积元内磁感应强度可看作常量积元内磁感应强度可看作常量.xI
6、B 20 方向垂直于纸面向里方向垂直于纸面向里00cosBdS abcdIxdx2l1la 2210laamxdxIl alalnIl2102 dxlxI102 SdBdm 二、典型例题二、典型例题例例1、 一无限长直导线通有电流一无限长直导线通有电流I,求通过矩形线框求通过矩形线框abcd(与直导线共面与直导线共面)的磁通量的磁通量.例例2、两根导线沿半径方向引到铁环上的、两根导线沿半径方向引到铁环上的A、B两点两点,并在很远处与电源相连并在很远处与电源相连,求环中心的求环中心的磁感应强度磁感应强度.解解: O点的磁感应强度为点的磁感应强度为1、2、3、4、5段载流导线在段载流导线在O点产生
7、的磁感应强度的点产生的磁感应强度的矢量和矢量和. 543210BBBBBB OR1235ABII1I2I1l2l4O点在点在3和和4的延长线上的延长线上,5离离O点可看作无限远点可看作无限远,故故:03 B04 B05 B设设1圆弧弧长圆弧弧长l1,2圆弧弧长圆弧弧长l2,圆的周长为圆的周长为lRIllB21011 RIllB22022 故故210BBB 221102lIlIRl OR1235ABII1I2I1l2l4设设 为导线电阻率为导线电阻率,S为截面积为截面积 SlISlISRl221102 221102RIRIRlS R1、R2分别为分别为1导线和导线和2导线的电阻导线的电阻,显显然
8、然I1R1=I2R2=VAB ,因此因此 B0=0 2211002lIlIRlB 例例3、一根外半径为、一根外半径为R1的无限长圆的无限长圆柱形导体管柱形导体管 , 管内空心部分的半管内空心部分的半径为径为R2 , 空心部分的轴与圆柱的空心部分的轴与圆柱的轴相平行但不重合轴相平行但不重合, 两轴间距离为两轴间距离为a(aR2) , 现有电流现有电流I沿导体管流沿导体管流动动 , 电流均匀分布在管的横截面电流均匀分布在管的横截面上上 , 方向与管轴平行方向与管轴平行 .O1R2RO aI求求: 1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小圆柱轴线上的磁感应强度的大小. 2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小空
9、心部分轴线上的磁感应强度的大小.解解:由于空心部分的存在由于空心部分的存在,磁场的柱对称性被破坏磁场的柱对称性被破坏 , 因而因而此题解法需用填补法此题解法需用填补法.(应保持原有的电流密度不变应保持原有的电流密度不变.)以电流以电流I填满空心部分填满空心部分222221RRRII 然后再用然后再用- I填一次填一次,以抵消第一以抵消第一次填补的影响次填补的影响,因而整个磁场相因而整个磁场相当于与一个大的圆柱电流和一个当于与一个大的圆柱电流和一个半径为半径为R2的反向圆柱电流的反向圆柱电流-I产生产生的磁场的叠加的磁场的叠加.O1R2RO aI 大圆柱电流在轴线大圆柱电流在轴线O上产生的磁场为
10、零上产生的磁场为零小圆柱电流在轴线小圆柱电流在轴线O上产生的磁感应强度为上产生的磁感应强度为aI 20 即即 222122002RRaIRB 2)空心部分轴线上磁感应强度空心部分轴线上磁感应强度B0小圆柱电流在自身轴线上产生磁场为零小圆柱电流在自身轴线上产生磁场为零大圆柱电流在大圆柱电流在O出产生的磁感应强度为出产生的磁感应强度为 2102 RaII 即即 2221002RRIaB 1)圆柱轴线上的磁感应强度圆柱轴线上的磁感应强度B0O1R2RO aI 例例4、一根很长的同轴电缆、一根很长的同轴电缆 , 由一导体圆柱由一导体圆柱(半径为半径为a)和一和一同轴的导体管同轴的导体管(内、外半径分内
11、、外半径分别为别为b、c)构成构成 , 使用时使用时, 电流电流I从一导体流出去从一导体流出去 , 从另一导体从另一导体流回流回. 设电流都是均匀地分布设电流都是均匀地分布在导体横截面上在导体横截面上 。abc求求:空间各点处磁感应强度空间各点处磁感应强度 大小的分布。大小的分布。abc解解: 根据安培环路定理根据安培环路定理 liIl dB0 22raII 2202aIrrB 202 aIrB 1) raIrB02 rIB 20 2)arbr II222202bcrcrIB 3) brc0III0 B 22br 22bcI 2222bcrcI 例例5、 发电厂的汇流条是两条发电厂的汇流条是两
12、条L=3.0m的平行铜棒的平行铜棒. 它们相距它们相距a=0.5m,接通电路时接通电路时,棒中电流棒中电流是是I=10000A,问此时汇流棒之问此时汇流棒之间的相互作用力多大间的相互作用力多大.dx12oXa电流元电流元dx所受安培力为所受安培力为解解: 取如图示坐标取如图示坐标. 在汇流棒在汇流棒2上上 任取一电流元任取一电流元dx, 其中其中B为为1在在dx处产生的磁感应强度处产生的磁感应强度 IdlBdf 方向向左方向向左 fd 210coscos4 aIB其中其中 22222cosxLaxL 22122cosxLaxL dxxLaxLxLaxLaIdf 2222202222412oXd
13、xa21所有所有df方向相同方向相同(向左向左)故故 dxxLaxLxLaxLaIdffLL 2222222022224 积分积分 , 以以L=3m，I=10000A , a=0.5m代入代入 , 得得 f=102N讨论讨论:若磁场感应强度按若磁场感应强度按aIB 20 计算计算f=?试比较两者的误差试比较两者的误差例例6、一塑料薄圆盘、一塑料薄圆盘,半径为半径为R ,电荷电荷q均匀分布于表面均匀分布于表面 ,圆圆盘绕通过盘心垂直面的轴匀盘绕通过盘心垂直面的轴匀速转动速转动 , 角速度角速度 。 Ro求求 1)圆盘中心处的磁感应强度圆盘中心处的磁感应强度; 2)圆盘的磁矩圆盘的磁矩; 3)若此
14、圆盘处在水平向右的匀强磁场若此圆盘处在水平向右的匀强磁场B中中, 求该圆盘所受的磁力矩。求该圆盘所受的磁力矩。q解解: (1)求圆盘中心的磁感应强度求圆盘中心的磁感应强度 可用两种方法求解可用两种方法求解.方法方法1:根据运动电荷的磁场公式根据运动电荷的磁场公式304rrvqB Rrdrordrdq 2 =q/ R2 rv 在圆盘上任取一半径为在圆盘上任取一半径为r,宽为宽为dr的细环的细环,所取细环上的电荷所取细环上的电荷运动速度相同运动速度相同 , 均为均为v=r 其方其方向与半径垂直向与半径垂直 , 所以旋转的细环在盘心所以旋转的细环在盘心O的磁感的磁感应强度为应强度为204rdqrdB
15、 rdrr 240 dr20 (方向垂直盘面向外方向垂直盘面向外)由于各细环在由于各细环在O处的磁感应强度方向相同处的磁感应强度方向相同,所以所以 RdrdBB002 20R Rq 20 (方向垂直盘面向外方向垂直盘面向外) Rrdro304rrvqB 其中在其中在O处的磁感应强度处的磁感应强度rdIdB20 rdq 40 dr20 (方向垂直盘面向外方向垂直盘面向外)积分结果与方法积分结果与方法1相同相同.用圆电流公式计算用圆电流公式计算.圆盘旋转时相当于不同圆盘旋转时相当于不同半径的圆电流的集合半径的圆电流的集合.如上所取细环对应的如上所取细环对应的电流电流dqdI 2 Rrdro方法方法
16、2:3)根据任意闭合回路在外磁场根据任意闭合回路在外磁场B中所受的磁力矩计中所受的磁力矩计BpMm BqR241 方向向上方向向上2)根据线圈磁矩的定义根据线圈磁矩的定义,与细环电流对应的磁矩应为与细环电流对应的磁矩应为SdIdpm dqr 22 drr3 由于各细环的磁矩方向相同由于各细环的磁矩方向相同,因此总磁矩为因此总磁矩为 mmdpp Rdrr03441R 241qR (方向垂直盘面向外方向垂直盘面向外)例例7一长直导线通有电流一长直导线通有电流I1=20A , 其旁有一载流直其旁有一载流直导线导线ab , 两线共面两线共面ab长为长为L=9.0 10-2m , 通以电流通以电流I2=
17、10A , 线段线段ab垂直于长垂直于长直导线直导线 , a端到长直导线端到长直导线的距离为的距离为d=1 10-2m 1I2IbaO01. 0求求 1)导线导线ab所受的力所受的力 2)导线导线ab所受作用力对所受作用力对O点的力矩点的力矩.解解: 1)设在导线设在导线ab上距长直上距长直导线为导线为l处取电流元处取电流元I2dl,该处该处磁感应强度仅由磁感应强度仅由I1所产生所产生,其其大小为大小为lIB 20 则则I2dl所受磁力的大小为所受磁力的大小为0290sindlBIdF dllII 2210 方向垂直方向垂直ab向上向上1I2IlFdbaO01. 0 badFF 1 . 001. 02102dllII N5102 . 9 2)如上所取电流元如上所取电流元I2dl所受磁力对所受磁力对O点的力点的力矩大小为矩大小为ldFdM dlII 2210 (方向垂直纸面向外方向垂直纸面向外)由于各电流元所受磁力对由于各电流元所受磁力对O点的力矩方向点的力矩方向相同相同,所以整个导线所以整个导线ab所受磁力对所受磁力对O点的力点的力矩大小为矩大小为 dMM 100102102.dlII 0902210.II mN. 6710630901020102方向垂直纸面向外方向垂直纸面向外.
